4.5 一次函数的应用 第1课时 课件(共19张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(共19张PPT)
第4章 一次函数
4.5 一次函数的应用
第1课时 利用一次函数解决实际问题
学习目标
1．会分析简单问题中的数量关系和变化规律，能用一次函数解决简单实际问题.
2．能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化情况进行初步讨论（预测）.
3．体会一次函数与二元一次方程的关系.
4．经历实际问题的解决过程，体会数学建模思想.
学习重点、难点
用一次函数模型解决简单实际问题.
重点：
难点：
一次函数模型的应用.
课时导入
动脑筋
为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过 8 立方米，每立方米收取 1 元外加 0.3 元的污水处理费；超过 8 立方米时，超过部分每立方米收取 1.5 元外加 1.2 元污水处理费，现设一户每月用水 x 立方米，应缴水费 y 元.
（1）求出 y 关于 x 的函数关系式；
解：（1）y 关于 x 的函数关系式为
(1 + 0.3) x = 1.3x (0≤x≤8)，
(1.5 + 1.2)(x - 8) + 1.3×8 = 2.7x - 11.2 (x＞8).
y =
解：当 x = 5 m3 时，
y = 1.3×5 = 6.5（元）；
当 x = 10 m3 时，y = 2.7×10 - 11.2 = 15.8（元）.
即当用水量为 5 m3 时，该户应缴水费 6.5 元；当 用水量为 10 m3 时，该户应缴水费 15.8 元.
解：函数图象如图所示.
（2）画出上述函数图象；
（3）该市某户某月若用水 x =
5 立方米和 x = 10 立方米
时，求应缴水费；
(8，10.4)
30
20
10
8
16
O
.
.
(16，32)
y/元
x/m3
解：y = 26.6 > 1.3×8，可知该户这月用水超过 8 m3，
因此，2.7x - 11.2 = 26.6，
解方程，得 x = 14.
即该户本月用水量为 14 m3.
归纳：要能根据函数图象的形状和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论；看函数的图象时首先要理解横、纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
（4）该市某户某月缴水费 26.6 元，求该户这月用水量.
知识讲解
分段函数的概念:
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.
在分段函数中注意函数表达式对应的自变量的取值范围以及分段考虑的问题，如哪一段是线段，哪一段是射线，起点在哪里，有什么意义等.
例1
（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？
某天，小明全家上午 8 时自驾从家里出发，到距离 180 千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离 s (千米)与时间 t (时)的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了 4 小时.
5
10
15
120
180
s（千米）
t（时）
O
A
B
C
D
8
14
（2）求出返程途中，s (千米) 与时间 t (时)的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间.
解：设 s = kx + b，由图象过(14，180)、(15，120)，
∴ s = -60t + 1 020.
令 s = 0，得 t = 17.
∴返程途中 s 与时间 t 的函数关系是
s = -60t + 1 020 (14≤x≤17)，
小明全家当天 17:00 到家.
5
10
15
120
180
s(千米)
t(时)
O
A
B
C
D
8
14
随 堂 小 测
解析：设小明的速度为 a 米/秒，小刚的速度为
b 米/秒，由题意得
1 600 + 100a = 1 400 + 100b，
1 600 + 300a = 1 400 + 200b.
解得 a = 2，b = 4.
故这次越野跑的全程为
1 600 + 300×2 = 2 200 (米)．
1. 一次越野跑中，当小明跑了1 600 米时，小刚跑了
1 400米，小明、小刚所跑的路程 y (米) 与时间 t (秒) 之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米.
2 200
2.下图 l1，l2 分别是龟兔赛跑中 s 与 t 的函数图象.
（1）这一次是 　 米赛跑.
（2）表示兔子的图象是 .
100
l2
9
10
12
11
s /米
l1
l2
100
20
120
40
60
80
1
2
3
4
5
O
t /分
6
8
7
-1
-2
-3
12
11
9
10
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米；
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米；
（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟.
40
4
40
s /米
l1
l2
1
2
3
4
5
O
100
20
120
40
60
80
t /分
6
8
7
-4
3.某县大力发展猕猴桃产业，预计今年 A 地将采摘 200 t，B 地将采摘 300 t．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 t，乙仓库可储存 260 t，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为 x t，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA 元和 yB 元.
(1) 分别求出 yA、yB 与 x 之间的函数关系式；
解： yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5 000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4 680.
(2) 试讨论这次 A、B 两地的运输中，哪个的运费较少；
解：∵yA－yB＝(－5x＋5 000)－(3x＋4 680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即 x＜40 时，B 地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即 x＝40 时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即 x＞40 时，A 地的运费较少.
(3) 考虑 B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费不得超过 4830 元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
解：设两地运费之和为 y 元，
则 y＝yA＋yB＝(－5x＋5 000)＋(3x＋4 680)＝－2x＋9 680.
由题意得 yB＝3x＋4 680≤4 830，解得 x≤50.
∵ y 随 x 的增大而减小，x 最大为 50，
∴ y最小＝－2×50＋9 680＝9 580.
∴在此情况下，当 A 地运往甲、乙两仓库分别为 50 t、150 t；B 地运往甲、乙两仓库分别为 190 t、110 t时，才能使两地运费之和最少，最少是 9 580 元．
4. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（厘米）与燃烧时间 x（时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的
高度分别是 ，
从点燃到燃尽所用的时间分别
是 .
30 厘米、25 厘米
2 小时、2.5 小时
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
y甲 = -15x + 30
y乙 = -10x + 25
当 x = 1 时，甲乙蜡烛高度相等.
当 1＜x＜2.5 时，甲蜡烛比乙蜡烛低.
当 0≤x＜1 时，甲蜡烛比乙蜡烛高.
5. 一个试验室在 0:00 - 2:00 保持 20℃ 的恒温，在
2:00 - 4:00 匀速升温，每小时升高 5℃. 写出试验室的温度 T（单位：℃）关于时间 t（单位：h）的函数表达式，并画出函数图象.
解：(1) 由题意得
当 0≤t≤2 时，T = 20；
当 2∴函数表达式为
T =
20 (0≤t≤2)，
5t + 10 (2T = 20 (0≤t≤2)
T=5t+10(220
10
40
3
1
T/℃
t/h
O
2
30
4
(2)函数图象如右图.
小结
一次函数的应用
建立一次函数模型解决实际问题
对分段函数图象的理解及运用