沪教版七年级数学下册 13.5 平行线的性质 同步练习 （含解析）

13.5 平行线的性质
一、单选题
1．已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角AC、BD相交于O，则图中面积相等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．平行线之间的距离是指(　　)
A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
二、填空题
4．已知，AD//BC，如果BE⊥AC，CF⊥BD，，则_______________；
5．如图，AD∥BC，AC、BD相交于点E，△ABE的面积等于2，△BEC的面积等于5，那么△BCD的面积是________．
6．直线，点、位于直线上，点、位于直线上，如果和的 面积之比是，那么____．
7．如图，的面积是5，的面积是2，那么的面积是_________．
8．如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB：CD＝1：2，如果△ABC的面积为10，那么△BCD的面积为_____．
9．如图，在梯形中，，，为上一点，，垂足为点．如果梯形面积为30，，那么_______．
10．如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是______．
11．如图，，的面积等于，，，则的面积是_______．
12.如图，已知，是线段上任意一点，与相交于点，如果的面积是5，的面积是1，那么的面积是_____．
13．如图， AD//BC， BD、AC 相交于点 O， △AOB 的面积为 2， △BOC 的面积为 4，则△DOC 的面积等于__________．
14．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，那么图中面积相等的三角形有______．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AD上任意一点，平行四边形ABCD的面积等于20 cm2，则△EBC的面积等于_______．
16．如图，正方形ABCD边长为4cm，△ABC的面积是______cm2，△SBC的面积是________cm2．
17．如图，如果，那么与的形状______相同，面积_____相等．（填“一定”，“不一定”或“一定不”）
18．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形面积为24 cm2 ，则AB与CD之间距离是_______．
19．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为________．
20．如图，已知直线，点在直线上，点在直线上，且，如果的面积为3，那么的面积等于_______.
21．如图，直线a∥b，点A、B位于直线a上，点C、D位于直线b上，且AB：CD=1：3，若△ABC的面积为5，则△BCD的面积为__________________
22．如图，AD∥BC，AC、BD交于点E，三角形ABE的面积等于2，三角形CBE的面积等于3，那么三角形DBC的面积等于________．
23．如图，在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，现将长方形ABCD向右平移3cm，再向下平移4cm后到长方形A'B'C'D'的位置，A'B'交BC于点E，A'D'交DC于点F，那么长方形A'ECF的周长为_____cm．
24．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为______．
三、解答题
25．按下列要求画图并填空．
（1）过点画出直线的垂线，交直线于点，那么点到直线的距离是线段______的长．
（2）过点作直线的平行线，直线和直线的距离是线段______的长．
26．已知，如图：∠1=∠2，AD=2BC，△ABC的面积为3，求△CAD的面积．
27．按下列要求画图（不需书写结论）并填空;如右图，
（1）过点Q作QD⊥AB，垂足为D，
（2）过点Q作QE∥AB，交AC于点E，
（3）过点Q作QF⊥直线 AC，垂足为F，
（4）联结A、Q两点，
（5）点Q到直线AC的距离是线段 的长度，
（6）直线QE与直线AB之间的距离是线段 的长度.
28．将一副三角板拼成如图所示的图形，即，，，，与相交于点．
　　　　　　　
（1）如果，那么与平行吗？试说明理由；
（2）将绕着点逆时针旋转，使得点落在边上，联结并延长交于点，联结，若，，，求的面积．
29．（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．
答案
一、单选题
1．B
【分析】利用平行线间的距离相等可知与的高相等，底边之比等于面积之比，设的面积为，建立方程即可求解．
【详解】∵
∴与的高相等
∵
∴
设的面积为，则，
∴
解得
∴
故选B．
2．C
【分析】根据AB∥CD可以得到AB、CD两直线间的距离是相等的，即可得到△ADC与△BDC是同底等高的三角形，△CAB与△DAB也是同底等高的三角形，可得到两对，再因为△CAB与△DAB中都含有三角形AOB，去掉之后就得到△AOD和△BOC是面积相等的一对三角形.
【详解】解：∵四边形ABCD中，AB∥CD，
∴直线AB与直线CD间的距离处处相等，
∵△ADC与△BDC的底都是DC，高都是直线AB与直线CD间的距离，
∴两个三角形同底等高，面积相等；
∵△CAB与△DAB的底都是AB，高都是直线AB与直线CD间的距离，
∴两个三角形同底等高，面积相等；
∵,,
其中，，
∴；
综上可得一共有3对三角形面积相等，分别是：△ADC与△BDC，△CAB与△DAB，△AOD与△BOC.
故答案选C.
3．B
试题分析：根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可．
平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．
故选B．
二、填空题
4．
【分析】根据同底等高的三角形面积相等，得出，变形为，即可得出答案．
【详解】∵AD//BC（已知），
∴（同底等高的三角形面积相等）
∵，（三角形面积公式：底高2）
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
5．7
【分析】由于AD//BC，则点B、点C到直线AD的距离相等，利用三角形面积公式得到S△ABD=S△ACD，两三角形的面积都减去三角形AED的面积，则S△ABE=S△ECD=2，然后利用S△DBC=S△ECD+S△BCE进行计算即可．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴．故答案为：7．
6．9：16
【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算．
【详解】解：∵a∥b，∴△ABC与△CBD等高
∴△ABC的面积：△CBD的面积=AB：CD，
∵△ABC和△CBD的面积之比是9：16，
∴AB：CD=9：16，故答案为：9：16．
7．3
【分析】观察图形可知，△ABD和△ACD同底同高，所以S△ACD=S△ABD=5，又S△COD=S△ACD-S△AOD，代入即可求出答案，
【详解】解：观察图形可知，△ABD和△ACD同底同高，∴S△ACD=S△ABD=5，
∴S△COD=S△ACD-S△AOD=5-2=3．故答案为：3．
8．20
【分析】根据条件可得出△ABC的面积与△BCD的面积的比，再根据已知条件即可得出结论；
【详解】解：∵a∥b，
∴△ABC的面积：△BCD的面积＝AB：CD＝1：2，
∴△BCD的面积＝10×2＝20．故答案为：20．
9．4
【分析】根据梯形的性质、三角形的面积公式求出的面积为10，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
的面积+的面积=的面积
梯形面积为30
的面积为10
即
=4
故答案为：4．
10．4
【分析】由AD∥BC，S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等，则得到S△CBE=S△ABC=5，再利用S△BOC = S△CBE - S△EOC得到结论．
【详解】解：∵AD∥BC，∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等.∴S△CBE=S△ABC=5，
∵S△EOC=1，∴S△BOC = S△CBE - S△EOC =5-1=4，故答案为：4．
11．
【分析】过D作DH⊥BC，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】过D作DH⊥BC，
∵AD∥BC，△ABD的面积等于2，AD=1，
∴DH=4，
∵BC=3，
∴△DBC的面积，
故答案为：6．
12．4
【分析】先根据平行线的性质得出点A、E到BC的距离相等，从而可得和的面积相等，再根据的面积等于的面积减去的面积即可．
【详解】
点A到BC的距离与点E到BC的距离相等
故答案为：4．
13．2
【分析】由于AD∥BC，则点A、点D到直线BC的距离相等，利用三角形面积公式得到S△ABC=S△DBC，两三角形的面积都减去△BOC的面积，即可求解．
【详解】∵AD∥BC，
∴点A、点D到直线BC的距离相等，
∴S△ABC =S△DBC，
∴S△ABC -S△BOC = S△DBC -S△BOC，
∴S△AOB =S△DOC =2，
故答案为：2．
14．△ABC与△DCB;△BAD与△CDA；△ABO与△DCO
【分析】根据同底等高的三角形面积相等判断即可．
【详解】∵△ABC与△DCB都是以BC为底，以AD，BC之间的距离为高的三角形
∴△ABC与△DCB的面积相等
同理可得△BAD与△CDA的面积相等．
△ABC与△DCB同时减去△AOD可得△ABO与△DCO面积相等
故答案为：△ABC与△DCB；△BAD与△CDA；△ABO与△DCO．
15．10cm2
【分析】由AD∥BC可知△EBC与平行四边形ABCD同底等高，易知△EBC的面积等于平行四边形ABCD面积的一半．
【详解】∵AD∥BC
∴△EBC与平行四边形ABCD同底等高，
∴S△EBC=S平行四边形ABCD=10cm2
故答案为：10cm2
16．8 8
【分析】由正方形的性质可知AB=BC=4cm，AB⊥BC，AS∥BC，利用三角形面积公式和同底等高的三角形面积相等可求解．
【详解】∵ABCD为正方形
∴AB=BC=4cm，AB⊥BC，AS∥BC，
∴S△ABC=
△SBC与△ABC为同底等高的三角形
∴S△SBC=8cm2
故答案为：8，8．
17．不一定 一定
【分析】根据同底等高的三角形面积相等进行判断即可．
【详解】∵平行线间的距离处处相等
∴与是同底等高的三角形，
∴面积一定相等，但形状可能相同，
故答案为：不一定，一定．
18．4cm
【分析】易知两条平行线AB、CD之间的距离就是AD的长度，根据长方形的面积等于长乘宽，可求AD的长．
【详解】∵四边形ABCD为长方形
∴AB∥CD，AD⊥AB
∴两条平行线AB、CD之间的距离就是AD的长度．
∵长方形面积为24 cm2，AB=6cm
∴AD的长=
故答案为：4cm．
19．2cm或8cm
【分析】点M的位置不确定，可分情况讨论．
（1）点M在直线b的下方，直线a和直线b之间的距离为5cm-3cm=2cm
（2）点M在直线a、b的之间，直线a和直线b之间的距离为5cm+3cm=8cm．
【详解】当M在b下方时，距离为5-3=2cm；
当M在a、b之间时，距离为5+3=8cm．
故答案为2cm或8cm.
20．6
【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算．
【详解】解：∵a∥b，
∴△BCD的面积：△ABC的面积=CD：AB=2：1，
∴△BCD的面积=3×2=6．故答案为6．
21．15
【分析】由已知得：△BCD和△ABC的高相等，面积之比就是他们的底边之比．
【详解】解：根据题意△BCD和△ABC的高相同，可设为h，
又因为AB：CD=1：3，则：=15
22．5
【分析】由于AD∥BC，则点B、点C到直线AD的距离相等，利用三角形面积公式得到S△ABD=S△ACD，两三角形的面积都减去三角形AED的面积，则S△ABE=S△ECD=2，然后利用S△DBC=S△ECD+S△BCE进行计算即可．
【详解】∵AD∥BC，
∴S△ABD=S△ACD，
∴S△ABE=S△ECD，=2，
∴S△DBC=S△ECD+S△BCE=2+3=5．
故答案为5．
23．20
【分析】根据平移的距离表示出长方形A'ECF的长和宽，即可求出结论．
【详解】解：由题意得到BE=3cm，DF=4cm，
∵AB=DC=7cm，BC=10cm，
∴EC=BC-BE=10cm-3cm=7cm，FC=DC-DF=7cm-4cm=3cm，
∴长方形A'ECF的周长=2×（7+3）=20（cm），
故答案为20．
24．8
【解析】在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，因为AE∥BD，所以h=h′，因为△ABD的面积为16，BD=8，所以h=4．则△ACB的面积==8．
三、解答题
25．（1）如图，BD即为所求．
点B到直线AC的距离是线段BD的长；
故答案为：BD；
（2）如图，BT即为所求．
直线和直线的距离是线段BD的长；
故答案为：BD．
26．，
过点C作CM⊥AD，过点A作AN⊥BC，如图所示：
，
27．解：（1）—（4）如下图：
（5）点Q到直线AC的距离是线段QF的长度，
（6）直线QE与直线AB之间的距离是线段QD的长度.
28．（1），理由如下：
∵，（已知）
∴（等式性质）
∵（已知）
∴（等式性质）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
（2）如图，过点M作于点N
（已知）
（对顶角相等）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（已知）
（平行线之间的距离定义）
则
即的面积为．
29．（1）∵与有共同的边AB，又∵，
∴与的高相等，即与同底等高，
∴=，故答案为：=；
（2）方法一：连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，∴，即，
又由可知与同底等高，∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
方法二
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，∴，∴，
即，
又由可知与同底等高，∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
（3）方法一
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，即，
又由可知与同底等高，
∴，∴满足修路方案；
方法二：连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案．