19.3.2 第1课时 菱形的性质 课件(共21张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共21张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
学习目标
1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
2.经历菱形性质定理的探索过程.
3.能够用综合法证明菱形的性质.
学习重难点
难点
重点
经历菱形性质的探索过程，掌握菱形的性质.
能够用综合法证明菱形的性质.
新课导入
下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。
平行四边形
菱形
想一想：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
菱形具有一般平行四边形的所有性质.
平行四边形不一定是菱形.
知识讲解
知识点1 菱形的定义
归纳
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
做一做：
知识点2 菱形的性质
通过上面的折纸活动，我们可以发现：
（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴.
（2）菱形四条边都相等.
（3）菱形的对角线互相垂直.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：
性质1 菱形的四条边都相等.
性质2 菱形的对角线互相垂直.
归纳
证明菱形的性质：
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD，
∴ AB = BC = CD =AD.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
例题解读
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长．
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)．
例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.
∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.
∴ AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
知识点3 菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE.
E
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例3 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30.
∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
而菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴ 13h＝120，解得 h＝ .
A
B
C
D
O
随堂演练
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
C
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于（ ）
A. 18 B. 16
C. 15 D. 14
B
3. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm， 那么它的边长是 ______.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_____°.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，
则菱形的边长是______.
3 cm
30
A
B
C
O
D
5 cm
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角
线长为 11 cm，菱形的周长为_______.
44 cm
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2，
那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8 cm
4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中
对角线 BD 长 10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
(2) 菱形 ABCD 的面积为
∴ AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE．
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ CB = CD，CA 平分∠BCD．
∴∠BCE =∠DCE．
又 CE = CE，
∴△BCE≌△DCE (SAS)．
∴∠CBE =∠CDE．
∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD =∠EDC．
∴∠AFD =∠CBE．
A
D
C
B
F
E
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角