九年级数学下册试题 期中测试卷（综合能力提升卷）-沪教版（含答案解析）

期中测试卷（综合能力提升卷）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．圆的半径是6cm，若圆心与直线的距离为6.5cm，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相交或相切 B．相交 C．相切 D．相离
2．若一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）
A．2.5cm或6.5cm B．2cm C．6.5cm D．2cm或6cm
3．已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
4．已知正六边形的边长为4，则它的内切圆半径为（ ）
A．2 B． C． D．4
5．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆，一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
6．如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．随点位置而变化
10．如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为___．
12．若一个扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为 ___；若一个正多边形的外角为120度，则这个正多边形是正 ___边形．
13．已知的半径为，是线段的中点，若的长为，则点在________．
14．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．
15．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm．
16．如图，以为圆心、为半径作扇形，线段恰好与以为直径的半圆弧相交，交点为弧的中点，若，则阴影部分图形的面积是______（结果保留）．
17．如图，若正六边形边长为2，为中点，连接对角线，则线段的长为____________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD．
(I)如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小；
(Ⅱ)如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小．
20．如图所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E.
(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．
(2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DA＝DC，以点D为圆心，DA的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
(1)求证：四边形ABED为矩形；
(2)若AB＝4，，求CF的长．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
23．如图，已知是的直径，点D，C是圆上的两个点，且，直线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
24．如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC=，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
答案
一、选择题。
1．D
【分析】根据圆心与直线的距离大于圆的半径即可判断直线与圆的位置关系
【详解】解：∵圆的半径是6cm，若圆心与直线的距离为6.5cm，
∴直线与圆的位置关系是相离
故选D
2．D
【分析】分两种情况讨论：当点在圆内或点在圆外．
【详解】解：当点在圆内时，圆的直径为4+8=12，圆的半径为6；
当点在圆外，圆的直径为8-4=4，圆的半径为2，
即该圆的半径为2cm或6cm
故选：D．
3．C
【分析】根据⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3得到直线l与⊙O相交，即可判断出直线l与⊙O有两个公共点．
【详解】解：∵⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O相交，
∴直线l与⊙O有两个公共点．
故选：C
4．C
【分析】如图所示，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于G，先求出∠AOB=60°，得到△OAB是等边三角形，然后根据勾股定理和三线合一定理求出OG的长即可．
【详解】解：如图所示，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于G，
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∵OG⊥AB，
∴，
∴，
∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为：2.
故选C．
5．B
【分析】由已知点(2,3)可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若dr，则直线与圆相离．
【详解】解：∵点(2,3)到x轴的距离是3，等于半径，
到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选B．
6．C
【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB是的直径，BC是的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-35°=55°，
故选C．
7．B
【分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
【详解】解：如图，过点O作，，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，
∴,，
∴，，
∴，，
∴．
故选B．
8．C
【分析】根据和点是点关于的对称点，求出，求出，即可判断①②；根据圆周角定理求出当和重合时即可判断③；求出点的位置，根据圆周角定理得出此时是直径，即可求出长，即可判断④．
【详解】解：，点是点关于的对称点，
，
，
的长度是，
①正确；
，
②正确；
的度数是，
的度数是，
只有当和重合时，，
，
只有和重合时，，
③错误；
作关于的对称点，连接，交于，连接交于，此时的值最短，等于长，
连接，
，并且弧的度数都是，
，，
，
是的直径，
即，
的最小值是10，
④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：．
9．B
【分析】连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，根据矩形的性质求出，再求出正六边形面积即可．
【详解】解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．
10．B
【分析】从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．
【详解】解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．
故选：B．
二、填空题。
11．4或2cm
【分析】当点在圆外时，最长距离-最短距离=直径，当点在圆内时，最长距离+最短距离=直径，即可求解..
【详解】解：(1)当点在圆外时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为4cm，那么半径为2cm.
(2)当点在圆内时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为8cm，那么半径为4cm.
故答案为4或2.
12． 三
【分析】根据扇形的面积，计算即可；多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．
【详解】解：由题意，，
∴这个正多边形是正三边形．
故答案为：，三．
13．外
【分析】由是线段的中点求出的长，然后与半径作比较即可得出答案．
【详解】解：是线段的中点，
，
的半径为，
，
点在外．
故答案为：外．
14．
【分析】连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OB，交AC于点D，
∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的长为：，
故答案为：．
15．
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD=OA=1cm，
再根据勾股定理得：AD=cm，
根据垂径定理得：AB=2cm．
故答案为：．
16．
【分析】连接DO，根据题意，可知∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形CAB的面积减去扇形BOD与△AOD的面积之和再加扇形AOD的面积减△AOD的面积，然后代入数据计算即可．
【详解】解：连接DO，
∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝2，
∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝1，
∴阴影部分的面积是：（ -）＋（-）＝，
故答案为：．
17．
【分析】过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE于H，由含30°直角三角形的性质结合矩形的性质求出BE，GH，EH，根据勾股定理即可求出BG．
【详解】解：连接，过作于，过作于，过作于，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵∠GEB=，
∴，
∵为中点，
∴GE=1，
在中，，GE=1，
∴GE=，
由勾股定理可得：，
∴，
在中，由勾股定理可得：.
故答案为：
18．D（，1）
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（ 2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180° 120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（ 2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（ ，1）．
故答案为（ ，1）．
三、解答题。
19．
（1）
∴
∴
∴
（2）
∴
=
∴
∴
20．解：(1)∠APB＝2∠BAC.理由：∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝ ∠APB.易证Rt△PAF≌Rt△PBF，∴∠PFA＝∠PFB＝90°，∴∠APO＋∠PAB＝90°.∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA，即∠BAC＋∠PAB＝90°，∴∠APO＝∠BAC，∴∠APB＝2∠BAC.
(2)存在．∵当四边形PAOB是正方形时，PA＝AO＝OB＝BP＝4，PO⊥AB且PO＝AB，∴PO·AB＝PA·PB，即PO2＝PA2， PO2＝16，∴PO＝4 (负值已舍)．故这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4.
21．
解：(1)∵BA是圆的切线，又DE⊥BC,∴∠BAD=∠BED=90°.　 又∵AD∥BC ,∴∠ADE=90°. ∴四边形ABED为矩形.
(2)设AD＝3k(k>0)，则BC＝4k，∴BE＝3k，EC＝BC－BE＝k，DC＝AD＝3k，又DE2＋EC2＝DC2，∴42＋k2＝(3k)2，∴k2＝2，∵k>0，∴CF＝2EC＝2
22．解：（1）证明：在⊙O中，连接，
∵ 直线AB与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥AB．
∵ E是AB中点，
∴；
（2）解：∵，
∴ ．
∵，
∴AE，AC是⊙O的切线，
∴，（切线长定理）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设⊙O的半径为r，则，
在中，，
∴ ，
在中，
∵，
，
∴ ，
解得，
∴ ⊙O的半径为1．
23．
（1）证明∵，
∴，
∵，
∵，
∴，且是直径，
∴是的切线．
（2）解 连结，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
．
24．
（1）证明：∵将沿直线折叠得到，
∴．
∴点在的垂直平分线上．
同理得：点在的垂直平分线上．
∴即，
∵．
∴．
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
解得：或（舍去）．
∴，，
∴．
25．
（1）证明：连接OE，OP，
∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG＝＝12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ＝，
∴CH＝HQ＝，
∴四边形CHQE的面积＝CH GQ＝×6＝45．