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2023-2024学年七年级数学下学期第三次月考卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章~第五章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．以下是“有机食品”、“安全饮品”、“循环再生”、“绿色食品”的四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，由可证，故A不符合要求；
当时，由可证，故B不符合要求；
当时，由可证，故C不符合要求；
当，无法使，故D符合要求．
故选：D．
3．已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．不能确定 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系确定第三边的长度．分情况考虑，当相等的两边是时或当相等的两边是时，根据三角形的三边关系进行验证，然后求出三角形的周长即可得答案．
【详解】解：∵一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，
∴①当相等的两边是时，三边长为：、、，
∵，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为，
②当相等的两边是时，三边长为：、、，
∵，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为，
综上所述：这个三角形的周长为或，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断．
【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误；
2a3+3a3=5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确；
（-2x2）3=-8x6，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法．
5．下表是不同的海拔高度对应的大气压强的值，仔细分析表格中数据，下列说法中正确的是（ ）
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
大气压强/kpa 101.2 90.7 80.0 70.7 61.3 53.9 47.2 41.3 36.0
A．当海拔高度为2000m时，大气压强为70.7kpa
B．随着海拔高度的增加，大气压强越来越大
C．海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值是变化的
D．珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强约为45kpa
【答案】C
【分析】根据表格数据，依次判断各选项正确性即可．
【详解】A、当海拔高度为2000m时，大气压强为80.0kpa，该选项不符合题意；
B、随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，该选项不符合题意；
C、海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值为10.5，10.7，9.3，9.4，7.4，6.7，5.9，5.3，大气压强减小的值是变化的，该选项符合题意；
D、珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强低于36.0kpa，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查用表格表示变量间的关系，根据题意正确分析表格数据是解题的关键．
6．如图，折线是一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，若从C村修建的水渠与方向一致，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定得出，可得，进而得出的度数即可得出答案．
【详解】解：如图所示：延长到E，延长至N，
由题意可得：，
当保持与的方向一致，
则，
则，
故．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了方向角以及平行线的性质，得出的度数是解题关键．
7．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】试题分析：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误；
三角形的角平分线是线段，故②错误；
三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故③错误；
所以正确的命题是④⑤，共2个．
故选B．
8．如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．25°
【答案】B
【详解】∵AB∥CD，
∴∠2=∠D，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=180°-90°-50°=40°，
∴∠2=∠D=40°．
故选：B．
9．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知，是两个格点，若也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点P，然后相加即可得解．
【详解】如图，分情况讨论：
①为等腰的底边时，符合条件的P点有4个；
②为等腰其中的一条腰时，符合条件的P点有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
10．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．20°
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【详解】解：由折叠可知，∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠GDF，
∴∠EDF=∠BDG，
∴∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，
∴∠BDC=∠BDE=3∠GDF，
∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF，
∴∠GDF=18°，
∴∠ADB=2∠GDF=2×18°=36°．
故选：C．
【点睛】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．
11．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
【详解】∵
∴
即，
∴求得：，
∴把和代入得：
故选：A
【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠BAC 和∠ABC的平分线AE， BF相交于点O， AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2； ③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的结论个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得④正确．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB
=180°-(∠CBA+∠CAB)
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，
∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP=OD=1，
∵AB=4，
∴S△ABO=AB OP=×4×1=2，故②正确；
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b，
∴S△ABC=×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD=（AB+AC+BC） a=ab，故④正确．
综上，②③④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，是解决问题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为平方毫米，数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解．
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．若的展开式中不含有x的一次项，则k的值是 ．
【答案】
【分析】先根据多项式乘多项式的运算方法把原式展开，令一次项系数等于0，即可求出k的值．
【详解】解：
，
∵该展开式不含有x的一次项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是利用多项式乘多项式的运算方法把原式展开．
15．如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则 ．
【答案】22°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，由角平分线的定义得出∠DCB，根据两直线平行，内错角相等求出∠EDC．
【详解】∵∠A＝62°，∠B＝74°，
∴∠ACB＝，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝22°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝22°，
故答案为：22°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为180°与平行线的性质是解题的关键．
16．如图，是的中线，它们相交于点O．若的面积是12，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【分析】由是的中线，可得，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键在于熟练掌握：顶点到中线交点的距离与中线交点到对边中点的距离的比值为．
17．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG、FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则 ．
【答案】56°/56度
【分析】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得到∠DEG=α，∠AFH=β，由折叠性质可知，∠DEG=∠MEG=α，∠AFH=∠MFH=β，进而得到∠DEM+∠AFM=236°，根据平角的定义列式得到∠MEF+∠MFE=124°，再根据三角形的内角和即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEG=α，∠AFH=β，
由折叠可知：
∠DEG=∠MEG=α，∠AFH=∠MFH=β，
∴∠DEM+∠AFM=2（∠DEG+∠AFH）=2(α+β)=2×118°=236°，
∴∠MEF+∠MFE=360°-（∠DEM+∠AFM）=360°-236°=124°，
∴∠EMF=180°-（∠MEF+∠MFE）=56°，
故答案为：56°．
【点睛】本题主要考查了长方形，折叠，三角形内角和，解决问题的关键是熟练掌握长方形的边的性质，折叠性质，三角形内角和定理，平行线的性质．
18．如图①，在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，E是AC中点，动点F沿B→A→E→B的路径从点B出发，以每秒1个单位长度的速度运动，设点F运动的时间为x(s)，三角形FCD的面积为y，y关于x的变化图像大致如图②，已知BE=6，则下列结论正确的是 ．
①点N的实际意义：动点F与点E重合时运动的时间与三角形FDC的面积的关系；
②AB=8；
③P点对应的数为17；
④a=8，b=11．
【答案】①②/②①
【分析】根据题意可知，图②中，线段OM对应点F从点B→A；线段MN对应点F从点A→E，线段NP对应点F从点E→B．再根据图②中给出的数据进行分析即可．
【详解】解：根据题意可知，图②中，线段OM对应点F从点B→A；线段MN对应点F从点A→E，线段NP对应点F从点E→B．
则点N的实际意义是，动点F与点E重合时运动的时间与三角形FDC的面积的关系；故①正确；
∴AB=8，AE=b-8，BE=OP-b，故②正确；
∵AC=AB，点E是AC的中点，
∴AE=4，
∴b=12，
∵BE=6，
∴OP=12+6=18，故③错误；
当点F与点A重合时，△FDC的面积为14，
∵点E是AC的中点，当点F与点E重合时，
∴△FCD的面积为7，即a=7，故④错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题是动点函数图象问题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，将图①图②中点F中运动结合分析是解题的关键．
三、解答题
19．计算（1）；
计算（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可；
（2）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，积的乘方运算，单项式乘以单项式，熟记运算法则是解本题的关键．
20．（1）运用乘法公式计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），6
【分析】（1）把原式化为，再利用乘法公式进行简便运算即可；
（2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当，时，
原式．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，整式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的灵活运用，熟记运算公式与运算法则是解本题的关键．
21．如图：在正方形网格上有一个．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)的形状是___________三角形；
(3)若在上存在一点Q，使得最小，请在图中画出点Q的位置；
(4)若网格上最小正方形的边长为1，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)等腰直角三角形
(3)见解析
(4)5
【分析】（1）分别确定A，B，C关于直线的对称点，，，再顺次连接即可；
（2）先标注图形，再证明，利用全等三角形的性质可得答案；
（3）先确定C关于直线的对称点，再连接，交直线于即可；
（4）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
．
（2）如图，标注图形，
由图形可得：，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（3）如图，即为所求；
（4）．
【点睛】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，网格三角形面积的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
22．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)填空：的度数为___________；的度数为___________；的度数为___________．
(2)试问：线段与的长相等吗？请说明理由；
【答案】(1)，，
(2)，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质结合线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理即可得出结论；
（2）等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，是边上的高，
∴，．
如图，连接，
∵线段的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，而是边上的高，
∴，
∵，是边上的高，
∴，，
∴，
∴；
（2）线段与的长相等，理由如下：如图，连接，
∵，是边上的高，
∴，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
23．如图，一块空地是由边长为（2a＋3b）米，（2a－3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．
（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）用两个正方形的面积之和减去空白部分的面积，再化简，即可求解；
（2）把a＝2，b＝代入（1）中的结果，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：花坛的总面积为
；
（2）当a＝2，b＝时，
，
即此时花坛的总面积为 ．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，明确题意，准确列出代数式是解题的关键．
24．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶，两车恰好在途中的服务区相遇，休息一段时间后，再同时以原速继续行驶，下图是两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系图，根据图像回答问题：
(1)甲、乙两地之间的距离是________；
(2)两车的速度分别是多少？
(3)求的值；
(4)直接写出货车出发多长时间，与轿车相距30千米．
【答案】(1)300
(2)货车速度为，轿车速度为
(3)
(4)或
【分析】（1）由图像可直接得出答案；
（2）设货车的速度为，则轿车的速度为，然后根据图像可得它们在2小时相遇，则有，进而求解即可；
（3）由点含义可知两车相距，故可知解出即可；
（4）分相遇前两车相距 千米和相遇后两车相距千米进行求解即可
【详解】（1）解：由图像及题意可得：
甲、乙两地之间的距离是，
故答案为：；
（2）解：设货车速度为，则轿车速度为
由图像得：
解得：，
答：货车速度为，轿车速度为．
（3）解：由点含义可知两车相距，
解得；
（4）解：当两车在相遇前相距 时，则有：，
解得；
当两车在相遇后相距时，则有，
解得：，
货车出发或时，与轿车相距．
【点睛】本题主要考查函数的图像，一元一次方程，读懂题意以及清楚函数图像是解题的关键．
25．【感知】如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案）
(2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在线段上；
②点P在射线上．
【答案】(1)110
(2)，见解析
(3)选①，，见解析选，②，，见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出 ，即可得到答案；
（2）利用两直线平行内错角相等得到，，由即可得到结论；
（3）①过点P作，则．再证得到．由即可得到结论．
②过点P作，．则．由即可得到．
【详解】（1）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
（2），理由如下：
如图1，过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）①如图2，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
②如图3，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
26．【初步感知】
（1）如图 1，已知 为等边三角形，点D 为边 上一动点（点D 不与点B ，点 C 重合）．以 为边向右侧作等边，连接 ．求证：；
【类比探究】
（2）如图 2，若点D 在边 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：
① 与 的位置关系为： ；
②线段 、 、 之间的数量关系为： ．
【拓展应用】
（3）如图 3，在等边 中，，点P 是边 上一定点且 ，若点D 为射线 上动点，以 为边向右侧作等边 ，连接 、 ．请问： 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）平行；
（3）有最小值，5
【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明；
（2）①由（1）得，得出，，，则；
②因为，，所以；
（3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴
即
在和中，
，
∴；
（2）平行，，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线上取一点，使得，连接，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
由三角形内角和为，可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
即点E在的角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
，
∴，
则，
由三角形三边关系可知，，
即当点E与点C重合，时，有最小值，
∵，
∴，
∴最小值为5．
【点睛】本题考查三角形综合，平行线的判定、三角形内角和定理、全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
2023-2024 学年七年级数学下学期第三次月考
20． 22．
答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．
答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填
写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考
考生禁填： 缺考标记
证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用 2B 铅
必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂
或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，
选择题填涂样例：
超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题
正确填涂
卷上答题无效。
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
21．
一、单项选择题（本题共 12小题，
每 小题 3分，共 36 分。在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C ] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 23．
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C ] [D] 10[A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C ] [D] 11[A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C ] [D] 12[A] [B] [C] [D]
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
13．____________________ 14．____________________
15．____________________ 16．____________________
17．____________________ 18．____________________
三、解答题（本题共 8 小题，共 66 分．第 19-20 题每题 6 分，第 21-23
题每题 8 题，其他每题 10 分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．）
19．（6 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出 黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑 色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出
黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24． 25． 26．
请在各题目的答题区域内作答，超 出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色 矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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2023-2024学年七年级数学下学期第三次月考卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章~第五章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．以下是“有机食品”、“安全饮品”、“循环再生”、“绿色食品”的四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．不能确定 D．或
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下表是不同的海拔高度对应的大气压强的值，仔细分析表格中数据，下列说法中正确的是（ ）
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
大气压强/kpa 101.2 90.7 80.0 70.7 61.3 53.9 47.2 41.3 36.0
A．当海拔高度为2000m时，大气压强为70.7kpa
B．随着海拔高度的增加，大气压强越来越大
C．海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值是变化的
D．珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强约为45kpa
6．如图，折线是一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，若从C村修建的水渠与方向一致，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．25°
9．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知，是两个格点，若也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．20°
11．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠BAC 和∠ABC的平分线AE， BF相交于点O， AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2； ③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的结论个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
第II卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为平方毫米，数据用科学记数法表示为 ．
14．若的展开式中不含有x的一次项，则k的值是 ．
15．如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则 ．
16．如图，是的中线，它们相交于点O．若的面积是12，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG、FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则 ．
18．如图①，在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，E是AC中点，动点F沿B→A→E→B的路径从点B出发，以每秒1个单位长度的速度运动，设点F运动的时间为x(s)，三角形FCD的面积为y，y关于x的变化图像大致如图②，已知BE=6，则下列结论正确的是 ．
①点N的实际意义：动点F与点E重合时运动的时间与三角形FDC的面积的关系；
②AB=8；
③P点对应的数为17；
④a=8，b=11．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算（1）；
计算（2）
20．（1）运用乘法公式计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
21．如图：在正方形网格上有一个．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)的形状是___________三角形；
(3)若在上存在一点Q，使得最小，请在图中画出点Q的位置；
(4)若网格上最小正方形的边长为1，求的面积．
22．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)填空：的度数为___________；的度数为___________；的度数为___________．
(2)试问：线段与的长相等吗？请说明理由；
23．如图，一块空地是由边长为（2a＋3b）米，（2a－3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．
（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．
24．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶，两车恰好在途中的服务区相遇，休息一段时间后，再同时以原速继续行驶，下图是两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系图，根据图像回答问题：
(1)甲、乙两地之间的距离是________；
(2)两车的速度分别是多少？
(3)求的值；
(4)直接写出货车出发多长时间，与轿车相距30千米．
25．【感知】如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案）
(2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在线段上；
②点P在射线上．
26．【初步感知】
（1）如图 1，已知 为等边三角形，点D 为边 上一动点（点D 不与点B ，点 C 重合）．以 为边向右侧作等边，连接 ．求证：；
【类比探究】
（2）如图 2，若点D 在边 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：
① 与 的位置关系为： ；
②线段 、 、 之间的数量关系为： ．
【拓展应用】
（3）如图 3，在等边 中，，点P 是边 上一定点且 ，若点D 为射线 上动点，以 为边向右侧作等边 ，连接 、 ．请问： 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年七年级数学下学期第三次月考卷
基础知识达标测
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D D C C C B B D C A C
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13． 14． 15．22°
16．4 17．56°/56度 18．①②/②①
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．【详解】解：（1）
；
（2）
．
20．【详解】解：（1）
；
（2）
；
当，时，
原式．
21．【详解】（1）解：如图，即为所求；
．
（2）如图，标注图形，
由图形可得：，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（3）如图，即为所求；
（4）．
22．【详解】（1）解：∵，，是边上的高，
∴，．
如图，连接，
∵线段的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，而是边上的高，
∴，
∵，是边上的高，
∴，，
∴，
∴；
（2）线段与的长相等，理由如下：如图，连接，
∵，是边上的高，
∴，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
23．【详解】解：（1）根据题意得：花坛的总面积为
；
（2）当a＝2，b＝时，
，
即此时花坛的总面积为 ．
24．【详解】（1）解：由图像及题意可得：
甲、乙两地之间的距离是，
故答案为：；
（2）解：设货车速度为，则轿车速度为
由图像得：
解得：，
答：货车速度为，轿车速度为．
（3）解：由点含义可知两车相距，
解得；
（4）解：当两车在相遇前相距 时，则有：，
解得；
当两车在相遇后相距时，则有，
解得：，
货车出发或时，与轿车相距．
25．
【详解】（1）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
（2），理由如下：
如图1，过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）①如图2，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
②如图3，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
26．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴
即
在和中，
，
∴；
（2）平行，，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线上取一点，使得，连接，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
由三角形内角和为，可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
即点E在的角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
，
∴，
则，
由三角形三边关系可知，，
即当点E与点C重合，时，有最小值，
∵，
∴，
∴最小值为5．中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年七年级数学下学期第三次月考卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章~第五章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．以下是“有机食品”、“安全饮品”、“循环再生”、“绿色食品”的四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．不能确定 D．或
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下表是不同的海拔高度对应的大气压强的值，仔细分析表格中数据，下列说法中正确的是（ ）
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
大气压强/kpa 101.2 90.7 80.0 70.7 61.3 53.9 47.2 41.3 36.0
A．当海拔高度为2000m时，大气压强为70.7kpa
B．随着海拔高度的增加，大气压强越来越大
C．海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值是变化的
D．珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强约为45kpa
6．如图，折线是一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，若从C村修建的水渠与方向一致，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．25°
9．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知，是两个格点，若也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．20°
11．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠BAC 和∠ABC的平分线AE， BF相交于点O， AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2； ③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的结论个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
第II卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为平方毫米，数据用科学记数法表示为 ．
14．若的展开式中不含有x的一次项，则k的值是 ．
15．如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则 ．
16．如图，是的中线，它们相交于点O．若的面积是12，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG、FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则 ．
18．如图①，在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，E是AC中点，动点F沿B→A→E→B的路径从点B出发，以每秒1个单位长度的速度运动，设点F运动的时间为x(s)，三角形FCD的面积为y，y关于x的变化图像大致如图②，已知BE=6，则下列结论正确的是 ．
①点N的实际意义：动点F与点E重合时运动的时间与三角形FDC的面积的关系；
②AB=8；
③P点对应的数为17；
④a=8，b=11．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算（1）；
计算（2）
20．（1）运用乘法公式计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
21．如图：在正方形网格上有一个．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)的形状是___________三角形；
(3)若在上存在一点Q，使得最小，请在图中画出点Q的位置；
(4)若网格上最小正方形的边长为1，求的面积．
22．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)填空：的度数为___________；的度数为___________；的度数为___________．
(2)试问：线段与的长相等吗？请说明理由；
23．如图，一块空地是由边长为（2a＋3b）米，（2a－3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．
（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．
24．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶，两车恰好在途中的服务区相遇，休息一段时间后，再同时以原速继续行驶，下图是两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系图，根据图像回答问题：
(1)甲、乙两地之间的距离是________；
(2)两车的速度分别是多少？
(3)求的值；
(4)直接写出货车出发多长时间，与轿车相距30千米．
25．【感知】如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案）
(2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在线段上；
②点P在射线上．
26．【初步感知】
（1）如图 1，已知 为等边三角形，点D 为边 上一动点（点D 不与点B ，点 C 重合）．以 为边向右侧作等边，连接 ．求证：；
【类比探究】
（2）如图 2，若点D 在边 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：
① 与 的位置关系为： ；
②线段 、 、 之间的数量关系为： ．
【拓展应用】
（3）如图 3，在等边 中，，点P 是边 上一定点且 ，若点D 为射线 上动点，以 为边向右侧作等边 ，连接 、 ．请问： 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
