2.6 菱形 第1课时 课件(共27张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共27张PPT)
第2章 四边形
2.6 菱 形
2.6.1 菱形的性质
学习目标
1．理解菱形的概念以及菱形与平行四边形的关系.
2．探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等.
3．了解菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴.
4．能用菱形的性质进行简单的计算和推理.
学习重点、难点
菱形的性质定理及其应用.
重点：
难点：
性质定理“菱形的对角线互相垂直”的探索与证明.
课时导入
观察
观察图中的平行四边形，它们有什么特点？
它们的邻边相等.
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
有一个角是直角
如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
思考
平行四边形
菱形
邻边相等
知识讲解
菱形的概念：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
平行四边形
菱形
一组邻边相等
活动 在一张菱形纸片上画出两条折痕，折叠这张纸片(如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗
如果是，指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量
上有什么关系 菱形的两条对角线有什么关系
证明猜想
(1) AB = BC = CD =AD；
(2) AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵AB = AD，
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：
(2)∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
在等腰△ABD 中，
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC = ∠BAC.
同理可证∠DCA = ∠BCA，
∠ADB = ∠CDB，∠ABD = ∠CBD.
A
B
C
O
D
知识讲解
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的四条边都相等，对角相等，对角线互相平分.
菱形的对角线互相垂直.
菱形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于菱形是特殊的平行四边形，因此
O
思考
把图中的菱形 ABCD 沿直线 DB 对折，点 A 的对应点是______， 点 C 的对应点是_____， 点 D 的对应点是_____，点 B 的对应点是_____，边 AD 的对应边是 ，边 CD 的对应边是 ，边 AB 的对应边是 ，边 CB 的对应边是 .
点 C
点 A
边 CD
点 B
点 D
边 AD
边 CB
边 AB
菱形是轴对称图形，两条对角
线所在直线都是它的对称轴.
做一做
由此得到
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE.
E
动脑筋
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC(BO + DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
知识讲解
菱形的面积：
如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD 长 10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(1)
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2)菱形ABCD的面积
∴AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
例
随 堂 小 测
1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则
△ABD 的周长是 (　　)
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
第1题图
C
2.如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　）
A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
B
第2题图
3. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
6 cm
4. 根据右图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长是______.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_______.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的边长是_______.
3 cm
30°
A
B
C
O
D
5 cm
（4）菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为_________.
44 cm
（5）菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2 ，那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8 cm
5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD ＝ 12 cm，AC ＝ 6 cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm)．
6.如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC 平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
证明：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA . ∴AO＝BE .
7.如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE，AE 交 BD 于 O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB.
A
B
C
D
O
E
8.如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12 ＝ 30.
∴S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120.
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴13h＝120，得 h＝ .
9.如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到 0.01 m和 0.1 m2 ).
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛 ABCD 是菱形，
归纳：菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60°时，菱形被分为以 60°为顶角的两个等边三角形.
小结
菱形的性质
菱形的性质
有关
计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
是中心对称图形和轴对称图形
对称性