17.1 一元二次方程 课件 (共20张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共20张PPT)
第17章 一元二次方程
17.1 一元二次方程
学习目标
1．了解一元二次方程的概念。(重点)
2．掌握一元二次方程的一般形式为常数，，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式。(重点)
3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型。(难点)
复习导入
1、我们曾学过哪些方程？
一元一次方程、
二元一次方程、
分式方程
2、什么是一元一次方程？
一元一次方程具有哪些特点？
只含有一个未知数 (元) ，
叫做一元一次方程.
并且未知数的最高次数是 1 的
整式方程
③ 方程两边都是整式
① 只含有一个未知数 (元)
② 未知数的次数是 1
一元一次方程的一般形式：
ax+b=0
(a≠0)
3、什么是方程的解(或根)
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解(或根).
知识讲解
思考：根据以往的经验，你想用什么方法来解决这个实际问题？
方程
问题 1 某蔬菜队 2009 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2011 年无公害蔬菜的产量比 2009 年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，2010 年和 2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
知识点1 一元二次方程的概念
100(1+x)+ 100(1+x)x
问题 1 某蔬菜队 2009 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2011 年无公害蔬菜的产量比 2009 年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，2010 年和 2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
解：设这个队2010~2011年无公害蔬菜产量的年平均增长
根据题意，得
100（1+x）2
整理，得
（1+x）2
则2010年无公害蔬菜产量为
100+100x
=100(1+x)
(t)，
是 x，
则2011年无公害蔬菜产量为
=
100(1+x)2
(t).
= 200
= 2
即
x2+2x-1=0
问题２ 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
1、若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.
32x
2、由于花坛的总面积是 570 m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理，得
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0
32
20
x
思考
还有其它的列法吗？试说明原因.
(32-2x)(20-x)=570
32-2x
20-x
32
20
整理，得：
x2-36x＋35=0
想一想
x2+2x-1＝0
x2-36x+35＝0
观察上面所列的方程，这两个方程之间有什么共同的特点？
③ 方程两边都是整式
① 只含有一个未知数 (元)
② 未知数的最高次数是 2
特点：
只含有一个未知数（元），
并且未知数的最高次数是 2 的
整式方程，
叫做
一元二次方程
观察
概念学习
是一次项系数；
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，
ax2+bx+c=0
(a≠0， )
c
这种形式叫做
一元二次方程的一般形式
（又叫做 标准形式）,
其中
a
bx
b
ax2
是二次项，
是二次项系数；
是一次项，
是常数项．
都能化成如下形式：
经过整理，
b，c为任意实数
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0，b = 0 时
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时
ax2 = 0，
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
想一想
知识点2 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：
3 和 -2.
你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0
少了先决条件 a ≠ 0
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再作判断.
例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1) ax2－x = 2x2
； (2) (a－1)x|a|+1－2x－7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2) 由 |a| + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解．
例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得该方程的一般形式为
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.
随堂演练
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
2. 填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0，
9 + 4a = 0，
4a = -9，
课堂小结
一元二次方程
概念
一般形式
①是整式方程；
②含一个未知数；
③最高次数是 2
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，
其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件
根
使方程左右两边相等的未知数的值