七年级数学下册试题 13.2 垂线-沪教版（含解析）

13.2 垂线
一、单选题
1．下列说法中不正确的是（ ）
A．在同一平面内，经过一点能而且只能画一条直线与已知直线垂直
B．一条线段有无数条垂线
C．在同一平面内过射线的端点只能画一条直线与这条射线垂直
D．如果直线AB垂直平分线段CD，那么CD也垂直平分AB
2．点到直线的距离是指（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段
B．从直线外一点到这条直线的垂线，
C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长
D．从直线外一点到这条直线的垂线的长
3．下列语句中正确的有（ ）
①经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②有公共顶点且和为的两个角是邻补角；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤直线外的一点到已知直线的垂线段叫做点到直线的距离；
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个；
4．下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；
C．同旁内角相等，两直线平行；
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
5．点在直线外，点在直线上，两点的距离记作，点到直线的距离记作，则与的大小关系是 ( )
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．平面内两个相等的角是对顶角
B．连接直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离
C．平面内相加之和等于180°的两个角是互为邻补角
D．平面内经过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题
7．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__________最短.
8．如图，直线AB和CD交于O点，EO⊥CD，∠EOB=50°，则∠AOC=_____．
9．两条相交直线所形成的一个角为150°，则它们的夹角是______．
10．如图，因为∠AOC=90°（已知），所以____⊥______；又因为AO=BO，所以直线_____是线段______的垂直平分线。
11．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOC=90°，∠AOE=140°，
（1）直线AB与直线______垂直，记作______；
（2）直线AB与直线______斜交，夹角的大小为______；
（3）直线_____与直线______夹角的大小为50°．
12．在平面内，若OA⊥OC，且∠AOC∶∠AOB＝2∶3，则∠BOC的度数为_______________；
13．如图，已知AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）点A到直线BC的距离是线段_______的长；
（2）点D到直线AF的距离是线段_______的长；
（3）线段AF的长表示点A到直线_______距离；
（4）线段CE的长表示点C到直线_______距离；
（5）线段BE的长表示点_______到直线______距离；
（6）线段CF的长表示点_______到直线______距离；
14．如图，已知AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，BC=8，AC=6，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6．则：
（1）点A到直线CD的距离为_________；
（2）点A到直线BC的距离为_________；
（3）点B到直线CD的距离为_________；
（4）点B到直线AC的距离为_________；
（5）点C到直线AB的距离为_________．
15．已知点在直线上，以点为端点的两条射线互相垂直，若，则的度数是_____________．
16．已知的面积是12平方厘米，的长是8厘米，那么点到线段的距离是_______厘米．
17．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，的平分线与EP相交于点P，且__________度.
18．如图，直线AB、CD相交于点O，________度.
19．如图,中,,,垂足分别是C、E,那么线段AC的长度表示点 ____________到直线 ____________ 的距离.
20．如图，已知直线AB、CD交于点E，EF⊥CD，∠AEF=50°，那么∠BED=____.
三、解答题
21．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
（1）作边上的高；
（2）过点作直线的垂线，垂足为；
（3）点到直线的距离是线段________的长度．
（不要求写画法，只需写出结论即可）
22．按要求完成下列问题
如图，直线AB和CD相交于点O,点P为CD上一点
(1)过点P作AB的垂线，交AB于点M;
(2)过点P作CD的垂线，交AB于点N;
(3)比较线段PM、PN的大小: PM_ PN.
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据垂直公理和垂直平分线的定义逐一判断即可．
【详解】A． 在同一平面内，经过一点能而且只能画一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；
B． 一条线段有无数条垂线，故本选项正确；
C． 在同一平面内过射线的端点只能画一条直线与这条射线垂直，故本选项正确；
D． 如果直线AB垂直平分线段CD，因为AB是直线，所以CD不垂直平分AB，故本选项错误．
故选D．
2．C
【分析】根据点到直线的距离的定义解答本题．
【详解】解：垂线段是一个图形，距离是指垂线段的长度，故A错误；
垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故B错误；
符合点到直线的距离的定义，故C正确；
垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故C错误．
故选C．
3．A
【分析】根据平行公理、邻补角的概念、平行线的性质和概念、点到直线的距离的概念逐一判断即可.
【详解】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
两直线互相垂直，由两对90°的对顶角，满足有公共顶点且和为180°，但它们不是邻补角，故②错误；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故③错误；
同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故④错误；
直线外的一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故⑤错误；
综上，正确的个数为0，故答案为A.
4．B
【分析】根据平行线的判定以及平行线的性质以及点到直线的距离定义逐项分析即可．
【详解】A、如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角才相等，故该选项错误；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项正确；
C、同旁内角互补的两条直线平行，故该选项错误；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项错误；故选B．
5．C
【分析】分两种情况：①a和b构成一个直角三角形，且a是斜边，b是直角边，所以a＞b；②若B是垂足时，a=b．
【详解】如图，
a是斜边，b是直角边，∴a＞b，
若点A、点B所在直线垂直直线m，则a=b，故选C．
6．D
【详解】根据对顶角的概念，有公共顶点，一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，故A不正确；
根据联结直线外的点和直线上的点的垂线段的长叫做点到直线的距离，故B不正确；
根据邻补角的意义，两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，故C不正确；
根据垂线的概念，可知平面内经过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直，故D正确.
故选D.
二、填空题
7．垂线段
试题解析：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
故答案为垂线段.
8．40°
【分析】根据垂直的性质即可求出∠AOC的值．
【详解】∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣50°﹣90°=40°．故答案为：40°．
9．30°
【分析】根据已知两条相交直线所形成的一个角为150°，那么它们的夹角是就是150°角的邻补角，从而求出它们的夹角．
【详解】解：∵两条相交直线所形成的一个角为150°，
∴它们的夹角是150°角的邻补角即180°-150°=30°，故答案为：30°．
10．AB CD CD AB
【分析】根据垂直的定义和垂直平分线的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，因为∠AOC=90°（已知），所以AB⊥CD；又因为AO=BO，所以直线CD是线段AB的垂直平分线
故答案为： AB；CD；CD；AB．
11．（1）CD；AB⊥CD；（2）EF；40°；（3）CD；EF
【分析】（1）根据垂直的定义和垂直的写法即可得出结论；
（2）根据斜交的定义和直线夹角的定义即可得出结论；
（3）求出图中度数为50°的角即可得出结论．
【详解】解：（1）∵∠AOC=90°，∴直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD
故答案为：CD；AB⊥CD；
（2）∵∠AOE=140°∴直线AB与直线EF斜交，夹角∠AOF=180°－140°=40°
故答案为：EF；40°；
（3）∵AB⊥CD，∴∠AOD=90°，∵∠AOF=40°，∴∠DOF=∠AOD－∠AOF=50°
∴直线CD与直线EF夹角的大小为50°，故答案为：CD；EF．
12．45°或135°
【分析】根据垂直关系可得∠AOC=90°，再由∠AOC：∠AOB=2：3，可得∠AOB，然后再分两种情况进行计算即可．
【详解】解：如图，∠AOC的位置有两种：一种是∠AOC在∠AOB内，一种是在∠AOB外．
∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，
①当∠AOC在∠AOB内，如图1，
∵∠AOC：∠AOB=2：3，∴∠BOC=∠AOC=45°，
②当∠AOC在∠AOB外，如图2，
∵∠AOC：∠AOB=2：3，∴∠AOB=∠AOC=135°，
∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=135°．故答案为：45°或135°．
13．AE DF CD AE B AE C AF
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
【详解】（1）点A到直线BC的距离是线段AE的长；
（2）点D到直线AF的距离是线段DF的长；
（3）线段AF的长表示点A到直线CD距离；
（4）线段CE的长表示点C到直线AE距离；
（5）线段BE的长表示点B到直线AE距离；
（6）线段CF的长表示点C到直线AF距离；
故答案为：(1). AE (2). DF (3). CD (4). AE (5). B (6). AE (7). C (8). AF
14．AD AC BD BC CD
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
【详解】（1）点A到直线CD的垂线段是AD；
（2）点A到直线BC的垂线段是AC；
（3）点B到直线CD的垂线段是BD；
（4）点B到直线AC的垂线段是BC；
（5）点C到直线AB的垂线段是CD．
故答案为: (1). AD (2). AC (3). BD (4). BC (5). CD
15．或
【分析】需要分类讨论：如图，分OC、OD在AB的同侧和异侧两种情况进行求解．
【详解】解：互相垂直，∴，
①如图1，OC与OD在AB的同侧时，
∵，∴；
②如图2，OC与OD在AB的两侧时，
∵，∴，
∴，故答案为：或．
16．
【分析】以BC的长和点到线段的距离分别为的底和高，列出等式即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则为到线段的距离，
∵=8cm，=12cm2，∴，即，解得：cm，
∴点到线段的距离是3厘米，故答案为：3．
17．65.
【分析】由EP⊥EF和∠BEP=40°可求出∠BEF的度数，由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BEF+∠EFD=180°，进而可求出∠EFD的度数，然后由PF是∠EFD的平分线，可求∠PFD的度数.
【详解】解：∵EP⊥EF，∴∠PEF=90°.∵∠BEP=40°，∴∠BEF=90°－40°=50°.
∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°.∴∠EFD=180°－50°=130°.
∵PF是∠EFD的平分线，∴∠PFD=∠EFD=×130°=65°.故答案为65.
18．55.
【分析】根据邻补角互补可得∠AOD+∠BOD=180°，结合已知∠AOD－∠BOD=70°可求得∠BOD的度数，再由对顶角相等即得∠AOC的度数.
【详解】解：∵∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD－∠BOD=70°，∴∠BOD =55°.
∴∠AOC=∠BOD =55°（对顶角相等）.故答案为55.
19．A CD
【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案.
【详解】解：CD⊥AC，垂足分别是C，那么线段AC的长度表示点 A到直线CD的距离，故答案为A；CD.
20．40°
【分析】根据垂直的定义可得∠CEF=90°，然后求出∠AEC，再根据对顶角相等解答．
【详解】∵EF⊥CD，∴∠CEF=90°，
∴∠AEC=∠CEF-∠AEF=90°-50°=40°，∴∠BED=∠AEC=40°．故答案为40°．
三、解答题
21．解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）点B到直线CH的距离是线段BH的长度．故答案为：BH．
22．解：（1）如图，PM为所作；（2）如图，PN为所作；
（3）利用点到直线的距离，垂线段最短可判断PM＜PN．故答案为PM＜PN．