18.2 勾股定理的逆定理 课件 (共22张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共22张PPT)
第18章 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
勾股定理逆定理的应用.
勾股定理逆定理的证明.
回顾旧知
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)：
直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为
a2+b2=c2
A
B
C
b
a
c
已知其中任意两边
勾股定理的主要作用是 ：
① 直角三角形中，
可以求出第三边.
如果知道一边的长度，
和另外两边的关系时，
② 在直角三角形中，
可以运用勾股定理列方程来求另外两边.
情境引入
同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
知识讲解
知识点1 勾股定理的逆定理
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体.
问题4 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题
那么这个三角形是直角三角形.
两边的平方和
如果三角形
等于第三边的平方，
已知：
求证：
C'A'=b
C
B
A
A'
B'
C'
b
a
c
b
a
且 a2+b2=c2
在△ABC中，
AB=c，
BC=a，
CA=b，
△ABC是直角三角形
证明命题
证明：
作△A'B'C'，
使 ∠C'=90°，
B'C'=a，
则有
A'B'2 =
a2+b2
∵ a2+b2=c2
∴ A'B'2 =c2
∵ 边长取正值
∴ A'B'=c
在△ABC和△A'B'C'中
BC=B'C'=a
CA=C'A'=b
AB=A'B'=c
∵
∴ △ABC ≌ △A'B'C'
∴ ∠ C= ∠ C'
∴ ∠C= 90°
（直角三角形的定义）
（SSS）
(全等三角形对应角相等）
∴ △ABC是直角三角形
c
那么这个三角形是直角三角形.
那么这个三角形是直角三角形.
两边的平方和
归纳总结
勾股定理的逆定理
如果三角形
等于第三边的平方，
a2 + b2 = c2，
即
如果三角形的三边长a、b、c 满足
C
B
A
b
c
a
几何语言：
∴ △ABC 是直角三角形，
∵ 在△ABC中， a2+b2=c2
且 ∠C=90°
(勾股定理的逆定理)
勾股定理逆定理的作用：
判定一个三角形是不是直角三角形．　
例1　判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15.
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：(1)
∵　152+82 =225+64=289，
　 172 =289，
∴　152+82 =172.
∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形．
　　能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．
解：(2)
∵132+142 =169+196=365，
　152 =225，
∴132+142 ≠152.
∴这个三角形不是直角三角形．
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ .
是
是
不是
∠A=90°
∠C=90°
(2) a=1 b=1 c= ____ _____ ;
试一试
知识点2 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
1
2
N
E
P
Q
R
分析：
1.求“海天”号的航向就是求 的角度.
∠2
2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的
角度即可.
3.根据已知条件可求出三边，利用勾
股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角.
1
2
N
E
P
Q
R
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24,
PR=12×1.5=18,
QR=30.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
归纳：解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.
练一练
A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，
AC2 =132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
即△ABC是直角三角形，
∠B=90°.
答：C在B地的正北方向．
随堂演练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
3.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
4.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足
，试判断△ABC的形状.
当a=b时，△ABC为等腰三角形;
当a≠b时，△ABC为直角三角形.
5.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.
你能求出这个零件的面积吗？
解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，
在△BCD中，
BD2+BC2=52+122=132=CD2.
∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
应用
航海问题
与勾股定理结合，解决不规则图形等问题