1.1 直角三角形的性质和判定（I）第2课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共20张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（I）
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
课时导入
问题引入
问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？
A
C
B'
A'
C'
B
问题2 剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
动手：用刻度尺测量含 30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
结论：短直角边=斜边
证明1：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
∵CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
A
30°
B
C
D
∵∠BCA = 90°，且 ∠A = 30°，
∴∠B = 60°.
∴△CBD 为等边三角形.
证明方法：中线法
证明2：在 △ABC 中，
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，
则△ABD 是等边三角形．
A
B
C
D
∴ BC = BD = AB．　　
30°
)
证明方法：倍长法
)
证明3：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵ ∠B = 60° ，BE = BC.
∴ △BCE 是等边三角形，
∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ECA = ∠BEC -∠A = 60°- 30°= 30°.
∴ AE = EC，
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE + BE = 2BC.
E
A
B
C
∴BC = AB．　　
30°
证明方法：截半法
知识讲解
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半.
应用：
∵在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
A
B
C
)
30°
如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC = AB，那么 ∠A 等于多少？
动脑筋
解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
即△BDC 为等边三角形．
∴∠B = 60°.
∵∠B +∠A = 90°，
∴∠A = 30°.
B
C
A
D
知识讲解
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°.
应用：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = AB．
∴∠A = 30°.
A
B
C
)
30°
例
解：∵∠AOD = 30°，
AO = 海里，
∴ AD = AO = 海里＞20 海里，
∴无触礁危险.
O
B
D
A
北
东
60°
如图，在 A 岛周围 20 海里 (1 海里 = 1 852 m) 水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向上，且与轮船相距 海里.若该船继续保持航向不变，有触礁的危险吗？
随 堂 小 测
B
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　　)
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
2. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6 米 B．9 米
C．12 米 D．15 米
B
3. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的 △ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A ＝ 150°，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮需要 ( )
A．300a 元 B．150a 元
C．450a 元 D．225a 元
B
4. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，
∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 .
1
A
B
C
D
5. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm.
A
C
B
第5题图
第4题图
8
∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)，
∴∠DAC = ∠B+∠ACB = 15°+15°= 30°，
6. 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20. 求腰上的高.
A
C
B
D
15°
15°
20
解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D.
)
)
∴CD = AC = ×20 = 10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30°角的直角三角形来解决．
7. 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，
AB⊥AC，且 AC ＝ BC，求∠DAC 的度数．
解：∵AB⊥AC，
∴∠CAB ＝ 90°.
∵AC ＝ BC，
∴∠CBA ＝ 30°.
∵AD∥BC，
∴∠BAD ＝ ∠CBA ＝30°．
∴∠DAC ＝ ∠CAB＋∠BAD ＝ 120°.
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC，BC ⊥AC，∠A = 30°，
∴BC = AB，DE = AD.
∴BC = AB = ×7.4 = 3.7(m).
又AD = AB，
∴DE = AD = ×3.7 = 1.85 (m).
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
8.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC、DE 有多长？
小结
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30°的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：含30°角的直角三角形中