2023-2024学年数学湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质 第2课时课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第2课时 角平分线的综合运用
知识回顾
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD ⊥ OA 于 D
PE ⊥ OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥ OA 于 D
PE ⊥ OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
课时导入
动脑筋
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
1. 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
2.分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结论吗？
证明结论
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE. 同理 PE = PF.
∴PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点 P 在 ∠A 的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
想一想
D
E
F
A
B
C
P
N
M
随 堂 小 测
1. 如图，在 △ABC 中，点 O 是 △ABC 内一点，且点 O 到 △ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则 ∠BOC 的度数为 (　　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
A
解析：O 到 △ABC 三边的距离相等，所以 O 是三条内角平分线的交点，AO，BO，CO 都是角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O 是三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
A
B
C
P
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为_______；
(2) 求 △APB 的面积.
D
4
故 AB·PD = 28.
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
3. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD于 N. 求证：CM ＝ CN.
证明：∵OD 平分∠POQ，
∴∠AOD = ∠BOD.
在△AOD 与△BOD 中，
∵OA = OB，∠AOD =∠BOD，OD = OD，
∴△AOD≌△BOD(SAS).
∴∠ADO =∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM = CN.
4. 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：
过点 F 作 FG⊥ AE 于 G，FH ⊥ AD 于 H，FM ⊥ BC 于 M.
∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上，FG ⊥ AE， FM ⊥ BC，
∴ FG ＝ FM.
又∵点 F 在∠CBD 的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM ＝ FH，
∴FG ＝ FH.
∴点 F 在∠DAE 的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离.
∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
∴ PM = PE. 同理，PN = PE.
∴ PM = PN = PE =3.
∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的距离.
6. 如图，∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°，求证：PA = PC.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
【分析】由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE，PF，构造角平分线的基本图形.
E
F
证法1：过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
∵∠1 = ∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
∴PE = PF， ∠PEA = ∠PFC = 90°.
∵ ∠PCB +∠BAP = 180°，又∠BAP +∠EAP = 180°.
∴ ∠EAP = ∠PCB.
在△APE 和△CPF 中，
∠PEA = ∠PFC = 90°，
∠EAP = ∠FCP，
PE = PF，
∴ △APE≌△CPF(AAS).
∴ AP = CP.
归纳拓展：角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.
证法2：
思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.
方法是在 BC 上截取 BD = AB，连接 PD(如图).
则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是等腰三角形即可获证.
A
C
N
)
)
1
2
P
B
证明过程请同学们自行完成！
D
7.如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
l1
l2
l3
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
小结
1. 应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解