19.4 综合与实践——多边形的镶嵌 课件 (共29张PPT) 2023-2024学年数学沪科版八年级下册

(共29张PPT)
第19章 四边形
19.4 综合与实践——多边形的镶嵌
学习目标
1．通过对用正多边形进行平面镶嵌的探索、交流，理解平面镶嵌的理由.
2．能根据平面镶嵌的理由设计平面镶嵌的方案．
学习重难点
难点
重点
理解平面镶嵌的理由.
能根据平面镶嵌的理由设计平面镶嵌的方案．
复习导入
(n为不小于3的整数)
1、多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于
(n-2) 180°
这样的多边形叫做 .
正多边形
各个内角都相等，
多边形中，
如果各条边都相等，
2、正多边形的定义
3、 正n边形的每一个内角
(n-2) ·180°
n
4、 一个周角的度数为
360°
且都等于
都相等，
每个内角的度数
正四边形
正五边形
正六边形
正n边形
正三角形
正多边形
内角和
…
(n-2) ·180°
(6-2)×180°
(5-2)×180°
(4-2)×180°
180°
=360°
=540°
=720°
180°÷3
=60°
360°÷4
=90°
540°÷5
=108°
720°÷6
=120°
(n-2) ·180°
n
…
…
请你欣赏
这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么？
我们常常可以看到用各种形状的地砖(或墙砖)铺砌成的平面图案.
既无缝隙又不重叠
我们把这种覆盖平面区域就叫做平面镶嵌
覆盖平面区域，
例如:
在几何里面叫做 .
概念学习
用形状相同或不同的平面封闭图形，
使图形间
既无缝隙又不重叠地全面覆盖，
平面镶嵌
注意： 各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.
观察以下图形并思考在镶嵌时如何做到既无缝隙又不重叠
要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，
需使得拼接点处的所有角之和等于360°.
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？
探究 1
① 正三角形的平面镶嵌
60°
60°
60°
60°
60°
60°
6个正三角形可以镶嵌.
90°
4个正方形可以镶嵌.
② 正方形的平面镶嵌
1
2
3
∠1+∠2+∠3=
③ 用边长相同的正五边形能否镶嵌？
不能拼成周角
108°
108°
108°
324°
正五边形不能镶嵌
120 °
120 °
120 °
3个正六边形可以镶嵌
④ 正六边形的平面镶嵌
思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？
可以组成360°的角，
答：
因为正五边形的每个内角是108°，
不能组成360°的角，
所以正五边形不能镶嵌；
而正六边形的每个内角是120°，
所以能镶嵌.
多边形平面镶嵌的条件：
每个顶点处几个内角的和为360°
思考：仅限于同一种正多边形镶嵌，还有其它正多边形能镶嵌吗？
k ·
(n-2)×180°
n
= 360°
(n-2)(k-2)=4
k=6
n=3
k=4
n=4
k=3
n=6
设在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，则有
∵ k 为正整数， n 为大于等于 3 的正整数
∴ 解为
化简，得
一种正多边形镶嵌有三种选择：6个正三角形、4个正方形、3个正六边形
仅用同一种形状、大小完全相同的一般多边形能进行平面镶嵌吗？
探究 2
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
① 同一种任意三角形的镶嵌
1、任意形状、大小相同的三角形都 镶嵌,
2、在每个拼接点处有 个角，而这 个角的和恰好是这个三角形的内角和的 倍，也就是它们的和为 .
可以
六
六
两
360o
结论：
形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形.
1、任意形状大小相同的四边形 镶嵌.
2、在每个拼接点处有 个角，而这 个角的和恰好是这个四边形的四个内角之 ,也就是它们的和为 .
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
② 同一种任意四角形的镶嵌
可以
四
四
和
360
结论：
形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形.
即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，
都可以平面镶嵌，
四边形内角和是360°，
那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？
上面我们讨论的
一般三角形和四边形
因为三角形的内角和是180°，
它们的内角和的整数倍都是360°，
当边数越大时，
例如：
五边形中，
内角和540°，
已经超过360°，
不符合平面镶嵌的含义.
因此边数大于4的一般多边形不可以平面镶嵌。
内角和也越大，
更不符合要求，
用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域
探究 3
① 正三角形与正方形
3个正三角形+2个正方形
② 正三角形与正六边形
2个正三角形+2个正六边形
② 正三角形与正六边形
4个正三角形+1个正六边形
③ 正方形与正八边形
1个正方形+2个正八边形
④ 正五边形与正十边形
2个正五边形+1个正十边形
⑤ 正三角形与正十二边形
1个正三角形+2个正十二边形
多边形能进行平面镶嵌的条件：
① 形状、大小完全相同的一种或几种平面图形; 拼接在同一点的各个角的度数和是360.
.
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全面覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌
② 可以用同一种正多边形密铺的图形只有正三角形, 正四边形, 正六边形.
用一种形状、大小完全相同的任意三角形,任意四边形也能进行平面镶嵌.
归纳总结
③ 用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合：
正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形、正五边形和正十边形、正三角形正十二边形等.
随堂演练
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是 （ ）
A.三角形 B.正方形 C.任意四边形 D.正八边形
2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时, 在它的一个顶点周围的正方形的个数是 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌, 而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形, 则该正多边形的边数为 （ ） 　
A.3 B.4 C.5 D.6
D
B
A
4.下列图形中, 单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是 （ 　）
A.正三角形　　　 　B.正六边形
C.正方形 D.正五边形
D
5.小芳家房屋装修时, 她选中了一种漂亮的正八边形地砖. 建材店老板告诉她, 只用一种八边形地砖是不能密铺地面的, 便向她推荐了几种形状的地砖(如图). 你认为要使地面密铺, 小芳应选择另一种形状的地砖是 （　 ）
B
课堂小结
同时用两种正多边形镶嵌
多边形的镶嵌
只用一种正多边形镶嵌
用一种非正多边形镶嵌