19.3.1 第1课时矩形的性质 课件 (共20张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共20张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学习目标
1.理解矩形的概念，了解其与平行四边形之间的关系.
2.探索并证明矩形的性质定理.
3.应用矩形的性质定理解决相关问题.
学习重难点
难点
重点
探索并证明矩形的性质定理.
应用矩形的性质定理解决相关问题.
新课导入
问题1 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
问题2 你还能举出一些生活中的例子吗？
观察下图，把平行四边形的一个内角变为90°，这时的
平行四边形是什么图形？
∟
思考：
知识点1 矩形的定义
知识讲解
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
归纳
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
(1）矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗
矩形具有一般平行四边形的所有性质.
(2）矩形是轴对称图形吗 如果是,它有几条对称轴
矩形是轴对称图形，它有2条对称轴.
(3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质 与同伴交流.
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等，等等.
想一想：
知识点2 矩形的性质
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，
AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：
（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
（2）AC=DB.
A
B
C
D
O
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB，
∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：
（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
（2）AC=DB.
A
B
C
D
O
性质1 矩形的四个角都是直角.
性质2 矩形的对角线相等.
归纳
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD(矩形的对角线相等)，
BE= DE= BD，AE=CE= AC (矩形对角线相互平分)，
∴BE= AC.
C
D
E
A
B
知识点3 直角三角形斜边上的中线
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
归纳
A
B
C
O
∵ 在Rt△ABC中，
几何语言描述：
= AC
2
1
∴ OB
(或 OB=OA=OC， )
点O是斜边AC的中点
或 AC=2OB
例题解读
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
AC = BD(矩形的对角线相等)，
OA= OC= AC，OB = OD = BD(矩形对角线互相平分).
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
∴OA = OD.
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
你还有其他解法吗？
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
另解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等)，OA= OC=
AC，OB =OD = BD(矩形对角线互相平分).∴OA = OB.
又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=2.5. ∴AC=BD=2OA=5.
例2 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：如图，连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC 的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE.
随堂演练
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( )
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条
对角线相交所成的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
A
C
C
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______．
6
第 4 题图
第 5 题图
6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
（1）求证：BD = BE；
（2）若∠DBC = 30°， BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
A
B
C
D
O
E
(1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，AB∥CD.
又∵ BE∥AC，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形.
∴ AC = BE.
∴ BD = BE.
(2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4，
∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵∠DBC = 30°，
∴ CD = BD = ×8 = 4.
∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.
在 Rt△BCD 中，
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4 + 8)× = .
A
B
C
D
O
E
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形