3.3用平方差公式因式分解 课件(共25张PPT) 2023-2024学年数学湘教版七年级下册

(共25张PPT)
第3章 因式分解
3.3（第1课时） 用平方差公式因式分解
学习目标
1.掌握平方差公式的特点，能熟练地用公式对多项式进行因式分解；（重、难点）
2.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识和能力.
新课导入
动脑筋
如何把x2-25因式分解？
像上面那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
我们学过平方差公式( a+b )( a-b )=a2-b2，把这个乘法公式从右到左地使用，得a2-b2=( a+b )( a-b ).
因此
x2-25 = x2-52 = ( x+5 )( x-5 ).
a2-b2
( a+b )( a-b )
【例1】把25x2-4y2因式分解.
分析 25x2=(5x)2，4y2=(2y)2，25x2-4y2=(5x)2-(2y)2，原式即可利用平方差公式进行因式分解.
解 25x2-4y2=(5x)2-(2y)2
=(5x)2-(2y)2
=(5x+2y)(5x-2y).
【例2】把( x+y )2 - ( x-z )2因式分解.
分析 把( x+y )看成a，( x-z )看成b，原式即可用平方差公式进行因式分解.
解 ( x+y )2 - ( x-z )2
=[( x+y )+ ( x-z )][( x+y )- ( x-z )]
=( 2x+y-z ) ( y+z ).
【例3】把x4-y4因式分解.
解 x4-y4
=( x2 )2-( y2 )2
=( x2+y2 ) ( x2-y2 )
=( x2+y2 ) ( x+y )( x-y ).
在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
【例4】把x3y2-x5因式分解.
分析 x3y2-x5有公因式x3，应先提出公因式，再进一步进行因式分解.
解 x3y2-x5
=x3( y2-x2 )
=x3( y+x )( y-x ).
练习
1.把下列多项式因式分解：
（1）9y2-4x2; （2）1-25x2; （3）x4-16;
（4）a4-16b4; （5） (m-a)2-(n+b)2; （6）-16x4+81y4.
解 （1）9y2-4x2
=( 3y )2-( 2x )2
=( 3y+2x )( 3y-2x ).
（2）1-25x2
=12-( 5x )2
=( 1+5x )( 1-5x ).
（3）x4-16
=( 2x2 )2-42
=( 2x2+4 )( 2x2-4 ).
（4）a4-16b4
=( 2a2 )2-( 4b2 )2
=( 2a2+4b2 )( 2a2-4b2).
（5） (m-a)2-(n+b)2
=( m-a+n+b )[m-a-(n+b)]
=( m-a+n+b )( m-a-n-b ).
（6）-16x4 + 81y4
=-(4x2)2+(9y2)2
=(9y2+4x2)(9y2-4x2).
2.计算：
（1）49.62-50.42； （2）13.32-11.72.
解 （1）49.62-50.42
=(49.6+50.4)(49.6-50.4)
=100×(-0.8)
=-80.
（2） 13.32-11.72
=(13.3+11.7)(13.3-11.7)
=25×1.6
=40.
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A. -21 B. 21 C. -10 D. 10
解析：b2-a2=(b+a)(b-a)=(a+b)[-(a-b)] =3×(-7) =-21.
A
4.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_________.
解析：(4x2+9)(2x+3)(2x-3)
=(4x2+9)(4x2-9)
=(4x2)2-92
=[(2x)2]2-81
=(2x)4-81. 所以n=4.
4
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
解析：(m+2n)2-(3m-n)2
=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n).
当4m+n=40，2m-3n=5时，
原式的值为-40×5=-200.
7.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
原正方形的面积为a2，改变边长后的面积为(a+4)(a-4)=a2-16.
因为a2>a2-16，所以李大妈吃亏了.
课堂小结
熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键.
1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2.右边是相同项的平方减去相反项的平方；
3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式.
注意
第3章 因式分解
3.3（第2课时） 用完全平方公式因式分解
学习目标
1.掌握完全平方公式的特点，能熟练地用公式对多项式进行因式分解；（重、难点）
2.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识和能力.
新课导入
动脑筋
你能将多项式a2+2ab+b2或a2-2ab+b2进行因式分解吗？
我们学过完全平方公式
( a+b )2=a2+2ab+b2，( a-b )2=a2-2ab+b2.
把完全平方公式从右到左地使用，就可以把形如这样的多项式进行因式分解.
例如，x2+4x+4=x2 + 2·x·2 + 22= ( x+2 )2.
a2 + 2·a·b + b2
( a+b )2
【例5】把9x2-3x+ 因式分解.
分析 9x2=( 3x )2， = ，3x=2·3x· ，原式即可用完全平方公式进行因式分解.
解 9x2-3x+
=( 3x )2-2·3x· +
【例6】把-4x2+12xy-9y2因式分解.
解 -4x2+12xy-9y2
= -( 4x2-12xy+9y2 )
= -[( 2x )2-2·2x·3y+( 3y )2]
= -( 2x-3y )2.
【例7】把a4+2a2b+b2因式分解.
解 a4+2a2b+b2
= ( a2 )2+2·a2·b+b2
= ( a2+b )2.
【例8】把x4-2x2+1因式分解.
解 -x4-2x2+1
= ( x2 )2-2·x2·1+12
= ( x2-1)2
=[( x+1)( x-1)]2.
=( x+1)2( x-1)2.
练习
1.下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A. a2+b2+ab B. a2+2ab-b2
C. a2-ab+2b2 D. -2ab+a2+b2
解析：-2ab+a2+b2=( a-b )2.
D
2.如果100x2+kxy+y2可以分解为(10x-y)2,那么k的值是（ ）
A. 20 B. -20 C. 10 D. -10
解析：(10x-y)2=100x2-20xy+y2，所以k=-20.
B
3.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A. 6 B. ±6 C. 3 D. ±3
解析：m=2×1×3=6或m=-(2×1×3)=-6.
B
4.若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是_______．
解析：m2-4mn+4n2=(m-2n)2，当m=2n+1时，原式=(2n+1-2n)2=1.
1
5.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式，则m的值为_______.
解析：m2=16，m=±4.
±4
6.把下列多项式因式分解：
（1）y(x-y)+x(x-y)； （2）y(x-y)+x(y-x)；
（3）a(x-y)3-b(y-x)3； （4）a2b(a-b)-ab2(a-b).
解 （1）y(x-y)+x(x-y)
=(x-y)(y+x).
（2）y(x-y)+x(y-x)
=y(x-y)+x[-(x-y)]
=y(x-y)-x(x-y)
=(x-y)(y-x).
（3）a(x-y)3-b(y-x)3
=a(x-y)3-b[-(x-y)]3
=a(x-y)3+b(x-y)3
=(x-y)3(a+b).
（4）a2b(a-b)-ab2(a-b)
=ab(a-b)(a-b)
=ab(a-b)2.
7.已知：2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
解析： 2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.
8.已知a-b-c=2，求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值.
解析：a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)
=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)
=(a-b-c)(a-b-c)
=(a-b-c)2
=22=4.
课堂小结
一提：有公因式的首先提公因式；
二用：没有公因式的用公式；
三查：检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.
分解因式的步骤
完全平方公式的特点
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的平方项；
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央