16.1 二次根式 课件(共22张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共22张PPT)
第16章 二次根式
16.1 二次根式
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式.
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 和
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
情景导入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____．
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
知识讲解
知识点1 二次根式的概念
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
中一般把根的指数2省略，写成
解读
被开方数可以是非负数或单项式、多项式、分式等
两个要素
①形式上含有“ ”
②被开方数a ≥ 0
知识点2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，
即： 有意义 a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，
即： 无意义 a＜0.
解读
式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件.
探究1 根据算术平方根及平方的的意义填空，你发现了什么？
0
2
4
算数平方根
0
2
…
…
平方运算
…
0
2
4
观察两者有什么关系？
知识点3 的性质
4
2
0
探究2 根据探究1直接写出结果，然后根据探究1的探究过程说明理由
是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 .
同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.
的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
总结
知识点4 的性质
填一填
2
0.1
0
算数平方根
4
…
…
平方运算
…
2
0.1
观察两者有什么关系？
0
0
( a≤0 ).
当a≥0时， 等于什么？若a的值无限定， 又等于什么？
思考：
2
0.1
0
填空：
归纳：由此可以看出： ( a≥0 ).
a
= 3
－a
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身的绝对值.
总结
的性质：
a (a≥0)
－a (a＜0)
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
分析
例1
总结
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式.像+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
例2
当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2.
当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义.
变式 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：（1）由题意得x－1＞0，
∴ x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥－3.
∵分母不能等于零，∴x－1≠0，∴x≠1.
∴x≥－3 且x≠1.
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
计算：
积的乘方(ab)2=a2b2
例3
（2）可以用到幂的那条基本性质呢？
例4
解：
化简：
归纳
计算 一般有两个步骤：
①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即 =|a|；
②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|=
随堂演练
3.要使式子 有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
C
1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是 .
2.使 有意义的x的取值范围是 .
x≥－3
4. 计算：
解：
5.说出下列各式的值：
(1) (2) (3) (4)
课堂小结
二次根式
在有意义条件下求字母的取值范围
定义
带有二次根号
被开方数必须为非负数
被开方数为非负数（a≥0)
基本性质
a (a≥0)
－a (a＜0)
＝a (a ≥0)