4.1.1 变量与函数 课件(共18张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共18张PPT)
第4章 一次函数
4.1 函数和它的表示法
4.1.1 变量与函数
学习目标
1．通过实例了解常量、变量的意义；了解函数的概念及其表示方法.
2．能用函数的观点分析简单实际问题中的数量关系和变化规律，能用适当的防范刻画变量之间的关系.
3．能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值.
4．在具体函数关系的讨论中，体会变化与对应思想.
学习重点、难点
函数的概念的理解；实际问题中函数关系的分析与刻画.
重点：
难点：
函数的概念及其图象.
课时导入
动脑筋
我们知道：气温随海拔的变化而变化.
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
问题1 如图，用热气球探测高空气象.
当 t = 3 min，h 为 650 m
设热气球从海拔 500 m 处的某地升空，它上升后到达的海拔高度 h m 与上升时间 t min 的关系记录如下表：
时间 t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度 h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
当 t = 2 min，h 为 600 m
当 t = 1 min，h 为 550 m
当 t = 0 min，h 为 500 m
（1）计时一开始，热气球的高度是多少？
（2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？
（3）你能总结出 h 与 t 的关系吗？
500 m
500 + 50×1 = 550 m
500 + 50×2 = 600 m
500 + 50×3 = 650 m
…
500 + 50t = (500 + 50t) m
h = 500 + 50t
（4）哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？
保持不变的量
（常量）
热气球原先所在的高度 500 m
热气球上升的速度 50 m/min
不断变化的量　　　　　　
热气球升空的时间 t min
热气球升空的高度 h m
（变量）
因别人变化而变化的量（因变量）__________.
自我发生变化的量（自变量）__________；
（5）热气球上升的高度 h 与时间 t，这两个变量之间有关系吗？
t
h
归纳：在一个变化的过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量(或常数).
时间 t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度 h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
(1) 上式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变量？哪个量是因变量？
256 s，v
v s
某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s m 与车速v km/h 之间有下列经验公式：
问题2 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离. 刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.
(2) 当刹车时车速 v 分别是 40、80、120 km/h 时，相应的刹车距离 s 分别是多少？
当 v＝40 km/h 时，s＝6.25 m；
当 v＝80 km/h 时，s＝25 m；
当 v＝120 km/h 时，s＝56.25 m.
知识讲解
有关概念：
一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作：y = f (x).
这时把 x 叫作自变量，把 y 叫作因变量.
对于自变量 x 取的每一个值 a，因变量 y 的对应值称为函数值，记作 f (a).
如图，已知圆柱的高是 4 cm，底面半径是 r (cm)， 当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积 V (cm3)是 r 的函数.
(1) 用含 r 的代数式来表示圆柱的体积 V，并指出自变量 r 的取值范围.
(2) 当 r = 5 ，10 时，V 是多少(结果保留 π)？
，自变量 r 的取值范围是 r＞0.
当 r = 5 时，
当 r = 10 时，
例
V = 4πr2
V = 4π×25 = 100π（cm3）
V = 4π×100 = 400π（cm3）
随 堂 小 测
1.指出下列事件过程中的常量与变量.
(1) 某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ；
(2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 .
5
a，m
2，π
C， r
注意：π 是一个确定的数，是常量
S，h
(4) 某人持续以 a 米／分的速度用 t 分钟时间跑了 s 米，其中常量是 ，变量是 .
(5) s 米的路程不同的人以不同的速度 a 米／分各需跑的时间为 t 分，其中常量是 ，变量是 .
a
t，s
s
a，t
2.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q（kg）与流出时间 t（min）之间的函数关系式是 .
Q = 30 - 0.5t
3.下列关于变量 x ，y 的关系式：
y = 2x + 3； y = x2 + 3； y = 2|x|；④ ；⑤y2 - 3x = 10，
其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ．

归纳：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
一个 x 值有两个 y 值与它相对应
4. 已知函数
(1) 求当 x = 2，3，-3 时，函数的值；
(2) 求当 x 取什么值时，函数值为 0.
解：(1) 当 x = 2 时，y = ；
当 x = 3 时，y = ；
当 x = -3 时，y = 7.
(2) 令 解得 x =
经检验 x = ，分母不为0.即当 x = 时，函数值为 0.
把自变量 x 的值代入关系式中，即可求出函数值.
5. 写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数.
(1) 运动员在 200 米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t (秒)与跑步的速度 v (米/秒) 的关系式；
(2) n(n＞3) 边形的对角线条数 s 与边数 n 之间的关系式.
解：(1) ，其中 200 是常量，v、t 是变量，v 是自
变量，t 是 v 的函数.
(2) ，其中 ，-3 是常量，s、n 是变量，n
是自变量，s 是 n 的函数.
小结
变量与函数
常量与变量：在一个变化的过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量
函数：一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作：y = f (x)