九年级数学下册试题 第27章《圆与正方形》单元复习卷-沪教版（含解析）

第27章《圆与正方形》单元复习卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，－4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
2．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段OP的长为（　　）
A．6 B．4 C．4 D．8
4．如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．8mm B．16mm C．8mm D．4mm
5．如图，在中，弦，，，，，则的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
6．如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊（羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（ ）平方米．
A． B． C． D．
7．如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．已知圆O的面积为，若点P在圆上，则______．
12．若一个扇形的弧长为2πcm，面积为2πcm2，则这个扇形的半径为______cm．
13．在⊙O 中，弦 AB 所对圆心角为 140°，则弦AB 所对的圆周角的度数是___________．
14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径为6m，则扇形的弧长是_________m．（结果保留）
15．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．
16．如图，正六边形的边长为4，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是________．
17．如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．
18．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为______．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若OE＝3，∠CBG＝30°，求的长．
20．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A，B重合），连接AP，BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP．
21．如图，已知，在ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半径．
22．如图，已知内接干，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
23．如图，在⊙中，是直径，，垂足为P，过点的的切线与的延长线交于点, 连接．
（1）求证：为⊙的切线；
（2）若⊙半径为3，，求．
24．如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．
25．如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．
答案
一、选择题。
1．A
【分析】由题意先利用两点间的距离公式求出点P到原点的距离OP，再判断OP与半径r的大小关系，从而得出答案．
【详解】解：∵圆心P的坐标为（3，-4），
∴，
∵⊙P的半径为5，
∴原点O在⊙P上．
故选：A．
2．B
【分析】先画出示意图，然后连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b，则直角三角形的面积是，再根据正方形的判定与性质以及切线长定理可得，由此可得直角三角形的面积是，最后再结合内切圆的面积是即可求得答案．
【详解】解：如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设直角三角形的两条直角边分别为，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∴
，
∵
∴四边形ODCE为正方形，
∴，
∴，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∵，
∴，
，
∴，
又，
．
故选：B．
3．D
【分析】连接，通过直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接，
∴，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵，
∴OP=2OA=8，
故选D．
4．C
【分析】由题意设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，则∠AOB=∠BOC=60°，得出OA=OB=AB=OC=BC，则四边形ABCO是菱形，得出AC⊥OB，AM=CM，由sin∠AOB=，进而计算即可得出结果．
【详解】解：设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如图所示：
∴∠AOB=∠BOC=60°，OA=OB=OC
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM=CM，
∵AB=8mm，∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=，
∴AM=（mm），
∴AC=2AM=8（mm），
故选：C．
5．C
【分析】连接OA，OC，根据垂径定理得CN=6，AM=9，设的半径为x，根据勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】解：连接OA，OC，
∵，，
∴，
∵，，
∴CN=6，AM=9，
设的半径为x，
∵，
∴，解得：或（舍去），
经检验是方程的根，且符合题意，
∴的半径为．
故选C．
6．D
【分析】根据题意，画出这只羊在草地上的最大活动区域，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5米，圆心角为90°；小扇形的半径为5－4=1米，圆心角为180°－120°=60°
羊在草地上的最大活动区域面积==（平方米）
故选D．
7．B
【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
，
为等边三角形，
，
，
则的长，
故选．
8．D
【分析】设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可．
【详解】解：设，
∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，
，
，，
在中，，解得，
即的长度为．
故选D．
9．A
【分析】连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，为的中点，
∴，是等边三角形，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选A．
10．A
【分析】作点C关于直线AB的对称点N，DN交AB于点P1，利用直角三角形斜边中线的性质求得DM=，为定值，则点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，得到当点D、M、 P、N 四点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作点C关于直线AB的对称点N，连接PN、BN、DN，
DN交AB于点P1，
∵点C、点N关于直线AB对称，
∴PC=PN，
∵△DEF是直角三角形，M是EF的中点，且EF=3，
∴DM=EF=，为定值，
∴点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，
∵DM+PM+PC= DM+PM+PNDN，
∴当点D、M、 P、N 四点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，
∴PM+PC的最小值为DN-DM=DN-，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CD=4，CN=8，
∴DN=，
∴PM+PC的最小值为，
故选：A．
二、填空题。
11．5
【分析】根据的面积为，可以求得的半径，再根据点在圆上，即可得到的长．
【详解】解：设的半径为，
的面积为，
，
解得，
点在圆上，
，
故答案是：5．
12．2
【分析】根据扇形面积公式S＝lr计算即可．
【详解】解：∵S＝lr，
∴2π＝，
解得，r＝2（cm），
故答案为：2．
13．70°或110°
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：如图，当角的顶点在优弧上时，∠ADB=∠AOB=70°；当角的顶点在劣弧上时，∠ACB=180°-∠ADB=110°；
故答案为：70°或110°．
14．
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
【详解】解：l=，
故答案为：4π．
15．12
【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．
【详解】解：如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，
∴CE=ED-CD=34-12=22，
∴OE=OC-CE=44-22=22，
在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，
∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，
∴∠FOB=120°，
∴，
∵圆转动的速度为，
∴最佳观赏时长为（分钟），
故答案为：12．
16．
【分析】设正六边形的中心为，连接，首先求出弓形的面积，再根据求解即可．
【详解】解：设正六边形的中心为，连接，．
由题意，，
，
．
故答案为：．
17．
【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案为．
18．（1，4）或（6，5）
【分析】根据三角形的外心是三角形的外接圆圆心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，只需点C为圆与格点的交点即可．
【详解】解：因为点P是钝角的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
三、解答题。
19．解：（1）∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，
∴，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如图所示，连接OC，
∵∠CBG=30°，∠BEO=90°，
∴∠COG=60°，OB=2OE=6，
∴．
20．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
21．
（1）证明：作OF⊥AC于F，
∵⊙O与BC相切于点B，∴OB⊥BC，
∵CO平分∠ACB，
∴OF=OB ，
又OB是半径，OF⊥AC于F，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵DE是直径，
∴∠DBE=90°，
又tan∠BDE，∴，
由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC ，
∴∠OBC=90° ，
∴∠DBC=∠OBE，
∴∠E=∠OBE，
∴∠E=∠DBC，
又 ∠C=∠C，
∴△CBE∽△CDB，
∴，
∵BC=6，
∴，
∴，
∴DE=9，
∵OD=4.5，即⊙O的半径是4.5．
22．
（1）解：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵的平分线交于点，交于点，
∴∠CAE=∠OAE，
∴∠CAE=∠OEA，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠OEA+∠BEO=∠BEF+∠BEO=90°，即：∠OEF=∠AEB=90°，
∴OE⊥EF，
∴是的切线；
（2）由（1）可知：∠BEF=∠EAF，
又∵∠F=∠F，
∴，
∴，即：，
∴AF=40，EA=2BE，
∴AB=AF-BF=40-10=30，
∴的半径为15，
设BE=x，则AE=2x，
∴，解得：（舍去负值），
∴BE=，AE=，
∵∠CBE=∠CAE=∠EAB，
∴tan∠CBE=tan∠EAB，
∴，
∴DE=×=，
∴AD=AE-DE=-=．
23．解：（1）证：连接、
∵为的切线
∴
∵是直径，
∴，
又∵
∴
∴，
又∵
∴
∴
∴为⊙的切线；
（2）过点作于点，如下图：
由（1）得
在中，，，∴
∴（等面积法）
∴
设，则
在和中，
，
∴
解得
∴
24．解：（1）如图，连接，则，
四边形为正方形，
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中，，
则；
（2）设，则，，
，
，
；
（3），
，
，
，解得，
，
，，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
如图，连接，交于点，
，，
，
四边形为正方形，
，
，
，即，
解得，
点在上运动（点与点不重合），
点在线段上运动（点与点不重合），
，即，
综上，．
25．
（1）证明：如图，连接DF，
∵是的直径，
∴．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则．
由勾股定理得，
即，
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
∵，
∴．
（3）解：连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AB∥OC．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AB∥OC，
∴．
∴．
∵，
∴．
在Rt△APO中，由勾股定理得．
∴．
在Rt△APH中，由勾股定理得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．