贵州省黔南州2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高二上·黔南期末）直线的横截距为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：令y=0可得：解得：，即直线的横截距为.
故答案为：B.
【分析】本题直线的截距，根据截距的定义可知令y=0即可求出横截距.
2．（2024高二上·黔南期末）已知向量，且，，与的夹角为直角，则y的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，且 ，则解得：则，
又 与的夹角为直角 ，且
则解得：y=2.
故答案为：B.
【分析】
3．（2024高二上·黔南期末）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明的日影长之和为28.5尺，则谷雨的日影长为（ ）
A．8.5尺 B．7.5尺 C．6.5尺 D．5.5尺
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，
其日影长依次成等差数列 ，则可设其构成的等差数列为，公差为d，
根据题意可得：又根据等差数列的性质可得：
故可解得：，故故
故答案为：D.
【分析】本题主要考查等差数列的实际运用及基本性质，根据题意设出等差数列，并设出其公差d，然后根据题意构造方程组，再根据等差数列数列的性质求出d，再运用等差数列的通项公式解题即可.
4．（2024高二上·黔南期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为 动点满足方程 ，
所以点P到定点和定点的距离之和为，
则点P是以点和点为焦点，为长轴的椭圆，
所以，
故点P的轨迹方程为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查椭圆的定义，根据题意可得：点P是以点和点为焦点，为长轴的椭圆，即可求得点P的轨迹方程.
5．（2024高二上·黔南期末）已知A，B，C三点在直线l上，点O在直线l外，满足，其中，为等差数列中的项，记为数列的前n项和，则（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为 A，B，C三点在直线l上，点O在直线l外，满足 ，
所以，又数列为等差数列，
故
故答案为：C.
【分析】本题主要考查共线向量及等差数列的求和公式，根据题意可得：，然后运用等差数列的求和公式进行计算即可.
6．（2024高二上·黔南期末）直线l：和圆C：交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：将圆C： 的方程化作标准方程为：，
即圆C的圆心坐标为：，半径又直线l：的方程可化为：
则直线l过定点M，，
则当且仅当直线l：与直线MC垂直时，直线l截圆所得的弦最短，
所求最短弦为：
故答案为：B.
【分析】本题主要考查直线过定点、圆的标准方程，根据题意可得直线l过定点M，且故当且仅当直线l：与直线MC垂直时，直线l截圆所得的弦最短，然后利用垂径定理及弦长公式解题即可.
7．（2024高二上·黔南期末）春天的公园里，花团锦簇，有很多美丽的蝴蝶在花丛中飞来飞去．一只正飞着的小蝴蝶被明明抓住了，他用长为6cm的细绳子把蝴蝶绑在一个封闭的正方体空盒子底面一条棱的中点处（忽略捆绑长度与蝴蝶的身长），若盒子的棱长大于12cm，则蝴蝶的活动范围的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：根据题意结合正方体的性质可得蝴蝶的活动范围为半径为6的球的，
则蝴蝶的活动范围的体积为.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查正方体的性质及球的体积公式，根据题意结合正方体的性质可得：蝴蝶的活动范围为半径为6的球的，然后根据球的体积公式进行求解即可.
8．（2024高二上·黔南期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为8 B．双曲线C的离心率为2
C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线C的方程：，的左右焦点为：，
双曲线的渐近线方程为：取其中一条渐近线为l：即：
则点到直线l的距离为：又
则在双曲线中
对于A选项：设故根据双曲线的定义及可得：
可解得：则的面积为：故A选项错误；
对于B选项：双曲线的离心率为：故B选项错误；
对于C选项：故C选项错误；
对于D选项：设由双曲线的定义可得：
又
又在中，由勾股定理可得：
即：解得：
则故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查双曲线的定义及基本性质、方程思想的运用，根据题意可求出b的值，然后利用几何性质及双曲线的定义求出：然后在逐项判定即可.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．部分选对得2分，有错项得0分，全部选对得5分．）
9．（2024高二上·黔南期末）若等比数列的第4项和第6项分别是48和12，则下列选项中说法正确的是（ ）
A．的公比为或 B．的第5项是24
C． D．
【答案】A,C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列的第4项和第6项分别是48和12 ，所以解得：故A选项正确；
对于B选项：解得：由等比数列通项公式可得：故B选项错误；
对于C选项：根据等比数列的性质可得：，即C选项正确，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查等比数列的基本性质及通项公式，根据题意可求得即可判定A选项，再利用等比数列的通项公式求得再利用等比数列通项公式即可判定B选项，利用等比数列的性质即可判定CD选项.
10．（2024高二上·黔南期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为
B．点关于直线的对称点Q的坐标为
C．直线：与直线：互相垂直的充要条件是
D．圆（）与圆可能内含、内切或相交
【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；用斜率判定两直线平行；两条直线垂直的判定；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：对于A选项：若直线l的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故A选项错误；
对于B选项：设点关于直线的对称点Q的坐标为，
根据轴对称的性质可得：解得：故点关于直线的对称点Q的坐标为 ，即B选项正确；
对于C选项：直线：与直线：互相垂直，
则解得：或a=0，故C选项错误；
对于D选项：圆（） 的圆心为半径为r，圆 的圆心，半径为4，
则两圆的圆心距为：则两圆不可能外切和相离，
当即时，两圆相交，
当，即时，两圆内切，
当即时两圆内含，故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系、点的轴对称直线垂直的判定、圆与圆的位置关系的判定，根据倾斜角为时即可判定A选项，再利用点关于直线对称时，斜率的关系中点坐标建立方程组即可判定B选项；结合充要条件的定义及直线垂直公式即可判定C选项，利用圆心距和半径和差关系即可判定D选项.
11．（2024高二上·黔南期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成如图2的组合，这个组合再转换成如图3所示的空间几何体．若如图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．点到直线CQ的距离是
B．
C．平面ECG与平面的夹角的余弦值为
D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量基本定理；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：根据题意可得：故B选项正确；
如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A选项：设则点到直线CQ的距离：故A选项错误；
对于C选项：
设平面ECG的法向量为则
令可得即平面ECG的一个法向量为
设平面的法向量为则
令解得则平面的一个法向量为
所以即平面ECG与平面的夹角的余弦值为 ，故C选项正确；
对于D选项：因为，
故所以
异面直线CQ与BD所成角的正切值为，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题主要考查空间向量的综合运用，通过空间向量的基底运算即可判定B选项，利用空间向量的坐标运算再逐项判定即可.
12．（2024高二上·黔南期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则的最小值为
【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A选项：因为，所以F为AB的中点，又根据抛物线的对称性可得，直线AB与x轴垂直，
所以故A选项正确；
对于B选项：因为，所以即又，
所以即解得：或，故B选项错误；
对于C：，则
当且仅当三点共线时等号成立，故C选项错误；
对于D选项：抛物线的焦点，准线l方程为：过点A作准线l的垂足为点N，
由抛物线的定义可得：则
当点N，A，M三点共线时，取得最小值，且最小值为故D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】本题主要考查抛物线的基本性质及定义，根据相等向量可得点F为AB的中点，利用焦半径公式即可判定A选项；根据焦半径公式及点在抛物线上建立方程即可判定B选项；根据焦半径公式判定C选项；根据抛物线的定义可把转化为，然当点N，A，M三点共线时，取得最小值即可求解.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．（2024高二上·黔南期末）若数列满足，（），则数列的通项公式为 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列 数列满足（），所以
即数列是以为首项，3为公比的等比数列，
故即.
故答案为：.
【分析】本题主要考查构造法求数列通项、等比数列的通项公式，根据题意可得从而得到数列是以为首项，3为公比的等比数列，再运用等比数列的通项公式进行求解即可.
14．（2024高二上·黔南期末）若直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为 ．
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行， 所以：解得：
故直线与直线平行，由平行直线之间的距离公式可得
故答案为：
【分析】本题主要考查直线平行的判定及平行直线之间的距离公式，根据直线平行的条件可解得m的值，然后再利用平行直线之间的距离公式进行求解即可.
15．（2024高二上·黔南期末）若椭圆（）的左焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，由题意可得：解得：
再将点P的坐标代入椭圆的方程可得：化简可得：
即：结合离心率公式可得：
即，可得：
因为恒成立，故且故
故答案为：.
【分析】本题主要考查对称性知识、椭圆的标准方程及几何性质、椭圆的离心率公式，设出点P的坐标，利用对称的斜率及中点关系建立方程组解出点P坐标的表达式，然后再将点P的坐标代入椭圆方程，得到关于a，c的方程再结合离心率公式进行求解即可.
16．（2024高二上·黔南期末）已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：将圆锥沿平面ABC剪开，得到如图所示的轴截面图和圆锥的展开图，
则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为圆锥的侧面展开图中扇形的弧所对的弦长AB.
设圆柱的底面半径为高为，圆锥的底面半径为高为，母线长为l，
则有解得：又由相似可得：即
解得：在中，即解得
因为所以
故答案为：
【分析】本题主要考查圆柱的体积、圆锥的展开图，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为圆锥的侧面展开图中扇形的弧所对的弦长AB.设圆柱的底面半径为高为，圆锥的底面半径为高为，母线长为l，根据题意根据圆柱的体积可求得圆柱的高，然后再根据相似求出再利用圆锥的性质求出圆锥的母线，再根据弧长公式进行求解即可.
四、解答题（本题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024高二上·黔南期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形．，E，F分别是AP，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图1，取DP的中点G，连接EG，CG，
图1
又E是AP的中点，
所以EG∥AD，且．
因为四边形ABCD是矩形，
所以且BC∥AD，
所以，且EG∥BC．
因为F是BC的中点，所以，
所以且EG∥CF，
所以四边形EFCG是平行四边形，故EF∥CG．
因为平面PCD，平面PCD，所以EF∥平面PCD．
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直，
以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图2所示）．
图2
设，所以．
因为E，F分别为AP，BC的中点，所以，，，，
所以，，．
设平面CEF的一个法向量为，由，即，
令，则，，所以．
又，设直线CD与平面CEF所成角为，
所以，
所以直线CD与平面CEF所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题主要考查线面平行、空间向量解决直线与平面所成角的问题.
（1）取DP的中点G，连接EG，CG，根据中位线定理可得：EG∥AD，且．再根据矩形的性质可求得：，进一步得到四边形EFCG是平行四边形，故EF∥CG，然后根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）根据题意可得AB，AD，AP两两垂直，以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后写出各相关点的坐标，并表示出向量的坐标，然后求出平面CEF的一个法向量为，设直线CD与平面CEF所成角为，然后根据向量法的公式进行求解即可.
18．（2024高二上·黔南期末）已知⊙C关于直线对称，且过点和原点O．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）过点的直线l与⊙C交于A、B两点，且，求此时直线l的方程．
【答案】（1）设圆C的标准方程为（），
由题意可知：，
解得，，，
可得圆C的标准方程为：．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，此时，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：，即为．
因为，所以，
解得，所以直线l：．
综上所述：直线l的方程为或．
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程，直线与圆的相交的弦长定理.
（1）设圆C的标准方程为（），根据 ⊙C关于直线对称，则圆心C必在直线上，再结合已知条件建立方程组，解出a，b，r即可求解；
（2）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况进行分类讨论并结合垂径定理求解即可.
19．（2024高二上·黔南期末）设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求．
【答案】（1）因为，
所以当时，，
则，即，．
又当时，，则，满足，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）可知，
所以
．
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系及裂项相消法求和.
（1）根据已知前n和的等式得到：当时，，再结合进行求解即可；
（2）由（1）可知，然后运用裂项相消法进行求和即可.
20．（2024高二上·黔南期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求．
【答案】（1）解：由题可知，，解得，
故抛物线C的方程为．
（2）解：设，，则，
两式相减，得，即．
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，
故直线l的斜率为2．
所以直线l的方程为：．
联立直线与抛物线方程，得，
由韦达定理可得，．
由弦长公式得
．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质、点差法的运用、弦长公式.
（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式进行求解即可；
（2）根据点差法求解斜率，得到直线AB的方程，然后联立直线AB与抛物线的方程，得到韦达定理，然后再利用弦长公式进行求解即可.
21．（2024高二上·黔南期末）已知数列满足，且数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为，所以，
故是公差为2的等差数列．
在中，令，得，解得，
则．
（2）解：由（1）可得：，
故①，
则②，
①－②得
，
故．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法求和.
（1）根据已知递推式得到：，故是公差为2的等差数列，然后在根据已知数列的前n项和求得，运用等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）由（1）可得：，然后运用错误相减法进行求和即可.
22．（2024高二上·黔南期末）已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆C的上顶点，点A，B是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上），直线MA，MB的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点．
【答案】（1）解：由题意可得，，，
解得，，
所以椭圆C的方程为：．
（2）证明：由（1）知，，
设，，
所以，．
因为，
所以．①
设直线AB的方程为，与椭圆联立，
消去y，得．
由，得，
所以，．②
因为，，
所以由①，得，
即，③
把②代入③，得，
整理，得，解得，（舍），
所以，即直线AB过定点．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要椭圆的标准方程、直线与椭圆的顶点问题.
（1）根据长轴长和离心率即可求出椭圆的方程；
（2）设出点A，B的坐标和直线AB的方程，直线AB的方程与椭圆方程联立，再结合韦达定理和直线MA，MB的斜率之积即可得到直线AB过定点.
1 / 1贵州省黔南州2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高二上·黔南期末）直线的横截距为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024高二上·黔南期末）已知向量，且，，与的夹角为直角，则y的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
3．（2024高二上·黔南期末）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明的日影长之和为28.5尺，则谷雨的日影长为（ ）
A．8.5尺 B．7.5尺 C．6.5尺 D．5.5尺
4．（2024高二上·黔南期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·黔南期末）已知A，B，C三点在直线l上，点O在直线l外，满足，其中，为等差数列中的项，记为数列的前n项和，则（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
6．（2024高二上·黔南期末）直线l：和圆C：交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·黔南期末）春天的公园里，花团锦簇，有很多美丽的蝴蝶在花丛中飞来飞去．一只正飞着的小蝴蝶被明明抓住了，他用长为6cm的细绳子把蝴蝶绑在一个封闭的正方体空盒子底面一条棱的中点处（忽略捆绑长度与蝴蝶的身长），若盒子的棱长大于12cm，则蝴蝶的活动范围的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·黔南期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为8 B．双曲线C的离心率为2
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．部分选对得2分，有错项得0分，全部选对得5分．）
9．（2024高二上·黔南期末）若等比数列的第4项和第6项分别是48和12，则下列选项中说法正确的是（ ）
A．的公比为或 B．的第5项是24
C． D．
10．（2024高二上·黔南期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为
B．点关于直线的对称点Q的坐标为
C．直线：与直线：互相垂直的充要条件是
D．圆（）与圆可能内含、内切或相交
11．（2024高二上·黔南期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成如图2的组合，这个组合再转换成如图3所示的空间几何体．若如图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．点到直线CQ的距离是
B．
C．平面ECG与平面的夹角的余弦值为
D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为
12．（2024高二上·黔南期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．（2024高二上·黔南期末）若数列满足，（），则数列的通项公式为 ．
14．（2024高二上·黔南期末）若直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为 ．
15．（2024高二上·黔南期末）若椭圆（）的左焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
16．（2024高二上·黔南期末）已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 ．
四、解答题（本题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024高二上·黔南期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形．，E，F分别是AP，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值．
18．（2024高二上·黔南期末）已知⊙C关于直线对称，且过点和原点O．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）过点的直线l与⊙C交于A、B两点，且，求此时直线l的方程．
19．（2024高二上·黔南期末）设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求．
20．（2024高二上·黔南期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求．
21．（2024高二上·黔南期末）已知数列满足，且数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
22．（2024高二上·黔南期末）已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆C的上顶点，点A，B是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上），直线MA，MB的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：令y=0可得：解得：，即直线的横截距为.
故答案为：B.
【分析】本题直线的截距，根据截距的定义可知令y=0即可求出横截距.
2．【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，且 ，则解得：则，
又 与的夹角为直角 ，且
则解得：y=2.
故答案为：B.
【分析】
3．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，
其日影长依次成等差数列 ，则可设其构成的等差数列为，公差为d，
根据题意可得：又根据等差数列的性质可得：
故可解得：，故故
故答案为：D.
【分析】本题主要考查等差数列的实际运用及基本性质，根据题意设出等差数列，并设出其公差d，然后根据题意构造方程组，再根据等差数列数列的性质求出d，再运用等差数列的通项公式解题即可.
4．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为 动点满足方程 ，
所以点P到定点和定点的距离之和为，
则点P是以点和点为焦点，为长轴的椭圆，
所以，
故点P的轨迹方程为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查椭圆的定义，根据题意可得：点P是以点和点为焦点，为长轴的椭圆，即可求得点P的轨迹方程.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为 A，B，C三点在直线l上，点O在直线l外，满足 ，
所以，又数列为等差数列，
故
故答案为：C.
【分析】本题主要考查共线向量及等差数列的求和公式，根据题意可得：，然后运用等差数列的求和公式进行计算即可.
6．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：将圆C： 的方程化作标准方程为：，
即圆C的圆心坐标为：，半径又直线l：的方程可化为：
则直线l过定点M，，
则当且仅当直线l：与直线MC垂直时，直线l截圆所得的弦最短，
所求最短弦为：
故答案为：B.
【分析】本题主要考查直线过定点、圆的标准方程，根据题意可得直线l过定点M，且故当且仅当直线l：与直线MC垂直时，直线l截圆所得的弦最短，然后利用垂径定理及弦长公式解题即可.
7．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：根据题意结合正方体的性质可得蝴蝶的活动范围为半径为6的球的，
则蝴蝶的活动范围的体积为.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查正方体的性质及球的体积公式，根据题意结合正方体的性质可得：蝴蝶的活动范围为半径为6的球的，然后根据球的体积公式进行求解即可.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线C的方程：，的左右焦点为：，
双曲线的渐近线方程为：取其中一条渐近线为l：即：
则点到直线l的距离为：又
则在双曲线中
对于A选项：设故根据双曲线的定义及可得：
可解得：则的面积为：故A选项错误；
对于B选项：双曲线的离心率为：故B选项错误；
对于C选项：故C选项错误；
对于D选项：设由双曲线的定义可得：
又
又在中，由勾股定理可得：
即：解得：
则故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查双曲线的定义及基本性质、方程思想的运用，根据题意可求出b的值，然后利用几何性质及双曲线的定义求出：然后在逐项判定即可.
9．【答案】A,C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列的第4项和第6项分别是48和12 ，所以解得：故A选项正确；
对于B选项：解得：由等比数列通项公式可得：故B选项错误；
对于C选项：根据等比数列的性质可得：，即C选项正确，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查等比数列的基本性质及通项公式，根据题意可求得即可判定A选项，再利用等比数列的通项公式求得再利用等比数列通项公式即可判定B选项，利用等比数列的性质即可判定CD选项.
10．【答案】B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；用斜率判定两直线平行；两条直线垂直的判定；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：对于A选项：若直线l的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故A选项错误；
对于B选项：设点关于直线的对称点Q的坐标为，
根据轴对称的性质可得：解得：故点关于直线的对称点Q的坐标为 ，即B选项正确；
对于C选项：直线：与直线：互相垂直，
则解得：或a=0，故C选项错误；
对于D选项：圆（） 的圆心为半径为r，圆 的圆心，半径为4，
则两圆的圆心距为：则两圆不可能外切和相离，
当即时，两圆相交，
当，即时，两圆内切，
当即时两圆内含，故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系、点的轴对称直线垂直的判定、圆与圆的位置关系的判定，根据倾斜角为时即可判定A选项，再利用点关于直线对称时，斜率的关系中点坐标建立方程组即可判定B选项；结合充要条件的定义及直线垂直公式即可判定C选项，利用圆心距和半径和差关系即可判定D选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量基本定理；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：根据题意可得：故B选项正确；
如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A选项：设则点到直线CQ的距离：故A选项错误；
对于C选项：
设平面ECG的法向量为则
令可得即平面ECG的一个法向量为
设平面的法向量为则
令解得则平面的一个法向量为
所以即平面ECG与平面的夹角的余弦值为 ，故C选项正确；
对于D选项：因为，
故所以
异面直线CQ与BD所成角的正切值为，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题主要考查空间向量的综合运用，通过空间向量的基底运算即可判定B选项，利用空间向量的坐标运算再逐项判定即可.
12．【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A选项：因为，所以F为AB的中点，又根据抛物线的对称性可得，直线AB与x轴垂直，
所以故A选项正确；
对于B选项：因为，所以即又，
所以即解得：或，故B选项错误；
对于C：，则
当且仅当三点共线时等号成立，故C选项错误；
对于D选项：抛物线的焦点，准线l方程为：过点A作准线l的垂足为点N，
由抛物线的定义可得：则
当点N，A，M三点共线时，取得最小值，且最小值为故D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】本题主要考查抛物线的基本性质及定义，根据相等向量可得点F为AB的中点，利用焦半径公式即可判定A选项；根据焦半径公式及点在抛物线上建立方程即可判定B选项；根据焦半径公式判定C选项；根据抛物线的定义可把转化为，然当点N，A，M三点共线时，取得最小值即可求解.
13．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列 数列满足（），所以
即数列是以为首项，3为公比的等比数列，
故即.
故答案为：.
【分析】本题主要考查构造法求数列通项、等比数列的通项公式，根据题意可得从而得到数列是以为首项，3为公比的等比数列，再运用等比数列的通项公式进行求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行， 所以：解得：
故直线与直线平行，由平行直线之间的距离公式可得
故答案为：
【分析】本题主要考查直线平行的判定及平行直线之间的距离公式，根据直线平行的条件可解得m的值，然后再利用平行直线之间的距离公式进行求解即可.
15．【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，由题意可得：解得：
再将点P的坐标代入椭圆的方程可得：化简可得：
即：结合离心率公式可得：
即，可得：
因为恒成立，故且故
故答案为：.
【分析】本题主要考查对称性知识、椭圆的标准方程及几何性质、椭圆的离心率公式，设出点P的坐标，利用对称的斜率及中点关系建立方程组解出点P坐标的表达式，然后再将点P的坐标代入椭圆方程，得到关于a，c的方程再结合离心率公式进行求解即可.
16．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：将圆锥沿平面ABC剪开，得到如图所示的轴截面图和圆锥的展开图，
则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为圆锥的侧面展开图中扇形的弧所对的弦长AB.
设圆柱的底面半径为高为，圆锥的底面半径为高为，母线长为l，
则有解得：又由相似可得：即
解得：在中，即解得
因为所以
故答案为：
【分析】本题主要考查圆柱的体积、圆锥的展开图，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为圆锥的侧面展开图中扇形的弧所对的弦长AB.设圆柱的底面半径为高为，圆锥的底面半径为高为，母线长为l，根据题意根据圆柱的体积可求得圆柱的高，然后再根据相似求出再利用圆锥的性质求出圆锥的母线，再根据弧长公式进行求解即可.
17．【答案】（1）证明：如图1，取DP的中点G，连接EG，CG，
图1
又E是AP的中点，
所以EG∥AD，且．
因为四边形ABCD是矩形，
所以且BC∥AD，
所以，且EG∥BC．
因为F是BC的中点，所以，
所以且EG∥CF，
所以四边形EFCG是平行四边形，故EF∥CG．
因为平面PCD，平面PCD，所以EF∥平面PCD．
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直，
以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图2所示）．
图2
设，所以．
因为E，F分别为AP，BC的中点，所以，，，，
所以，，．
设平面CEF的一个法向量为，由，即，
令，则，，所以．
又，设直线CD与平面CEF所成角为，
所以，
所以直线CD与平面CEF所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题主要考查线面平行、空间向量解决直线与平面所成角的问题.
（1）取DP的中点G，连接EG，CG，根据中位线定理可得：EG∥AD，且．再根据矩形的性质可求得：，进一步得到四边形EFCG是平行四边形，故EF∥CG，然后根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）根据题意可得AB，AD，AP两两垂直，以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后写出各相关点的坐标，并表示出向量的坐标，然后求出平面CEF的一个法向量为，设直线CD与平面CEF所成角为，然后根据向量法的公式进行求解即可.
18．【答案】（1）设圆C的标准方程为（），
由题意可知：，
解得，，，
可得圆C的标准方程为：．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，此时，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：，即为．
因为，所以，
解得，所以直线l：．
综上所述：直线l的方程为或．
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程，直线与圆的相交的弦长定理.
（1）设圆C的标准方程为（），根据 ⊙C关于直线对称，则圆心C必在直线上，再结合已知条件建立方程组，解出a，b，r即可求解；
（2）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况进行分类讨论并结合垂径定理求解即可.
19．【答案】（1）因为，
所以当时，，
则，即，．
又当时，，则，满足，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）可知，
所以
．
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系及裂项相消法求和.
（1）根据已知前n和的等式得到：当时，，再结合进行求解即可；
（2）由（1）可知，然后运用裂项相消法进行求和即可.
20．【答案】（1）解：由题可知，，解得，
故抛物线C的方程为．
（2）解：设，，则，
两式相减，得，即．
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，
故直线l的斜率为2．
所以直线l的方程为：．
联立直线与抛物线方程，得，
由韦达定理可得，．
由弦长公式得
．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质、点差法的运用、弦长公式.
（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式进行求解即可；
（2）根据点差法求解斜率，得到直线AB的方程，然后联立直线AB与抛物线的方程，得到韦达定理，然后再利用弦长公式进行求解即可.
21．【答案】（1）解：因为，所以，
故是公差为2的等差数列．
在中，令，得，解得，
则．
（2）解：由（1）可得：，
故①，
则②，
①－②得
，
故．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法求和.
（1）根据已知递推式得到：，故是公差为2的等差数列，然后在根据已知数列的前n项和求得，运用等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）由（1）可得：，然后运用错误相减法进行求和即可.
22．【答案】（1）解：由题意可得，，，
解得，，
所以椭圆C的方程为：．
（2）证明：由（1）知，，
设，，
所以，．
因为，
所以．①
设直线AB的方程为，与椭圆联立，
消去y，得．
由，得，
所以，．②
因为，，
所以由①，得，
即，③
把②代入③，得，
整理，得，解得，（舍），
所以，即直线AB过定点．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要椭圆的标准方程、直线与椭圆的顶点问题.
（1）根据长轴长和离心率即可求出椭圆的方程；
（2）设出点A，B的坐标和直线AB的方程，直线AB的方程与椭圆方程联立，再结合韦达定理和直线MA，MB的斜率之积即可得到直线AB过定点.
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