3.2 提单项式公因式 课件 (共24张PPT) 2023-2024学年数学湘教版七年级下册

(共24张PPT)
第3章 因式分解
3.2（第1课时） 提单项式公因式
学习目标
1.理解公因式的概念，并会找出多项式的公因式；（难点）
2.会用提公因式法分解因式.（重点）
新课导入
说一说
下列每个式子含字母的因式有哪些？
xy，xz，xw.
xy的因式有x，y，…
xz的因式有x，z，…
xw的因式有x，w，…
几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.
由此看出，xy，xz，xw有公共的因式x.
如何把多项式xy+xz+xw因式分解？
像上面那样，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到
括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.
把乘法分配律从右到左地使用，便得出xy+xz+xw=x( y+z+w ).
【例1】把5x2-3xy+x因式分解.
分析 多项式各项均含有x，因此公因式为x.第3项将x提出后，括号内的因式变为1.
解 5x2-3xy+x
=x(5x-3y+1).
【例2】把4x2-6x因式分解.
分析 先确定公因式的系数，再确定字母。这两项的系数为4,6，它们的最大公约数是2；两项的字母部分x2与x都含有字母x，且x的最低次数是1，因此公因式为2x.
解 4x2-6x
=2x(2x-3).
找公因式的步骤：
1.找公因数的系数，如果多项式的系数为整数，则取各项系数绝对值的最大公因数作为公因式的系数.
2.确定公因式的字母，应是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的.
归纳
【例3】把8x2y4-12xy2z因式分解.
分析 公因式的系数是8与12的最大公约数4；公因式含有的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的，因此公因式为4xy2.
解 8x2y4-12xy2z
=(4xy2)·2xy2-(4xy2)·3z
=(4xy2)(2xy2-3z).
练习
1.将多项式-2a2-2a因式分解提取公因式后，另一个因式是（ ）
A.a B.a+1 C.a-1 D.-a+1
解析：-2a2-2a=-2a(a+1)，公因式是-2a，另一个因式是a+1.
B
2.将多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3分解因式时应提取的公因式是（ ）
A.-3ab B.-3a2b C.-3a2b2 D.-3a3b3
解析：-6a3b2-3a2b2+12a2b3，公因式的系数是6、3、12的最大公约数3；公因式含有的字母是各项中相同的字母a和b，它们的指数取各项中次数最低的，因此公因式为-3a2b2.
C
3.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是（ ）
A. xmyn B. xmyn-1 C. 4xmyn D. 4xmyn-1
解析：8xmyn-1-12x3myn，公因式的系数是8与12的最大公约数4；公因式含有的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的，因此公因式为4xmyn-1.
D
4.用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A. 12abc-9a2b2c2=3abc(4-3ab) B. 3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C. -a2+ab-ac=-a(a-b+c) D. x2y+5xy-y=y(x2+5x)
解析：12abc-9a2b2c2=3abc(4-3abc)，A错误; 3x2y-3xy+6y=3y(x2-3x+2)，B错误；
-a2+ab-ac=-a(a-b+c)，C正确；x2y+5xy-y=y(x2+5x-1)，D错误.
C
5.把下列多项式因式分解：
（1）3xy-5y2+y； （2）8a2c+2bc；
（3）3x3 -3x2 -9x； （4）-6m3n2-4m2n3+10m2n2.
解 （1）3xy-5y2+y
=y(3x-5y+1).
（2）8a2c+2bc
=2c(4a2+b).
（3）3x3 -3x2 -9x
=3x(x2 -x -3).
（4）-6m3n2-4m2n3+10m2n2
=-2m2n2(3m+2n-5).
课堂小结
几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种方法叫做提公因式法.
1.多项式是几项，提公因式后也剩几项；
2.当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1.
3.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
注意
第3章 因式分解
3.2（第2课时） 提多项式公因式
学习目标
1.理解公因式的概念，并会找出多项式的公因式；（难点）
2.当公因式是多项式时，如何提取公因式.（重点）
新课导入
说一说
下列多项式中各项的公因式是什么？
（1）2am( x+1 )+4bm( x+1 )+8cm( x+1 )；
（2）2x( 3a-b )-y( b-3a ).
2am( x+1 )，4bm( x+1 )与8cm( x+1 )的公因式是2m( x+1 ).
b-3a可以看做-( 3a-b )，所以2x( 3a-b )与y( b-3a )的公因式是3a-b.
【例4】把下列多项式因式分解：
（1）x( x-2 )-3( x-2 )； （2）x( x-2 )-3( 2-x ).
解 （1）x( x-2 )-3( x-2 )
=( x-2 )( x-3 ).
（2）x( x-2 )-3( 2-x )
=x( x-2 )-3[-( x-2 )]
把( 2-x )转化为-( x-2 ).
=x( x-2 )+3( x-2 )
=( x-2 )( x+3 ).
【例5】把( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2因式分解.
解 ( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2
=( a+c )( a-b )2-( a-c )( a-b )2
=( a-b )2[( a+c )-( a-c )]
=( a-b )2( a+c-a+c )]
=2c( a-b )2.
【例6】把12xy2( x+y )-18x2y( x+y )因式分解.
解 12xy2( x+y )-18x2y( x+y )
=6xy( x+y )( 2y-3x ) .
因式分解时，如何确定多项式各项的公因式？
1.多项式中的各部分含有相同的多项式因式，可把这个多项式看作一个整体，然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式.
2.确定公因式时，原多项式中的部分项的因式可适当变形，在变形时要特别注意符号.
议一议
练习
1.把多项式( x+2 )( x-2 )+( x-2 )提取公因式( x-2 )后，余下的部分是（　　）
A. x+1 B. 2x C. x+2 D. x+3
解析：( x+2 )( x-2 )+( x-2 )=( x-2 )( x+2+1 )=( x-2 )( x+3 ).
D
2.若9a2(x-y)2-3a(y-x)3=M·(3a+x-y)，则M等于________.
解析：9a2(x-y)2-3a(y-x)3=3a(x-y)2(3a+x-y)=M·(3a+x-y)，
所以M=3a(x-y)2.
3a(x-y)2
3.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是（ ）
A. xmyn B. xmyn-1 C. 4xmyn D. 4xmyn-1
解析：8xmyn-1-12x3myn，公因式的系数是8与12的最大公约数4；
公因式含有的字母是各项中相同的字母x和y，
它们的指数取各项中次数最低的，因此公因式为4xmyn-1.
D
4.用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A. 12abc-9a2b2c2=3abc(4-3ab)
B. 3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C. -a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D. x2y+5xy-y=y(x2+5x)
解析：12abc-9a2b2c2=3abc(4-3abc)，A错误;
3x2y-3xy+6y=3y(x2-3x+2)，B错误；
-a2+ab-ac=-a(a-b+c)，C正确；
x2y+5xy-y=y(x2+5x-1)，D错误.
C
5.把下列多项式因式分解：
（1）y(x-y)+x(x-y)； （2）y(x-y)+x(y-x)；
（3）a(x-y)3-b(y-x)3； （4）a2b(a-b)-ab2(a-b).
解 （1）y(x-y)+x(x-y)
=(x-y)(y+x).
（2）y(x-y)+x(y-x)
=y(x-y)+x[-(x-y)]
=y(x-y)-x(x-y)
=(x-y)(y-x).
（3）a(x-y)3-b(y-x)3
=a(x-y)3-b[-(x-y)]3
=a(x-y)3+b(x-y)3
=(x-y)3(a+b).
（4）a2b(a-b)-ab2(a-b)
=ab(a-b)(a-b)
=ab(a-b)2.
6.已知：2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
解析： 2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.
7.已知a-b-c=2，求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值.
解析：a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)
=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)
=(a-b-c)(a-b-c)
=(a-b-c)2
=22=4.
课堂小结
1.提取公因式的过程中，会添加括号；
2.因式分解的过程和整式乘法的过程（去括号）是互逆的；
3.提取公因式后，每个因式中都要合并同类项，化为最简形式．一般情况下，最后结果中最多只能含有小括号，而不能含有中括号或大括号等.
注意