2.5 矩形 第1课时 矩形的性质 课件(共23张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共23张PPT)
第2章 四边形
2.5 矩 形
2.5.1 矩形的性质
学习目标
1．理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形的关系.
2．探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形对角线相等.
3．会用矩形的性质定理进行推理和计算.
4．理解矩形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，过每组对边的中点的直线都是矩形的对称轴.
学习重点、难点
矩形的性质定理及其应用.
重点：
难点：
探索并证明性质定理“矩形的对角线相等”以及“矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴”.
课时导入
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察下图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？
你还能举出其他的例子吗？
矩形
活动 1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请注意观察.
知识讲解
矩形的概念：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
活动 2：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本，课桌，铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证明猜想
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B = ∠D，∠C = ∠A， AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B = ∠C = ∠D = ∠A = 90°.
如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证： ∠B = ∠C = ∠D = ∠A = 90°.
A
B
C
D
证明猜想
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°.
在△ABC 和△DCB 中，
∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴AC = DB.
A
B
C
D
O
如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
知识讲解
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线相等且互相平分.
应用：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，∴∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
例
如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形.
∴AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD.
∴OA = OB.
又∵∠AOB = 60°，
∴△OAB 是等边三角形.
∴OA = AB = 4.
∴AC = BD = 2OA = 8.
A
B
C
D
O
矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于矩形是平行四边形，因此：
O
思考
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
做一做
随 堂 小 测
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC
B．AC = BD
C．AC⊥BD
D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
A
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
C
4. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
A
B
C
D
O
E
F
6.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上点，AE = AD，
DF⊥AE ，垂足为 F. 求证：DF = DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接 DE，如图.
∵AD = AE，∴∠AED = ∠ADE.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE = ∠DEC.
∴∠DEC = ∠AED.
又∵DF⊥AE，
∴DF = DC.
7. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE：∠BAE＝3∶1，求 ∠BAE 和 ∠EAO 的度数．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
∴∠OAB＝∠ABE，
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
8. 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD＝8，AB＝4，求△BED 的面积．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2 ＝ BE2，
∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2， 解得 x＝5，即 DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
小结
矩形的相关概念及性质
矩形的四个角都是直角，对边相等
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心