1.2 直角三角形的性质和判定（II）第1课时 课件(共25张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共25张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（II）
第1课时 勾股定理
学习目标
1．探索勾股定理及其逆定理.
2．能用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形.
3.能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
学习重点、难点
勾股定理及其逆定理.
重点：
难点：
勾股定理的探索与推理论证.
课时导入
在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 的面积之间有什么样的数量关系？观察下边两幅图（每个小正方形的面积为单位 1）：
议一议
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法1：补形法（把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形)：
左图：
右图：
你还有其他办法求 C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填入下表：
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
问题 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
命题 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的例子，我们猜想：
a
b
c
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国古代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
知识讲解
勾股定理：
其中a，b，c 为正数.
直角三角形两直角边 a，b 的平方和，等于斜边 c 的平方.
a2 + b2 = c2.
公式变形：
（勾）a
b（股）
c（弦）
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2 + 股2 = 弦2
例
如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB = AC = 13 cm，BC = 10 cm，AD ⊥ BC 于点 D. 求 BC 边上的高 AD.
解：在△ABC中，
∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，
在Rt△ADB中，
由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，
故AD的长为12 cm.
随 堂 小 测
1. 下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面
积为 cm .
8 cm
10 cm
36
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.
（1）若 a = 15，b = 8，则 c = .
（2）若 c = 13，b = 12，则 a = .
17
5
4. 已知 S1 = 1，S2 = 3，S3 = 2，S4 = 4，求 S5，S6，
S7 的值.
S5 = S1 + S2 = 4，
S7 = S5 + S6 = 10.
S6 = S3 + S4 = 6，
S1
S2
S5
S3
S4
S6
S7
（1）若 a∶b = 1∶2 ，c =5，求 a ；
（2）若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
5. 在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
解：
(1)设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得
x2 + (2x)2 = 52，
解得
(2) ∠A = 30°，b = 15，
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
(2x)2 - x2 = 152 ，
解得
归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
6. 在 Rt△ABC 中，AB＝4，AC＝3，求 BC 的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图1，
当 BC 为斜边时，如图2，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图1
图2
归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
7. 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4.
求 CD 的长.
解：由勾股定理可得
AB2 = AC2 + BC2 = 25 ，即 AB = 5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC = AB×CD.
∴ CD = .
A
D
B
C
3
4
归纳：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
小结
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有a2 + b2 = c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论