19.2 第4课时三角形的中位线 课件 (共21张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共21张PPT)
19.2 平行四边形
第4课时 三角形的中位线
第19章 四边形
学习目标
学习重难点
难点
重点
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理.
2.会运用三角形中位线定理进行推理证明和计算.
三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线解决问题.
证明三角形中位线定理添加辅助线的方法.
导入新知
问题1 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过减拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
A
B
C
A
C
B
E
D
G
图1
F
G
图2
如图1，小明说在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就等得到了四个全等的三角形，并将△ABD绕点E按顺时针方向旋转180°，到△ADE的位置（如图2），这样就得到了一个与△ABC面积相等的 DBCF.
追问 你认同小明的作法吗？你有办法验证吗？
验证4个三角形全等
验证四边形BDCF是平行四边形
探究一 三角形中位线的定义
问题2 由问题1我们不难看出，连接三角形两边中点的线段是一类特殊的重要线段，既然这样的线段有一定的特殊性，那么你能否给它起个既反映其特征又生动形象的名字呢？
A
B
C
中半边线
既突出了位置关系又反映了数量关系
中拼线
着眼于平分与拼图
二中线
突出了线段的形成
中位线
既有位置的体现，又有数量的体现
定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
D
E
追问1 三角形有几条中位线？
三条
追问2 如何理解三角形的中位线？
A
B
C
D
E
F
∵点D，E分别是AB,AC的中点，∴DE是三角形ABC的中位线.
∵DE是三角形ABC的中位线，∴点D，E分别是AB,AC的中点.
追问3 三角形的中位线与中线有什么区别？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
联系
都是线段，都是与边的中点有关.
区别
中位线是两条边中点的连线，而中线 是一个顶点和对边中点的连线.
探究二 三角形中位线的性质
问题3 三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在下图中你能发现什么结论呢？
探究活动:
测量数据
活动要求:
1.任意画一个三角形，画出三角形的一条中位线.
2.利用手中的量角器、直尺等量一量，完成测量数据记录表.
3.你能发现中位线与第三边的位置关系和数量关系吗？
4.小组交流讨论与展示.
中位线长度 第三边长度 猜想：第三边与中位线的数量关系 一组相关角的度数 猜想：第三边与中位线的数位置关系
A
B
C
D
E
探究活动:
测量数据
探究二 三角形中位线的性质
问题3 三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在下图中你能发现什么结论呢？
位置关系
数量关系
平行
A
B
C
D
E
猜想
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
问题4 如何证明这个猜想的命题呢？
已知：如图，DE是△ABC的中位线. 求证:DE∥BC, DE= BC.
追问1 要证明两条直线平行，可以利用什么有关的内容进行转化？
追问2 要证明线段的“倍分”关系？我们一般都有哪些方法？
三线八角
截长或补短
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
F
需证明四边形DBCF是平行四边形
探究二 三角形中位线的性质
探究二 三角形中位线的性质
追问3 如何证明四边形DBCF是平行四边形？
BD∥CF, BD=CF
D,E分别是AB，AC的中点
AD=BD
条件
A
B
C
D
E
F
AE=CE
DE=EF
∠AED=∠CEF
△AED=△CEF
AD∥CF, AD=CF
结论
四边形DBCF是平行四边形
2DE=BC
DE= BC
DE∥BC
代换
补短
转化
探究二 三角形中位线的性质
追问4 如何证明猜想的这个命题呢？
A
B
C
D
E
F
证明: 如图,延长DE到F,使DE=EF,连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE,∠AED=∠CEF, DE=FE，
∴△AED≌△CEF，
∴∠A=∠ECF, AD=CF，∴CF∥AB，
∵BD=AD，∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC,DF=BC，
又∵ DE= DF , ∴DE∥BC,DE= BC.
还有没有其他方法证明四边形DBCF是平行四边形呢？
三角形中位线定理：
三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用数学语言表示
E
A
B
C
D
∵ DE 是△ABC 的中位线，
总结归纳
∴ DE∥BC，
例1
如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离. 你能说说其中的道理吗？
解：
由题意可知，MN是△ABC的中位线，
所以AB＝2MN.
所以测出MN的长，就可知道A，B间的距离．
A
例2
如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H为各边的中点，试判断四边形EFGH的形状有什么特征？证明你的结论，并与同伴交流.
解:四边形ABCD是平行四边形.
证明如下: 如图,连接AC.
在△DAC中，H，G分别是DA，DC的中点,
∴HG∥AC, HG= AC ，
同理可证EF∥AC, EF= AC ，
∴EF∥HG, EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
中点四边形
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形
称为中点四边形.
中点四边形
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终
是平行四边形．
拓展
随堂演练
如图，要测定被池塘隔开的A，B两点之间的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB的长为(　　)
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
B
1.
如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　　)
A．10 cm
B．11 cm
C．12 cm
D．22 cm
D
2.
如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为(　　)
A．12 B．14 C．24 D．21
A
3.
4.
如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(　　)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长先增大后减小
C
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm.
5.
3
解:∵AC＋BD＝24 cm，
∴OA＋OB＝12 cm，
又∵△OAB的周长是18 cm，
∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm.
又∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
运用整体思想
三角形的中位线
定义
连接三角形两边中点的线段
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
三角形中位线定理
课堂小结