2.2.2 第1课时 平行四边形的判定定理1、2 课件(共20张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共20张PPT)
第2章 四边形
2.2 平行四边形
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
2.2.2 平行四边形的判定
学习目标
1．探索并证明平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2．会运用平行四边形的判定定理判定一个四边形是否为平行四边形.
课时导入
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了
这是为什么呢？
问题 我们知道，两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想 1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想 2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上、下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
动脑筋
B
A
如图，将线段 AB 向右平移 BC 长度后得到线段 DC，连接 AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD 的形状吗？
D
C
四边形 ABCD 是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
证明猜想
A
B
C
D
作对角线构造全等三角形
一组对应角相等
两组对边分别平行
四边形 ABCD 是平行四边形
如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD且 AB∥CD，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
2
1
证明：连接 AC.
∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2.
在 △ABC 和 △CDA 中，
AB＝CD，
AC＝CA，
∠1＝∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴∠ACB＝∠CAD ，∴AD∥CB.
又∵AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
知识讲解
平行四边形的判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
应用：
A
B
C
D
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
例1
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥FD．
又∵EB ＝ AB ，FD＝ CD，
∴EB＝FD ．
∴四边形 EBFD 是平行四边形．
如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形.
问题1：将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起，任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗
动脑筋
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
问题2：用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形吗
证明猜想
你能根据平行四边形的定义证明吗？
已知：四边形 ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
连接 AC.
在 △ABC 和 △CDA 中，
AB＝CD (已知)，
BC＝DA(已知)，
AC＝CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴ ∠1＝∠4，∠ 2＝∠3.
∴ AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
知识讲解
平行四边形的判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
应用：
A
B
C
D
在四边形 ABCD 中，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
例2
如图， AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△CDA 中，
∵AC = CA，AB = CD，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴BC = DA.
又∵AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
随 堂 小 测
1. 已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD，从中任选两个，不能使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法是 （　　）
A．AB∥CD，AB＝CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC＝AD
D．AB＝CD，BC＝AD
C
2.如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = .
A
F
B
D
C
E
P
8
3.已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件 .
AD = BC 或 AB∥CD
4. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝BD.
在 △ACE 和 △DBF 中，
AC＝DB ，∠A＝∠D， AE＝DF，
∴△ACE≌△DBF(SAS).
∴CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
5. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：
四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC，
又∵BF = DH，
∴AH = CF.
又∵AE = CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）.
∴EH = GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS）∴GH = EF.
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
6. 如图，已知 E，F，G，H 分别是 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
7. 如图，点 C 是 AB 的中点，AD＝CE，CD＝BE．
（1）求证：△ACD ≌△CBE；
（2）连接 DE，求证：四边形 CBED 是平行四边形．
证明：（1）∵点 C 是 AB 的中点，∴AC＝BC.
在 △ADC 与 △CEB 中，
AD＝CE ，CD＝BE ， AC＝BC ，
∴△ADC≌△CEB（SSS）.
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD＝∠CBE. ∴CD∥BE.
又∵CD＝BE，∴四边形 CBED 是平行四边形．
小结
平行四边形的判定
判定定理1
判定定理2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.