17.3 一元二次方程根的判别式 课件 (共14张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共14张PPT)
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.(重点、难点)
2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2+bx+c=0 (a≠0）
x=。
知识讲解
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？与同伴进行交流。
方程ax2+bx+c=0（a≠0）经过配方可以变形为
因为a≠0，所以4a ＞0，这样由b -4ac就可以确定是正数、零还是负数。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
（1）如果b -4ac＞0，这时方程有两个不相等的实数根:
x1=,x2=。
x1=x2=。
（3）如果b -4ac＜0，则(x +) 不可能是负数，这时方程没有实数根。
（2）如果b -4ac=0，则(x +) =0，这时方程有两个相等的实数根:
以上三个结论反过来也是正确的。
一元二次方程根的判别式：
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac。
特别提醒：
（1）确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；
（2）使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0。
一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：
(1)Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
(3)Δ＜0 方程没有实数根。
总结
例 利用一元二次方程的根的判别式，判断下列方程的根的情况：
(1)2x +x-4=0;
例题解读
解：a=2,b=1,c=-4。
因为=b -4ac=1 -4×2×(-4)=33＞0，
所以方程有两个不相等的实数根。
例 利用一元二次方程的根的判别式，判断下列方程的根的情况：
(2)4y +9=12y；
例题解读
解：原方程化为一般形式，得4y -12y+9=0。
a=4,b=-12,c=9。
因为=b -4ac=(-12) -4×4×9=0，
所以原方程有两个相等的实数根。
例 利用一元二次方程的根的判别式，判断下列方程的根的情况：
（3）5(t +1)-6t=0。
例题解读
解：原方程化为一般形式，得5t -6t+5=0。
a=5,b=-6,c=5。
因为=b -4ac=(-6) -4×5×5=-64＜0，
所以原方程没有实数根。
1. 一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
A
解析：由题意，知原方程可化为x -2x-4=0。
由根的判别式，知b -4ac=(-2) -4×1×(-4)=20＞0。
所以原方程有两个不相等的实数根。
随堂演练
2.对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根 D. 无法判断
C
解析：由根的判别式，知b -4ac=[2(k+1)] -4×1×(－k2+2k－1)=8k +8＞0。
所以原方程有两个不相等的实数根。
3.关于x 的一元二次方程(m－2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )
A. m≤3 B. m＜3
C. m＜3且m≠2 D. m≤3且m≠2
D
解析：由题意，知m-2≠0，即m≠2。
由根的判别式，知b -4ac=2 -4×(m-2)×1=12-4m≥0。
解得m≤3。
所以可知m的取值范围是m≤3且m≠2。
课堂小结
根的判别式：Δ = b2 - 4ac
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根
Δ < 0 时，方程没有实根
Δ = 0 时，方程有两个相等的实根