17.5 一元二次方程的应用 课件 (共22张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共22张PPT)
第17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
学习目标
1.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性。（重点、难点）
2.认识方程模型的重要性，寻找实际问题中的相等关系。（难点）
3.在问题解决中,经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力。
知识讲解
知识点1 平均变化率问题与一元二次方程
填空：
1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 . 如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元.
7%
4324.5
下降率 =
下降前的量 - 下降后的量
下降前的量
探究归纳
2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元.
下降率x
第一次下降前的量
5000(1 - x)
第一次下降后的量
5000
下降率x
第二次下降后的量
第二次下降前的量
5000(1 - x)(1 - x)
5000(1 - x)2
5000(1 - x)
5000(1 - x)2
例1 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率.
解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得
5 000 (1 - x)2 = 4050，
解方程，得
x1 = 0.1，x2 = 1.9.
根据问题的实际意义，取 x = 0.1，
即甲种药品成本的年平均下降率为10％.
下降率不可为负，且不大于1.
注意
例题解读
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为 x.根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950.
整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0.
解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5.
增长率不可为负，但可以超过 1.
注意
方法归纳
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
知识点2 几何图形与一元二次方程
例3 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1 cm）？
27cm
21cm
分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右
边衬的宽度之比 : .
9
9
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
9
7
7
7
27cm
21cm
解1：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽为
故左右边衬的宽为
方程的哪个根合乎实际意义
为什么
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
27cm
21cm
解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
27cm
21cm
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法点拨
例4 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm ？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm .
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ的面积为 9 cm .
则有
例5 如图，在一块长为 92 m，宽为 60 m 的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个长方形小块．水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为 x m，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为 (92 - 2x) m，宽为 (60 - x) m. 则有
(92 - 2x)(60 - x) = 6×885.
解得 x1 = 105(舍去)，x2 = 1.
注意：结果应符合实际意义
答：水渠应挖 1 m 宽.
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
例6 一组学生组织春游，预计共需费用 120 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 3 元. 问原来这组学生的人数是多少
分析：设原来这组学生的人数是 x，则可把题中信息整理成下表：
总费用/元 人数 每人费用/元
原来
现在
解：设原来这组学生的人数是 x，由题意得
两边同乘 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x - 80 = 0.
解这个方程，得
x1 = -10，x2 = 8.
检验：x1 = -10，x2 = 8 都是原方程的根，
但 x = -10 不符合题意，所以取 x = 8.
答：原来这组学生是 8 人.
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
方法点拨
随堂演练
1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( )
A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720
C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500
2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为
.
B
2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8
3. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
4. 青山村种的水稻前年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x.
根据题意，得 7200(1+x)2 = 8712.
解得 x1 = 0.1 = 10%，x2= -1.1(不符合题意，舍去).
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.
5. 如图，在宽 20 米，长 32 米的长方形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为 x 米，由平移得到下图，则依题意可列方程为
(20 - x)(32 - x) = 540.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
答：道路的宽为 2 米.
整理得 x2 - 52x + 100 = 0，
课堂小结
一元二次方程的应用
增长率
a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量
降低率
a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量. 注意 1 与 x 位置不可调换
平均变化率问题
几何图形
其他类型问题
常见几何图形面积是等量关系