2.2.2（ 第2课时） 平行四边形的判定定理3 课件 （23张PPT）2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共23张PPT)
第2章 四边形
2.2 平行四边形
第2课时 平行四边形的判定定理3
2.2.2 平行四边形的判定
知识回顾
问题1 除了两组对边分别平行或相等外，平行四边形还有哪些性质？
平行四边形的两组对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
角：
对角线：
思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？
问题2 上面的两条性质的逆命题各是什么？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课时导入
动脑筋
如图，将两根细木条 AC、BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
猜想：四边形 ABCD 一直是平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
证明猜想
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
在 △AOB 和 △COD 中，
OA = OC (已知)，
OB = OD (已知)，
∠AOB = ∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴∠BAO = ∠OCD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
知识讲解
平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
应用：
A
B
C
D
在四边形 ABCD 中，
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
O
例1
如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，BO = DO.
∵AE = CF，
∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = OF.
又∵BO = DO，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
昨天小李同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形玻璃片，只剩下如图所示部分，他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢？
( A，B，C 为三顶点，即找出第四个顶点 D )
A
B
C
探究
D
A
B
C
方法一依据：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
D
A
B
C
方法二依据：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法二：
D
O
A
B
C
方法三依据：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：
动脑筋
根据已经学过的知识，猜想一下，两组对角分别相等的四边形的形状是什么
猜想：是平行四边形.
证明猜想
已知：四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴2∠A + 2∠B = 360°，
即∠A +∠B = 180°.
∴ AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
同理得 AB∥CD.
证明：
知识讲解
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
应用：
A
B
C
D
在四边形 ABCD 中，
∵∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B ＝ 55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1) 求 ∠D 的度数.
(2) 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
(1) 解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°.
(2) 证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB.
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝ 55°，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
例2
随 堂 小 测
1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形(　　)
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD = ∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
2. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. 两组对边分别相等
B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线相等
D. 两组对边分别平行
C
3. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：
∠A∶∠B ∶∠C∶∠D 的值为 (　　)
A. 1∶2∶3∶4
B. 1∶4∶2∶3
C. 1∶2∶2∶1
D. 3∶2∶3∶2
D
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O.
如果 AC = 8 cm，BD = 10 cm，
那么当 AO =____cm，BO =___cm 时，
四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
4
5
5. 如图，五边形 ABCDE 是正五边形，连接 BD、CE，交于点 P． 求证：四边形 ABPE 是平行四边形．
证明：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB = BC = CD = DE = AE.
∴∠DEC = ∠DCE = ×(180°-108°) = 36°.
同理∠CBD =∠CDB = 36°.
∴∠ABP =∠AEP = 108° - 36°= 72°.
∴∠BPE = 360° - 108° - 72° - 72° = 108° = ∠A.
∴四边形 ABPE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
5. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC 交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
∴DE = AF.
又∵AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.
∴DF = CF.
∴DE + DF = AF + FC = AC = 10．
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD = 12 cm，BC = 15 cm，点 P 自点 A 向 D 以 1 cm/s 的速度运动，到 D 点即停止．点 Q 自点 C 向 B 以 2 cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t(s).
(1) 用含 t 的代数式表示：
AP = cm； DP = cm；
BQ = cm；CQ =____cm；
t
(12 - t)
(15 - 2t)
2t
（2）当 t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形？
解：根据题意有 AP = t cm，CQ = 2t cm，
PD = (12 - t) cm，BQ = (15 - 2t) cm．
∵AD∥BC，
∴当 AP = BQ 时，四边形 APQB 是平行四边形．
∴ t = 15 - 2t，解得 t = 5．
∴ t = 5 s 时四边形 APQB 是平行四边形．
解：∵AP = t cm，CQ = 2t cm，
AD = 12 cm，
∴PD = AD -AP = (12 - t) cm.
∵AD∥BC，
∴当 PD = QC 时，四边形 PDCQ 是平行四边形，
即 12 - t = 2t，解得 t = 4，
∴当 t = 4 s 时，四边形 PDCQ 是平行四边形．
（3）当 t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形？
小结
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3)