九年级数学下册试题 期末综合测试卷-沪教版（含答案解析）

期末综合测试卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C关于的位置关系是（ ）
A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．不能确定
2．已知半径为，弦长，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．我校七年级举行大合唱比赛，六位评委给七年级一班的打分如下：（单位：分），则该班得分的平均分为（ ）
A．9.45分 B．9.50分 C．9.55分 D．9.60分
4．如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接平行四边形一定是矩形
6．小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（　　）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2
7．如图，在中，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8． 某校为开展第二课堂，组织调查了本校150名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如下扇形统计图，则在该被调查的学生中，跑步和打羽毛球的学生人数分别是（　　）
A．30，40 B．45，60 C．30，60 D．45，40
9．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
10．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．21，21 B．21，21.5 C．21，22 D．22，22
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝cm，则OF＝________cm．
12．若某扇形花坛的面积为6m2，半径为3m，则该扇形花坛的弧长为_____m．
13．甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为，则这6次比赛成绩比较稳定的是__________．（填“甲”或“乙”）
14．如图，点为的半径的中点，弦过点且垂直于，若，则弦的长为______．
15．如图，正方形ABCD的边AB＝2，P是边AB上一动点，过B点作直线CP的垂线，垂足为Q，当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为_____．
16．在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班．
人数 平均数 中位数 方差
甲班 45 82 91 19.3
乙班 45 87 89 5.8
17．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC=AC，连接线段AB，与⊙O交于点D，若AC=4cm，则阴影部分的面积为=_________
18．某校中学生开展社会实践活动，同学们在某小区随机调查了部分家庭一周内使用环保方便袋的数量，整理后制作了如图所示的统计图，请你根据统计图估计该小区每户一周内使用环保方便袋 _________个．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①当∠BAC＝　　°时，四边形OBED为正方形；
②若AB＝4，当BC＝　　时，四边形ODCE是平行四边形．
20．如图等腰，，为上一点，经过点且与相切于点，与交于点，作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
21．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．
求证：DC为的切线；
线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．
22．长沙作为新晋的网红城市，旅游业快速发展，岳麓区共有A、B、C、D、E等网红景点，区旅游部门统计绘制出2021年“国庆”长假期间旅游情况统计图（不完整）如下所示，根据相关信息解答下列问题：
（1）2021年“国庆”长假期间，岳麓区旅游景点共接待游客 万人．并补全条形统计图；
（2）在等可能性的情况下，甲、乙两个旅行团在A、B、C、D四个景点中选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表加以说明．
23．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．
（1）请判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求图中阴影部分的面积．
24．为迎接中国共产党建党100周年，某校举行“知党史，感党恩，童心的党”系列活动，现决定组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），D（大合唱）．该校随机抽取了本校部分学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为，请结合下面两幅图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了_________名学生，扇形统计图中“C”的圆心角度数为________；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，根据调查数据估计该校约有多少人喜欢参加“C”活动小组．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半圆⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半圆⊙O′的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB．
（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过A、B、C三点，AB＝10，AO＝2CO．
①求抛物线的表达式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．
答案
一、选择题。
1．B
【解析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：
如图所示，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC==，
∵圆A的半径为，
∴点C在A上．
故选B．
2．B
【解析】连接，根据垂径定理得出过，cm，，根据勾股定理求出长，即可求出．
【详解】解：连接，
为中点，过圆心，为的中点，
由垂径定理得：过，cm，，
在中，cm，cm，
由勾股定理得：cm，
cm，
故选：B．
3．B
【解析】根据求平均数的计算公式计算即可求解．
【详解】解：（9.2+9.4+9.6+9.5+9.8+9.5）÷6=9.50（分）．
故该班得分的平均分为9.50分．
故选：B．
4．B
【解析】连接OA、OB，过点O作，由三角形内角和求出，由圆周角定理可得，由得是等腰三角形，即可知，，根据三角函数已可求出AD，进而得出答案．
【详解】解：
如图，连接OA、OB，过点O作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
5．D
【解析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；D、圆内接平行四边形对角互补且相等，则内角都为直角，一定是矩形，故本选项符合题意．
故选：D．
6．B
【解析】从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇形的弧长，根据此求出扇形的面积．
【详解】解：根据圆的周长公式得：
圆的底面周长=20π．
圆的底面周长即是扇形的弧长，
∴扇形面积==240πcm2．
故选B．
7．A
【解析】根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在中，，
，
，
，BC为半圆O的直径，
，
，
，
图中阴影部分的面积
故选A．
8．B
【解析】由题意得，打羽毛球学生的比例为：1﹣20%﹣10%﹣30%=40%，则跑步的人数为：150×30%=45，打羽毛球的人数为：150×40%=60．故选B．
9．D
【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D.
10．C
【解析】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，
第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22.
故选C.
二、填空题。
11．或
【解析】根据题意分两种情况并综合利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析即可求解.
【详解】解：如图，连接BO
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，BD＝12cm，
∴,
∵OE＝cm，BD⊥AC,
∴cm,
∴,,
∵OF⊥BC,
∴,
∴,
如图，
∵OE＝cm，BD⊥AC, ,
∴,
∵OF⊥BC,
∴,
∴.
故答案为：或.
12．4
【解析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：设弧长为，
∵扇形的半径为3m，面积是6m2，
∴，
∴＝4 （m）．
故答案为4．
13．乙
【解析】在平均数相同的条件下，方差越小则成绩就越稳定，据此解答即可．
【详解】解：∵甲、乙两人的平均成绩都是97分，s2甲，s2乙，
∴s2甲＞s2乙，
∴这6次比赛成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
14．
【解析】连接BO，先求出OM=2，再由勾股定理求出BM的长即可得到结论．
【详解】解：连接BO，如图，
则
∵M是OA的中点
∴
∵
∴△是直角三角形，BC=2BM
∴
∴
故答案为
15．
【解析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为，求出圆心角，半径即可解决问题．
【详解】解：如图，取BC的中点O，连接AC、BD交于点G，连接OG．
∵BQ⊥CP，
∴∠BQC=90°，
∴点Q的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上，
当点P从点A运动到点B时，点G的运动路径长为，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠BCG=45°，
∴∠BOG=90°，
∴的长．
故答案为：．
16．甲．
【解析】班级人数相同，都为45人，中位数为班级分数排序以后的第23位同学的分数，甲班的91分高于乙班89分，则得出答案．
【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多，
故答案为：甲．
17．
【解析】阴影部分面积等于，根据切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质分别求出相关线段的长是或角的度数是解题关键．
【详解】解：连接OD，CD，
∵AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，∠ADC=90°，
∵BC=AC=4cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=45°，AO=OC=OD=2cm，OD⊥AC，
∴∠COD=2∠CAD=90°，
，
故答案为：．
18．
【解析】根据条形图得到调查数据的总户数、总使用环保方便袋的数量，即可解题．
【详解】解：由图形可知，
调查数据的总户数：（户）
总使用环保方便袋的数量：（个）
估计该小区每户一周内使用环保方便袋个数为：（个）
故答案为：．
三、解答题。
19．解：（1）证明：连接OD、OE，如图1所示：
∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△ODE和△OBE中，
∴△ODE≌△OBE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：
如图2，连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
由（1）得：OB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵OD＝OB，
∴四边形OBED为正方形，
故答案为：45；
②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：
如图3，∵AB＝4，BC＝4，
∴OD＝OA＝2，AB＝BC，
∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥CE，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝2，
∴OD＝CE，
∴四边形ODCE是平行四边形，
故答案为：4．
20．
（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∵OD=OC，
∴∠ACB ＝∠ODC．
∴∠B＝∠ODC．
∴OD∥EF．
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝90°
∴∠ODF＝90°．
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，
∵AB，DF是⊙O的切线，DF⊥AB，
∴∠OEF＝∠ODF＝∠AFD＝90°．
∴四边形OEFD是矩形．
∵OD=OE，
∴矩形OEFD是正方形，
∴OE ＝DF＝4，
在Rt△AOE中，AE ＝3，
由勾股定理得：．
∴AC＝OA＋OC＝OA＋OE＝9．
21．解：
（1）如图，连接OC，
为的直径，
，
，
，
，
，
，即，
为的切线；
中，，，
，，
，，
∽，
，
设，，
中，，
，
舍或，
，，
，
设，
，
，
，
，
∽，
，
，，
．
22．解：（1）岳麓区旅游景点共接待游客15÷30%=50（万人），
B景点的人数为50×24%=12（万人），
补全条形图如下：
（2）画树状图如图所示：
∵共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两个旅行团在A、B、C、D四个景点中选择去同一景点的结果有4种，
∴甲、乙两个旅行团在A、B、C、D四个景点中选择去同一景点的概率=．
23．解：（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，
理由如下：连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，
∵S△ABE=BE AH=AB EG，AB=BE，
∴AH=EG，
∵四边形ADEG是矩形，
∴AD=EG，
∴AH=AD，
∴BE是圆的切线；
（2）连接AF，
∵BF是⊙A的切线，
∴∠BFA=90°
∵BC=5，
∴AF=5，
∵AB=10，
∴∠ABF=30°，
∴∠BAF=60°，
∴BF=AF=5，
∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积-扇形MAF的面积
=×5×5-=．
24．解：（1）本次调查的学生总人数为（名），
“”所占百分比为，
则“C”的圆心角度数为，
故答案为：50，；
（2）喜欢参加“”的人数为（名），
喜欢参加“”的人数为（名），
则补全条形统计图如下所示：
（3）（人），
答：估计该校约有450人喜欢参加“C”活动小组．
25．解：解：（1）连接O'C，
∵O'是圆心，
∴AO'＝CO'，
∴∠CAO＝∠CO'A，
∵CD是⊙O'的切线，
∴O'C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O'C∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO'，
∴∠CAD＝∠CAB；
（2）①∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝∠CBA，
∴△ACO∽△CBO，
∴＝，
∵AO＝2CO，
∴CO＝BO，
∵AB＝10，
∴2CO＋CO＝10，
∴CO＝4，
∴AO＝8，BO＝2，
∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线的解析式y＝a（x＋8）（x﹣2），将点C（0，2）代入，
∴4＝﹣16a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x＋4；
②E点在直线CD上，理由如下：
y＝﹣x2﹣x＋4的顶点E（﹣3，），
∵∠CO'G＋∠CGO'＝90°，∠CO'G＋∠O'CO＝90°，
∴∠CGO'＝∠OCO'，
∵OO'＝3，
∴tan∠CGO'＝tan∠OCO'，即＝，
∴＝，
∴OG＝，
∴G（，0），
设直线CD的解析式为y＝kx＋b，
则有，
∴，
∴y＝﹣x＋4，
当x＝3时，y＝，
∴E点在直线CD上．