1.4 角平分线的性质 第1课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共20张PPT)
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质和判定
学习目标
1.探索并证明角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等；
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2.能灵活运用角平分线的性质定理解决一些简单的几何推理问题.
学习重点、难点
角平分线性质定理及其应用.
重点：
难点：
性质定理的探索推理论证.
知识回顾
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB = AD，BC =DC.
将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是 SSS，两全等三角形的对应角相等.
课时导入
探究
1. 取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、PE 的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系，
写出结论：__________.
PD PE
第一次
第二次
第三次
PD = PE
C
O
B
A
P
D
E
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任意一点.
证明猜想
已知：如图， ∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP，
OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
∴ PD = PE.
C
O
B
A
P
D
E
知识讲解
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用定理所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
角平分线的性质定理：
例1
已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F.
求证：EB = FC.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE = DF，
BD = CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ EB = FC.
动脑筋
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等，那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得
到什么命题，这个新命题正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
猜想：
思考：这个命题正确吗？
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：
作射线 OP，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO = ∠PEO = 90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).
∴∠AOP = ∠BOP (全等三角形的对应角相等).
知识讲解
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
应用定理所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：
判断点是否在角平分线上.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.
∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.
例2
如图所示，已知 △ABC 中，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵ D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，
∴点 D 在∠EPF 的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
随 堂 小 测
1. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC = ∠BOC 的依据是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
∵AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB.
∴DF ＝ DE ＝ 2.
解得 AC＝3.
2. 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法．
3. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
4. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，
DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE ＝ DF.
在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE ＝ CF.
5. 如图所示，D 是∠ACG的平分线上的一点，DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为 E，F. 求证：CE ＝ CF.
6. 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为 1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线 OC，
截取 OD = 2.5 cm ，D 即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
小结
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
小结
角平分线的性质定理
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
角平分线
的性质定理的逆定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的内角平分线相交于内部一点