2.6 菱形 第2课时 课件(共24张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共24张PPT)
第2章 四边形
2.6 菱 形
2.6.2 菱形的性质
学习目标
1．探索并证明菱形的判定定理：
四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形是菱形.
2．会运用菱形的判定定理判定一个四边形是否为菱形.
学习重点、难点
菱形的判定定理及其应用.
重点：
难点：
菱形判定定理的探索与证明.
知识回顾
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
AB = AD，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形 ABCD 是菱形.
应用：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
课时导入
作法：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B ， D，依次连接 A、B、C、D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，使 AC 为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据作法你有什么猜想？你能验证作法的正确性吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明猜想
证明：∵AB = BC = CD = AD，
∴AB = CD ， BC = AD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵AB = BC，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
知识讲解
菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
应用：
∵在四边形 ABCD 中，
AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
四边形 ABCD
A
B
C
D
AB = BC = CD = AD
A
B
C
D
菱形 ABCD
证明： ∵ ∠1 = ∠2，
又∵AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD = ED，CF = EF.
又∵EF = ED，∴CD = ED = CF = EF，
∴四边形 CDEF 是菱形.
2
如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
例1
动脑筋
在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分 ABCD 的形状吗？
A
C
D
B
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可进一步判断.
由题意可知 BC 边上的高和CD 边上的高相等，
然后通过证 △ABE≌△ADF，即得 AB = AD.
请同学们自行证明.
E
F
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
前面我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
证明猜想
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形.
∴OA = OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴BA = BC.
∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）.
知识讲解
菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
应用：
∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
□ABCD
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形 ABCD
例2
如图， ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
证明：
即 AC⊥BD.
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
∴四边形 ABCD 是菱形.
随 堂 小 测
1.下列命题中正确的是 （ ）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 三条边相等的四边形是菱形
C. 四条边相等的四边形是菱形
D. 四个角相等的四边形是菱形
C
2.在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　）
A．AB = BC B．AC = BC
C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
B
解析：∵将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，
∴AC∥DE，AC = DE.
∴四边形 ACED 为平行四边形.
当 AC = BC 时，
平行四边形 ACED 是菱形．
故选 B．
4. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和 10 cm，则平行四边形的面积是 .
120 cm2
A
B
C
D
O
E
5. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，
CE∥BD.求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OC = OD.
∴四边形 OCED 是菱形．
B
C
A
D
O
E
M
N
证明：∵MN 是 AC 的垂直平分线，
∴AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
∵CE∥AB，∴∠DAO = ∠ECO.
∴△ADO≌△CEO(ASA)．
∴AD = CE.
∴四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°，
∴四边形 ADCE 是菱形．
5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交AC于点 O，CE∥AB交 MN 于点 E，连接AE、CD.
求证：四边形 ADCE 是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
6.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
又∵AC=BD，
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形 EFGH 是菱形.
归纳：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接 AC、BD.
7.如图，在△ABC中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
(1) 证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE∥BC 且 2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC.
∴四边形 BCFE 是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形 BCFE 是菱形.
(2) 解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°.
∴△EBC 是等边三角形.
∴菱形的边长为 4，高为 .
∴菱形的面积为 .
(2) 若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
归纳：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理