1.2 直角三角形的性质和判定（II）第3课时 课件(共23张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共23张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（II）
第3课时 勾股定理的逆定理
知识回顾
B
C
A
问题1 勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
b
c
a
问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c＝5
c＝6.5
c＝8.5
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，可不可以通过边的关系来判定直角三角形呢？
课时导入
同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
打 13 个等距离的结，把一根绳子分成等长的 12 段，然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
思考：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
探究
问题1 上述三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵ 32 + 42 = 52，∴满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌△A′B′C′ 　　
？
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2 . 求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
探究
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形.
则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2
A
C
a
B
b
c
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
知识讲解
勾股定理的逆定理:
例1
下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15， b = 8，c = 17；
解：(1)∵152 + 82 = 289，172 = 289，∴152 + 82 = 172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C 是直角.
(2) a = 13，b = 14，c = 15.
(2)∵132 + 142 = 365，152 = 225，
∴132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理.
∴这个三角形不是直角三角形.
归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
知识讲解
勾股数:
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k (k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
例2
1
2
如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
解：根据题意得
PQ = 16×1.5 = 24 (海里)，
PR = 12×1.5 = 18 (海里)，
QR = 30 海里.
∵242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1 = 45°，
∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
归纳：解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解.
随 堂 小 测
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
3. 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
4. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则
得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
5. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是________________________.
等腰三角形或直角三角形
6. 一个三角形的三边长分别为 15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm.
12
7. 若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)，
∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2.
∴ △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角.
归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形. 如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰直角三角形.
8. 如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 3，BC ＝ 4，CD ＝ 12，AD ＝ 13，求四边形 ABCD 的面积.
解析：连接 AC，把四边形分成两个三角形. 先用勾股定理求出 AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 △ACD 是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
解：连接 AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在 Rt△ABC 中，
在 △ACD 中，
AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = AD2，
∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD = 90°.
∴S四边形ABCD = SRt△ABC + SRt△ACD = 6 + 30 = 36.
归纳：四边形问题中，对角线是常作的辅助线，它可以把四边形问题转化成两个三角形的问题. 在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭档”，经常一起使用.
9. 在寻找某坠毁的飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A，B．于是，一艘搜救艇以 16 海里/时 的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O 出发，以 12 海里/时 的速度向着目标 B 出发，1.5 小时后，他们同时分别到达目标 A、B．此时，他们相距 30 海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
解：根据题意得 OA = 16×1.5 = 24(海里)，
OB = 12×1.5 = 18(海里)，
∵OB2 + OA2 = 242 + 182 = 900，AB2 = 302 = 900，
∴OB2 + OA2 = AB2.
∴∠AOB = 90°.
∵第一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口 O沿北偏东 40°的方向向目标 A 的前进，
∴∠BOD = 50°.
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度．
小结
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形
注意
最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角
勾股数一定是正整数
应用
航海问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题