2.1 多边形 第1课时 课件(共29张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共29张PPT)
第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时 多边形的概念及其内角和
学习目标
1．了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念，以及四边形的不稳定性.
2．探索并掌握多边形内角和与外角和定理.
3．会运用内角和与外角和定理进行计算.
学习重点、难点
多边形内角和与外角和定理及其应用.
重点：
难点：
多边形内角和与外角和定理的探索推理过程.
课时导入
中国第一奇村诸葛八卦村
美国国防部大楼—五角大楼
观察
问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
问题1 什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等，其中三角形是最简单的多边形.
内角：多边形相邻两边的夹角
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的顶点、边、内角、外角．
顶点
边
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
n 边形有 n 个顶点，
n 条边，
n 个内角，
2n 个外角．
对角线：连接不相邻两个顶点的线段
探究
三角形
六边形
四边形
八边形
…
五边形
请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
·
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n 边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0
1
2
3
5
n - 3
1
2
3
4
6
n - 2
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.
将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
n (n ≥ 3) 边形共有对角线 条.
知识讲解
多边形的对角线：
在平面内，边相等，角也都相等的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正多边形的定义
下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；
第二个图形不符合各边都相等.
注意：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
想一想
动脑筋
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题1 三角形的内角和是多少度？
三角形的内角和是 180°.
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°.
问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
方法1：如图，连接 AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×2 = 360°.
A
B
C
D
猜想
方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED)
= 180°×3 - 180°
= 360°.
A
B
C
D
E
方法3：如图，在四边形 ABCD 内部任取一点 E，连接 AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×4 - (∠AEB + ∠AED + ∠CED + ∠CEB)
= 720°- 360°= 360°.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解
结论：四边形的内角和为360°.
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出的三角形个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
（ n -2 ）·180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
···
···
发现
知识讲解
多边形的内角和：
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
多边形的内角和公式：
n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°.
例1
（1）十边形的内角和是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于1 980°，它是几边形？
解：
（1）十边形的内角和是
（10-2）×180°=1 440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则
（n-2）×180°=1 980°，
解得n=13.
所以这是一个十三边形.
例2
六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，∴新多边形的边数有 7，5，6 三种可能，如图所示.
归纳：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
例3
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°.
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
因为
∠B +∠D = 360°- (∠A + ∠C )
= 360°- 180°= 180°.
所以
A
B
C
D
归纳：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
例4
一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则
(n - 2) 180 = 360 + 720，
解得 n = 8.
∵ 这个多边形的每个内角都相等，
其内角和为 (8 - 2)×180°= 1 080°，
∴ 它每一个内角的度数为 1 080°÷8 = 135°．
随 堂 小 测
1. 一个多边形的内角和不可能是 ( )
A.1 800° B.540°
C.720° D.810°
D
2. 九边形的对角线有（ ）
A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条
C
3. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形内角和等于 ( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
C
4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形.
十三
5. 一个多边形的内角和为1 800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1 800÷180 ＝ 10，
∴原多边形边数为10＋2 ＝ 12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
∴新多边形的边数可能是 11，12，13.
∴新多边形的内角和可能是1 620°，1 800°，1 980°.
6. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC +∠ADC = 180°．
∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
∴∠CDF +∠EBF = 90°．
∵BE∥DF，∴∠EBF = ∠CFD，
∴∠CDF +∠CFD = 90°．
故△DCF 为直角三角形．
7. 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E = 540°，
∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，
∴∠EAB+∠ABC = 540°-100°-75°-135° = 230°.
∵AP 平分∠EAB，∴∠PAB ＝ ∠EAB.
同理可得∠ABP ＝ ∠ABC.
∵∠P+∠PAB+∠PBA = 180°，
∴∠P = 180°-∠PAB-∠PBA
= 180° (∠EAB+∠ABC ) = 180° ×230°= 65°．
8. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝ 五边形的内角和 ＝ 540°.
8
9
小结
多边形的内角
定义
前提条件是在一个平面内
正多
边形
定义既是判定也是性质
内角和计算公式
(n-2)×180°(n≥3)