1.3 直角三角形全等的判定 课件(共21张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共21张PPT)
第1章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
学习目标
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
学习重点、难点
运用“斜边、直角边”定理证明两个直角三角形全等.
重点：
难点：
“斜边、直角边”定理的探索推导过程.
知识回顾
我们已经学过的判定三角形全等的方法有：
SSS ASA
SAS AAS
课时导入
思考
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
A
B
C
A′
B′
C′
1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°.再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？
A
B
C
探究
画图思路
(1) 先画 ∠MC′N＝90°；
A
B
C
M
C′
N
(2) 在射线 C′M 上截取 B′C′＝BC；
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
(3) 以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′；
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
(4) 连接 A′B′.
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
画图思路
B
C
A
A'
B'
C'
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∵AB = A'B'，AC = A'C'，
根据勾股定理，
BC2 = AB2－AC2，
B'C'2 = A'B'2－A'C'2，
∴BC = B'C'.
∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
证明猜想
知识讲解
“斜边、直角边”定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB=A′B′，
BC=B′C′，
例
如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.
求证：Rt△BEC ≌ Rt△CDB.
证明：∵ BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC = ∠CDB = 90°.
在 Rt△BEC 和Rt△CDB 中，
∵BC = CB，BE = CD，
∴ Rt△BEC≌Rt△CDB (HL).
A
B
C
E
D
随 堂 小 测
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( )
A. 两条直角边对应相等
B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等
D. 两个锐角对应相等
D
A
2. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，CE ⊥ AB 于
点 E ，AD，CE 交于点 H，已知 EH ＝ EB ＝ 3，
AE ＝ 4，则 CH 的长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角 △ABC 和△ABE 的高，如果 AD ＝ AF ，AC ＝AE. 求证：BC ＝ BE.
证明：∵AD，AF 分别是两个钝角 △ABC 和 △ABE 的高，且 AD ＝ AF，AC ＝ AE，
∴ Rt△ADC≌Rt△AFE (HL)．
∴ CD ＝ EF.
∵AD ＝ AF，AB ＝ AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD ＝ BF.
∴BD－CD ＝ BF－EF. 即 BC ＝ BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
4. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么关系？
解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC = EF，
AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF +∠F = 90°，
∴∠B +∠F = 90°.
5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC ＝ 10 cm，BC ＝ 5 cm，一条线段 PQ ＝ AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？
解：(1) 当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ ＝ AB，AP ＝ BC，
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA (HL)，
∴AP ＝ BC ＝ 5 cm.
(2)当 P 运动到与 C 点重合时，AP ＝ AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
∵PQ ＝ AB，AP ＝ AC，
∴Rt△PQA≌Rt△ABC (HL)，
∴AP ＝ AC ＝ 10 cm，
∴当AP＝5 cm 或10 cm 时，△ABC 才能和△PQA 全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
小结
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中