18.1 第1课时 勾股定理 课件(共31张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共31张PPT)
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.了解勾股定理的文化历史背景，会用面积法验证勾股定理.
2.掌握勾股定理的内容，能用勾股定理解决一些简单问题.
1.掌握勾股定理的内容.
2.会用勾股定理进行简单的计算.
勾股定理的验证.
情境导入
思考 你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？
　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如
图就是大会会徽的图案．
问题1 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？
　　毕达哥拉斯(约前580—约前500年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.有一次他在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了A，B，C三个正方形面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
A
B
C
知识讲解
知识点1 勾股定理的发现
问题1 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？
发现
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
每块砖都是等腰直角三角形哦
SA+SB=SC
由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？
A
B
C
发现
等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
问题2 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形是否也有类似的面积关系？
A
B
C
A
C
B
正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C
的面积
R
Q
P
9
16
？
如何求SC 的大小？有几种方案？
小方格的边长为1.
图1
A
Q
C
C
用“割”的方法
B
SC
图1
A
B
C
C
用“补”的方法
SC
图1
A
B
C
图2
每个小方格代表1个单位面积
（1）在图中，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是____个单位面积.
正方形C的面积是_____个单位面积.
9
9
9
？
A
B
C
用“割”的方法：
把正方形C分割成4个直角边为整数的三角形
=18
图2
A
B
C
=18
用“补”的方法：
把正方形C看成边长为6的正方形面积的一半
图2
A
B
C
图2
每个小方格代表1个单位面积
（1）在图中，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是____个单位面积.
正方形C的面积是_____个单位面积.
9
9
9
18
正方形 A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
图1
图2
9
16
25
9
9
18
（1）填写下表：
（2）结论:SA+SB=SC
（3）归纳：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
A
B
C
图1
A
B
C
图2
问题3 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？
命题1 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为a2+b2=c2.
a
b
c
如何验证呢？
知识点2 勾股定理的证明
如图我国古代证明该命题的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实.
四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.　　
赵爽弦图
a
b
b
c
a
b
c
证法1 赵爽利用弦图证明
a
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.
证法2 毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
例题讲解
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
归纳 公式变形：
方程思想.
例2 求下列图中字母所表示的正方形的面积.
225
400
A
225
81
B
A=225+400=625
B=225-81=144
练习　求下列直角三角形中未知边的长度．　　
A
B
C
4
6
x
C
B
A
5
10
x
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票.
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.
· 趣味拓展 ·
把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树．
勾股定理的演示
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
随堂演练
3.在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)已知c=25，b=15，求a；
(2)已知a= ，∠A=60°，求b，c.
C
A
B
4.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
所以152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.所以BD＝9.
在Rt△ABD中，
AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以AD＝12.
所以S△ABC＝ BC·AD＝ ×14×12＝84.
课堂小结
内容
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为a2+b2=c2
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
勾股定理