2.7 正方形 课件(共32张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共32张PPT)
第2章 四边形
2.7 正方形
学习目标
1．理解正方形的概念，以及正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.
2．探索并证明正方形的性质定理.会判定一个四边形是正方形.
3．了解正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，并探索正方形的中心对称性质.
学习重点、难点
正方形的性质.
重点：
难点：
正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.
课时导入
观察
装修房子铺地面的瓷砖大多是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？
你还能举出生活中其他有关正方形的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
知识讲解
正方形的概念：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
邻边相等
矩形
〃
正方形
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
〃
〃
证明：∵四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°， AB = AD (正方形的定义).
又∵正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形(矩形的定义)，
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证一证
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形 ABCD 是矩形，
∴AO = BO = CO = DO.
∵正方形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
知识讲解
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
A
B
C
D
如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD 上一点，PE⊥BC于 E， PF⊥DC于 F. 试说明：AP = EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接 PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，AC 垂直平分 BD.
∴四边形 PECF 是矩形.
∴PC = EF.
∴AP = PC.
∴AP = EF.
归纳：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
例1
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
说一说
如何判断一个四边形是正方形呢？
证明猜想
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC ， DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO＝CO＝BO＝DO ，∠ADC＝90°.
∵AC⊥DB，
∴ AD＝AB＝BC＝CD.
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
证明猜想
已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC ，DB 是它的
两条对角线， AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 均为等腰直角三角形.
∴∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°.
∴四边形 ABCD 是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
知识讲解
正方形的判定：
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个角是直角
一组邻边相等
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等且
一内角是直角
正方形
在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE=BF=CM=DN．四边形 EFMN 是正方形吗 为什么
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = BC = CD = DA，
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
∵AE = BF = CM = DN，
∴AN = BE = CF = DM.
例2
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE＝BF＝CM＝DN，
∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
AN＝BE＝CF＝DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴EN＝FE＝MF＝NM，∠ANE＝∠BEF.
∴四边形 EFMN 是菱形，
∠NEF＝180°－(∠AEN+∠BEF)
＝180°－(∠AEN+∠ANE)
＝180°－90°＝90°.
∴四边形 EFMN 是正方形 .
思考
前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
平行四边形
随 堂 小 测
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角互补 D. 对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
B
D
3.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
C
A
B
C
D
O
5. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 (　 )
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是(　 )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
6. 在正方形 ABCD 中，∠ADB= °，∠DAC= °， ∠BOC = °.
7. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45
90
22.5°
第3题图
第4题图
45
8. 如图，四边形ABCD中，∠ABC =∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB = BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
9. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）．
②③或①④
10. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与BD 相交于点 O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD 中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为 4AD＝ ，
面积为 AD2＝8.
11.如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O，且EG⊥FH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴OB = OC，∠ABO = ∠BCO = 45°，
∠BOC = 90°= ∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH，∴∠BOE +∠BOH = 90°.
∴∠COH = ∠BOE，∴△CHO≌△BEO. ∴OE = OH.
同理可证：OE = OF = OG. ∴OE = OF = OG = OH.
又∵EG⊥FH，∴四边形 EFGH 为菱形.
∵EO + GO = FO + HO ，即 EG = HF，
∴四边形 EFGH 为正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
12.四边形 ABCD 是正方形，以正方形ABCD 的一边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当等边△ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图①，
∵AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，
∴∠AEB ＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°.
当等边△ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30°或 150°.
小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
一组邻边相等或者对角线垂直的矩形是正方形
正方形的判定
判定定理
定义法
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
一个角是直角或者对角线相等的菱形是正方形
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结