4.2 一次函数 课件(共17张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共17张PPT)
第4章 一次函数
4.2 一次函数
学习目标
1．结合具体问题情景了解一次函数与正比例函数的概念.
2．能说出一次函数与正比例函数的联系与区别.
3．能分析简单问题中的数量关系建立一次函数模型，并由此解决简单问题.
学习重点、难点
一次函数的概念.
重点：
难点：
通过建立一次函数模型解决简单实际问题.
课时导入
动脑筋
(2) 你能写出 y 与 x 之间的关系吗？
y = 3 + 0.5x
情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克，弹簧长度 y 增加 0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg，4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
情景二：某辆汽车油箱中原有油 60 L，汽车每行驶 50 km 耗油 6 L.
(1) 完成下表：
汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量 y/L
60
54
48
42
36
30
(2) 你能写出上表中 y 与 x 的关系式吗
y = 60－0.12x
上面的两个函数关系式：
(1) y = 3 + 0.5x；
(2) y = 60－0.12x.
它们都是关于自变量的一次式， 像这样的函数称为一次函数. 它的一般形式是：y = kx + b ( k，b 为常数，k 不等于 0) . 特别地， 当 b = 0 时，一次函数 y = kx （k 为常数， k ≠ 0） 也叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数.
练一练
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
(6) y＝8x2＋x(1－8x).
解：(1) 是一次函数，不是正比例函数；
(2) 不是一次函数，也不是正比例函数；
(3) 是一次函数，也是正比例函数；
(4) 是一次函数，也是正比例函数；
(5) 不是一次函数，也不是正比例函数；
(6) 是一次函数，也是正比例函数．
归纳：
1.判定一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
科学研究发现，海平面以上 10 km 以内，海拔每升高 1 km，气温下降 6 ℃．某时刻，若甲地地面气温为 20 ℃，设高出地面 x（km）处的气温为 y（℃）.
（1）求 y（℃）随 x（km）而变化的函数表达式.
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃，求飞机离地面的高度．
例
解：（1）依题意，有 y = 20-6x（0 ≤ x ≤ 10），
∴ y（℃）随 x（km）而变化的函数表达式为 y = 20-6x（0 ≤ x ≤ 10）.
（2）当 y = -34 时，-34 = 20-6x，解得 x = 9，
∴飞机离地面的高度为 9 km．
随 堂 小 测
1. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4) 中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数.
≠ 2
= -2
2. 为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 t 的部分，自来水公司按每吨 2 元收费；超过 5 t 的部分，按每吨 2.6 元收费.设某用户月用水量 x t，自来水公司应收的水费为 y 元.
(1) 试写出 y (元) 与 x (t) 之间的函数关系式.
(2) 该户今年 5 月份的用水量为 8 t，自来水公司应收水费多少元？
解：当 x≤5 时，y＝2x；
当 x＞5 时，y＝10＋(x－5)×2.6＝2.6x－3.
解：∵ x＝8＞5，∴ y＝2.6×8－3＝17.8 (元).
3.已知函数
(1) 若它是一次函数，求 m 的值；
解：∵ 是一次函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0.
∴ m＝±5 且 m≠5.
∴ m＝－5.
∴ 当 m＝－5 时，函数
是一次函数．
解：∵ 是正比例函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0.
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1.
这样的 m 不存在，
∴ 不可能是正比例函数.
归纳：若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数．
(2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值．
4. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1 元，另一种是会员卡收费，卡费每月 12 元，租书每本 0.4 元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x 本.
(1) 写出零星租书方式应付金额 y1 (元) 与租书数量 x (本) 之间的函数关系式；
(2) 写出会员卡租书方式应付金额 y2 (元) 与租书数量 x (本)之间的函数关系式；
(3) 小彬选择哪种租书方式更合算？为什么
y1 = x.
y2 = 0.4x + 12.
由 x = 0.4x + 12 知，当 x＜20 时，零星租书方式合算；当 x = 20 时，两种租书方式一样；当 x＞20 时，会员卡租书方式合算.
5.某地实行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 3 500 元的部分不收税；月收入超过 3 500元但低于 5 000 元的部分征收 3% 的所得税. 如某人月收入 3 860 元，他应缴个人工资、薪金所得税为：(3 860 - 3 500)×3% = 10.8（元）.
(1) 当月收入大于 3 500 元而又小于 5 000 元时，写出应缴所得税 y (元) 与收入 x (元) 之间的关系式.
解：y = 0.03×(x - 3 500) (3 500＜x＜5 000).
(2) 某人月收入为 4 160 元，他应缴所得税多少元？
解：当 x = 4 160 时，y = 0.03×(4 160-3 500) = 19.8 (元).
答：他应缴所得税 19.8 元.
解：设此人本月工资是 x 元，则
19.2 = 0.03×( x - 3 500 )，
解得 x = 4 140.
答：此人本月工资是 4 140 元.
(3) 如果某人本月应缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资是多少元？
小结
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定