1.1 直角三角形的性质和判定（I）第1课时 课件(共23张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共23张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（I）
第1课时 直角三角形的性质和判定
学习目标
1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
学习重点、难点
直角三角形的性质定理（直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
会判定一个三角形是直角三角形.
重点：
难点：
性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的探索推导过程.
知识回顾
我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，你能列举出一些吗？
直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？
如：三角形内角和为180°……
课时导入
如图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少
说一说
30° + 60° = 90°
45° + 45° = 90°
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？
在 Rt△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
知识讲解
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，∴∠A +∠B = 90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ．
A
B
C
如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么 △ABC 是直角三角形吗？
有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？
在 △ABC 中，
∵ ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
于是 △ABC 是直角三角形.
说一说
知识讲解
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
应用：
在 △ABC 中，
∵ ∠A +∠B = 90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
A
B
C
探究
如图，画一个 Rt△ABC， 并作出斜边 AB 上的中线 CD，比较线段 CD 与线段 AB 之间长度，你能得出什么结论？
我测量后发现
CD = AB.
线段 CD 比线段 AB 短.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
图1-4
如图 1-3， 如果中线 CD = AB，则有∠DCA = ∠A .
由此受到启发，在图 1-4 的 Rt△ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CD′ 交 AB 于 D′，使∠D′CA = ∠A ，则 CD′ = AD′ .
图1-3
证一证
∴ 点 D' 是斜边上的中点，即 CD' 是斜边 AB 的中线.
又∵∠A +∠B = 90°，∠D′CA +∠D′CB = 90°，
∴ ∠B = ∠D′CB.
∴CD′ = BD′.
故得
从而 CD 与 CD' 重合，由此得到：
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例
如图，已知 CD 是 △ABC 的 AB 边上的中线，且 . 求证：△ABC 是直角三角形.
证明：
∴ ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B .
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠ACB = ∠1 + ∠2，
∴∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°，
∴ 2(∠A +∠B) = 180°.
∴ ∠A +∠B = 90°.
∴ △ABC 是直角三角形.
随 堂 小 测
1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50°
C．60° D．70°
B
2. 具备下列条件的 △ABC 中，不是直角三角形的是（ 　）
A．∠A + ∠B = ∠C
B．∠A - ∠B = ∠C
C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3
D．∠A = ∠B = 3∠C
D
3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，
CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　）
A．∠B
B．∠A
C．∠BCD 和 ∠A
D．∠BCD
C
4. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；
(2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD =_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
5. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是________.
90°
6. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38，则∠A = _____°.
52
第5题图
第6题图
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形．
证明：∵∠ACB = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．
∵∠ACD = ∠B，
∴∠A +∠ACD = 90°．
∴△ACD 是直角三角形．
解：（1）∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4．
∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF
＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18．
8. 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是
AB、AC 的中点．
(1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长；
(2)求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF，
∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上．
∴EF 垂直平分 AD.
归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
小结
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.