2.2.1 平方差公式 课件 (共12张PPT) 2023-2024学年数学湘教版七年级下册

(共12张PPT)
第2章 整式的乘法
2.2.1 平方差公式
学习目标
1.能根据特殊形式的多项式相乘，推导出平方差公式，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算；
2.掌握平方差公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确的运用公式.（重、难点）
新课导入
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律：
( a+1 )( a-1 )=a2-a+a-12= ，
( a+2 )( a-2 )=a2-2a+2a-22= ，
( a+3 )( a-3 )=a2-3a+3a-32= ，
( a+4 )( a-4 )=a2-4a+4a-42= .
a2-12
a2-22
a2-32
a2-42
我们用多项式乘法来推导一般情况 ：( a+b )( a-b )=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
我们把
( a+b )( a-b )=a2-b2.
叫做平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
说一说
如图2-3（a），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2-3（b）所示的长方形.你能用这两个图来解释平方差公式吗？
a
b
（a）
a
b
a-b
（b）
图2-3
图（b）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（a）中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（b）的面积为图（a）剩余部分的面积，所以( a+b )( a-b )=a2-b2.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
【例1】运用平方差公式计算：
（1）( 2x+1 )( 2x-1 )； （2）( x+2y )( x-2y ).
分析 第（1）题，可以把“2x”看成平方差公式中的“a”，“1”看成
“b”；第（2）题，可以把“x”看成平方差公式中的“a”，“2y”看成“b”.
解 （1）( 2x+1 )( 2x-1 )
=( 2x )2-12
=4x2-1.
（2）( x+2y )( x-2y )
=x2-( 2y )2
=x2-4y2.
【例2】运用平方差公式计算：
（1） ； （2）( 4a+b )( -b+4a ).
解 （1）
（2）( 4a+b )( -b+4a )
=( 4a+b )( 4a-b )
=( 4a )2-b2
=16a2-b2.
将括号内的式子转化为平方差公式形式.
【例3】计算：1002×998.
解 1002×998
=( 1000+2)( 1000-2)
=10002-22
=999996.
运用平方差公式可以简化一些运算.
练习
1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）(x-2)(x+2)=x2-2 ( )
（2）(-2x-1)(2x-1)=4x2-1 ( )
（3）(1+2x)(1 2x)=1 4x2 ( )
（4）(3m+2n)(3m 2n)=9m2 4n2 ( )
（5）(x-2)(-x+2)=x2-4 ( )
（6）(2a2+b2)(2a2 b2)=2a4 b4 ( )
×
×
√
√
×
×
2.运用平方差公式计算：
（1）(3a+b)(3a-b)； （2）( 4k+3)( 4k 3)
（3）(-1+5a)(-1-5a); （4）(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2).
解（1）(3a+b)(3a-b)
=(3a)2-b2
=9a2-b2.
（2）( 4k+3)( 4k 3)
=(-4k)2-32
=16k2-9.
（3）(-1+5a)(-1-5a)
=(-1)2-(5a)2
=1-25a2.
（4）(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2)
=x2-12 -(x2-22)
=x2-1-x2+4
=3.
解（1）105×95
=(100+5)×(100-5)
=1002-52
=9975.
3.用公式计算.
（1）105×95； （2）1 002 × 998.
（2）1002×998
=(1000+2)×(1000-2)
=10002-22
=999996.
课堂小结
平方差公式
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意
内容
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。