17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共22张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共22张PPT)
第17章 一元二次方程
* 17.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.了解一元二次方程的根与系数的关系。（重点）
2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。（难点）
复习引入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根.
知识讲解
填写下表，然后观察根与系数的关系：
方程
x2+2x-15=0
3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
x1
x2
x1+x2
x1x2
两个根
两根
之和
两根
之积
a与b之间关系
a与c之间关系
b
a
-
c
a
3
-5
-2
-15
-2
-15
1
1
3
4
3
1
3
4
3
1
3
-2
1
2
3
2
-
-1
3
2
-
-1
根据你的观察，猜想：方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根如果是 x1，x2，
那么 x1+x2= ，
x1x2= .
b
a
-
c
a
你能证明上面的猜想吗？
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式.由此可知，方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q。
1.二次项系数为1，能因式分解的一元二次方程
知识讲解
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
2.一般的一元二次方程
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0 时有两个根：
x1+x2 =
x1x2 =
知识讲解
如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么
。
3.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
知识讲解
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6。
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.
∴方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1＋x2＝－7，x1x2＝6。
例题解读
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(2)2x2－3x－2＝0。
例题解读
例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值。
思路：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值。
例题解读
例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值。
例题解读
若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值；
若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值。
归纳总结
1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)x2－6x－15＝0； (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2。
解：
随堂演练
2. 若实数x1，x2满足x1+x2=3,x1x2=2,则下列一元二次方程以x1，x2为根的是(　　)
A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0
C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0
A
3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p= , q= 。
1
-2
4.下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2的是（ ）
A.x2-2x+2=0
B.x2-2x+2 022=0
C.x2-2x-2 022=0
D.x2+2x-2=0
C
没有实数根。
没有实数根。
两个实数根的和为2。
两个实数根的和为-2。
5.已知关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是x=0,试确定m的值并求该方程的另一个根。
6.关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根。
(1)求m的取值范围;
(2)若方程有一根为4,求方程的另一根。
7.若p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p-q的值是( )
A.6 B.9 C.12 D.13
D
解析：∵p,q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，
∴p+q=-4,p2+4p-9=0，即p2+4p=9。
则原式=（p2+4p）-（p+q）=9-(-4)=9+4=13。
8.若a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根，
且a2+b2=12，则k的值是（ ）
A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或1
A
解析：∵a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根，
∴Δ=4k2-16k≥0,即k≥4或k≤0, a+b=2k,ab=4k,
∵a2+b2=12,∴(a+b)2-2ab=12,即4k2-8k=12,
整理得:k2-2k-3=0,即(k-3)(k+1)=0,
解得k=3(不合题意,舍去)或k=-1,则k=-1。
9.设x1，x2是方程3x2+4x-3=0的两个根。利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1+1)(x2+1); (2)
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1,x2和系数a,b,c的关系：
2.与一元二次方程的两个根x1,x2有关的代数式的常见变形：
课堂小结
3.一元二次方程的根与系数的关系的应用：
（1）判定两根的符号；
（2）已知一根求另一根及字母的值；
（3）求涉根代数式的值；
（4）构建以两已知数为根的一元二次方程。
课堂小结