17.2.1 直接开平法和配方法 课件 (共19张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共19张PPT)
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
17.2.1 直接开平方法和配方法
学习目标
1. 会用开平方法解形如（x+m） =n(n≥0)的方程.(重点)
2. 理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(重点、难点)
复习导入
1. 如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的 .
平方根
2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = .
3. 如果 x2 = 64，那么 x = .
±8
4. 任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
知识讲解
(1) x2=9
例 1 根据平方根的意义你能解下列方程吗？
(2) x2-2=0
解：
开平方，得
x=±3
∴ x1=3，
x2=-3
解：
移项，得
x2=2
开平方，得
x=
∴ x1= ,
x2=
知识点1 直接开平方法
(2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程，
(1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
总结
例 2 类比上面解方程的过程，你认为应怎样下面的方程.
即
解：
移项，得
开平方，得
∴
或
直接开平方法的基本思想：
通过“降次”，将一个一元二次方程
转化为两个一元一次方程.
将方程化成 或 的形式，再求解.
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
③ 解这两个一元一次方程，求出方程的根.
② 开平方，把一元二次方程转化成两个一元一次方程;
即
① 将方程变成左边是完全平方式，
且完全平方式的系数为 1，
右边是非负数的形式;
x2=a
(a≥0)
总结
知识点2 配方法
你能用直接开平方法解下列方程吗
x2+2x-1= 0
这个方程，显然我们不能直接通过开平方来解，
那怎么办呢？
这样就可用直接开平方法来解.
我们可以把方程的
完全平方式的形式，
左边化成
下面对方程 x2+2x-1=0 进行变形
解：移项，得
x2+2x+1=1+1
x2+2x=1
配方，得
（x+1）2=2
开平方，得
x+1=
即
∴
想一想：为什么在方程两边同时加上“1”，而不是其它数？
如何配方？
方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.
当一元二次方程的二次项系数是 1 时，
像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法解一元二次方程的定义
配方法解一元二次方程的基本思路
把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
总结归纳
例3 解下列方程：
解：移项，得
x2－8x = －1，
配方，得
x2－8x + 42 = －1 + 42，
(x－4)2 = 15.
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2－3x = －1.
即
移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢
配方，得
∵ 实数的平方不会是负数，∴ x 取任何实数时，上式都不成立．∴ 原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为 1，得
为什么方程两边都加 12？
即
配方法解一元二次方程的基本步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成 (x + n)2 = p (p≥0)；
四直接开平方法解方程.
总结
在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为 1 的一般式前提下进行的.
一元二次方程配方的方法
随堂演练
C. 解方程 4(x - 1)2 = 9，得 4(x - 1) =±3，x1 = ，
x2 =
D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1, x2 = -4
1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. 解方程 x2 = -2，得 x =±
B. 解方程 (x - 2)2 = 4，得 x - 2 = 2，x = 4
D
(1)方程 x2 = 0.25的根是 .
(2)方程 2x2 = 18 的根是 .
(3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 .
3. 解下列方程：
(1) x2 - 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2 = 4.
x1＝0.5，x2＝-0.5
x1＝3，x2＝-3
x1＝2，x2＝-1
2. 填空：
x1＝9，x2＝-9.
x1＝5，x2＝-5.
x1＝1，x2＝-3.
4. 解下列方程：
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；
（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
此方程无解.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3=0，
(x + 1)2 = 4.
x1 = -3，x2 = 1.
5. 已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，且满足等式
，试判断 △ABC 的形状.
解：对原式配方，得
由非负式的性质可知
∴ △ABC 为等边三角形.
课堂小结
配方法
定义
通过配完全平方式解一元二次方程的方法
步骤
一移常数项，二配方[配上 ]，
三写成 (x+n)2=p (p≥0)，四开平方解方程
特别提醒：在用配方法解一元二次方程之前先把二次项系数化为 1.
应用
求代数式的最值或字母值
直接开平方法
利用平方根的定义求方程的根的方法