人教版八年级数学12.2《全等三角形的判定》同步训练习题
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学12.2《全等三角形的判定》同步训练习题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 485.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-11-18 09:04:46 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册
12.2《全等三角形的判定》同步训练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2015?莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
2．（2015春?南京校级期末）下列说法中：
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．
正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
3．（2015?宁波）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
4．（2015?泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2015?滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2015?沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
7．（2015?启东市模拟）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（2015?漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
9．（2015春?陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
10．（2014?厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
二．填空题（共10小题）
11．（2015?南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 对全等三角形．21cnjy.com
12．（2015?齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
13．（2015?永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．
14．（2015?怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是 ．
15．（2015?盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．
16．（2015?姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= ．
17．（2015春?锡山区）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2= °．
18．（2015春?揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是 ．【版权所有：21教育】
19．（2015春?瑶海区期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是 ．
20．（2015春?苏州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为 时，△PEC与△QFC全等．
三．解答题（共10小题）
21．（2015?云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．
22．（2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
23．（2015?泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
24．（2015?南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
25．（2015?温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．21*cnjy*com
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
26．（2015?金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．
等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，
已知：AB∥CD，BE=DF， ．
求证：△ABE≌△CDF．
证明：
27．（2015?大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．
28．（2015?西安模拟）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．
29．（2015?铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
30．（2015春?鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．21教育名师原创作品
（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？
（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由．
人教版八年级数学上册
12.2《全等三角形的判定》同步训练习题参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2015?莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2015春?南京校级期末）下列说法中：
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．
正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【分析】熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；
两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；
判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确．
故选C．
【点评】AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2015?宁波）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．21世纪教育网
【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．
【解答】解：A、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
4．（2015?泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．
5．（2015?滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半以及垂线段最短的性质求出AC边的最短值，然后选择即可得解．
【解答】解：如图，AC⊥BC时，
∵∠ABC=30°，AB=4，
∴AC=AB=×4=2，
∵垂线段最短，
∴AC≥2，
∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，
当AC=2时可以作1个三角形，当AC=3时可以作2个三角形，当AC=4时可以作1个三角形，当AC=5时可以作1个三角形，共1+2+1+1=5，
所以，三角形的个数是5个．
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，求出AC边的最小值是解题的关键．
6．（2015?沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．21世纪教育网
【分析】由作图可得CO=DO，CE=DE，OE=OE，可利用SSS定理判定三角形全等．
【解答】解：在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（2015?启东市模拟）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
8．（2015?漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【考点】全等三角形的应用．21世纪教育网
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．（2015春?陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【分析】根据垂直定义求出∠AEC=∠BFD=90°，根据平行线的性质得出∠A=∠B，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．
【解答】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC=∠BFD=90°．
∵AC∥DB，
∴∠A=∠B．
在△AEC和△BFD中
，
∴Rt△AEC≌Rt△BFC（AAS），
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，垂直定义的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，直角三角形全等的判定定理除了具有以上定理外，还有HL定理．
10．（2014?厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=∠AFB，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
二．填空题（共10小题）
11．（2015?南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 3 对全等三角形．
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和Rt△AOP≌Rt△BOP．
【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．（2015?齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 BC=EF或∠BAC=∠EDF ．（只填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】开放型．
【分析】BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．
【解答】解：若添加BC=EF，
∵BC∥EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=AE，
∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
若添加∠BAC=∠EDF，
∵BC∥EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=AE，
∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
13．（2015?永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．21教育网
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．
14．（2015?怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是 90° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．
15．（2015?盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 60 度．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．21世纪教育网
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故答案为：60．
【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
16．（2015?姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= 或 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．21世纪教育网
【专题】分类讨论．
【分析】分两种情况：
①由正方形的性质得出∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=4，由勾股定理求出AE，由HL证明Rt△ADE≌Rt△DCF，得出∠AED=∠DFC，证出∠DGE=90°，由△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，即可求出DG的长；
②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，得出CF=DE，DF=AE，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；证出△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，得出比例式，，设GM=4x，则FM=3x，GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，解方程求出x，得出GF，即可得出DG的长．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=3+1=4，AD∥BC，
∴AE===5，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠DFC+∠CDF=90°，
∴∠AED+∠CDF=90°，
∴∠DGE=90°，
∵△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，
∴DG==；
②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，
∴CF=DE=3，DF=AE=5，
作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；
则GM∥DC，GN∥AD，
∴△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，
∴=，=，
设GM=4x，则FM=3x，
∴GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，
∴，
解得：x=，
∴GF=，
∴DG=DF+GF=5+=；
综上所述：DG的长为或；
故答案为：或．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论，特别是②中，需要证明三角形相似才能得出结果．2·1·c·n·j·y
17．（2015春?锡山区期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2= 50 °．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠1=∠CAD，即可解题．
【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在RT△ABC和RT△ADC中，
，
∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），
∴∠1=∠CAD，
∴∠2=90°﹣∠CAD=50°．
故答案为 50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ABC≌RT△ADC是解题的关键．
18．（2015春?揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是 105° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．21世纪教育网
【分析】根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据CE=CA，∠CAD=15°，求出∠ACE=150°即可利用角的和差求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CAD=15°，CE=CA，
∴∠CED=∠CAD=15°，
∴∠ECA=150°，
∴∠DCE=∠ECA﹣∠ACD=150°﹣45°=105°．
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．
19．（2015春?瑶海区期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是 ①②④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．21世纪教育网
【分析】由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，可判断①②；当∠GCE=45°时可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立，可判断③④．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴CE⊥CF，
故①②正确；
当∠GCE=45°时，则∠BCE+∠DCG=45°，
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF=∠DCG+∠DCF=45°=∠GCE，
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，
故③不一定正确，④正确；
综上可知正确的为：①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即对SSS、SAS、ASA、AAS和HL的灵活运用．
20．（2015春?苏州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为 1或 时，△PEC与△QFC全等．21·cn·jy·com
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】动点型．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由三角形全等可知PC=QC，从而得到关于t的方程，然后解得t的值即可．2-1-c-n-j-y
【解答】解：如图1所示；
∵△PEC与△QFC全等，
∴PC=QC．
∴6﹣t=8﹣3t．
解得：t=1．
如图2所示：
∵点P与点Q重合，
∴△PEC与△QFC全等，
∴6﹣t=3t﹣8．
解得：t=．
故答案为：1或．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意画出图形是解题的关键．漏解是本题的易错点．
三．解答题（共10小题）
21．（2015?云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】开放型．
【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．
【解答】解：添加∠BAC=∠DAC．理由如下：
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠3+∠4=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠2+∠D=90°，
∵∠BAE=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
23．（2015?泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（2015?南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．
25．（2015?温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
26．（2015?金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．
等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，
已知：AB∥CD，BE=DF， AB=CD ．
求证：△ABE≌△CDF．
证明：
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用全等三角形的判定加以证明．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF．
【点评】本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．
27．（2015?大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．www.21-cn-jy.com
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】从题目的已知条件DE∥AB，FG∥AC，我们可以得到∠B=∠DEC，∠FGB=∠C；BE=GC?BG=EC；根据推出的结论可以得出△FBG≌△DEC，即可得出结论．21·世纪*教育网
【解答】证明：∵DE∥AB
∴∠B=∠DEC（1分）
又∵FG∥AC
∴∠FGB=∠C
∵BE=GC（2分）
∴BE+EG=GC+EG
即BG=EC（3分）
在△FBG和△DEC中
∴△FBG≌△DEC（4分）
∴DE=FB（5分）
【点评】主要考查全等三角形的判定定理，全等三角形的性质，平行线的性质，如果熟练掌握有关性质和定理，本题很容易得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
28．（2015?西安模拟）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．21世纪教育网
【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB=BC=AC，∠BAC=∠C=60°，就可以得出△ADC≌△BEA；
（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC=∠EBA，AD=BE．既可以得出∠BPQ=60°，就可以求出PB的值，进而求出BE的值而得出结论
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAE=60°，﹣
在△ADC与△BEA中，
，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠DAC=∠EBA，AD=BE．
∵∠BPQ=∠BAP+∠ABP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠DAC=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ．
∵PQ=4，
∴BP=8．
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=9，
∴AD=BE=9．
答：AD=9．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
29．（2015?铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题；压轴题．
【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ． 21*cnjy*com
【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中，
∴△ABQ≌△ACF（SAS），
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．【出处：21教育名师】
30．（2015春?鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？
（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】（1）BD=DE+CE成立，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
（2）BD=DE﹣CE，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE﹣CE．
【解答】解：（1）BD=DE+CE成立，
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD=DE﹣CE；
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
【点评】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
12.2《全等三角形的判定》同步训练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2015?莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
2．（2015春?南京校级期末）下列说法中：
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．
正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
3．（2015?宁波）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
4．（2015?泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2015?滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2015?沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
7．（2015?启东市模拟）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（2015?漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
9．（2015春?陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
10．（2014?厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
二．填空题（共10小题）
11．（2015?南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 对全等三角形．21cnjy.com
12．（2015?齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
13．（2015?永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．
14．（2015?怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是 ．
15．（2015?盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．
16．（2015?姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= ．
17．（2015春?锡山区）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2= °．
18．（2015春?揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是 ．【版权所有：21教育】
19．（2015春?瑶海区期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是 ．
20．（2015春?苏州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为 时，△PEC与△QFC全等．
三．解答题（共10小题）
21．（2015?云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．
22．（2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
23．（2015?泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
24．（2015?南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
25．（2015?温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．21*cnjy*com
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
26．（2015?金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．
等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，
已知：AB∥CD，BE=DF， ．
求证：△ABE≌△CDF．
证明：
27．（2015?大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．
28．（2015?西安模拟）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．
29．（2015?铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
30．（2015春?鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．21教育名师原创作品
（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？
（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由．
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12.2《全等三角形的判定》同步训练习题参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2015?莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2015春?南京校级期末）下列说法中：
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．
正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
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【分析】熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；
两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；
判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确．
故选C．
【点评】AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2015?宁波）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．21世纪教育网
【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．
【解答】解：A、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
4．（2015?泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．
5．（2015?滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半以及垂线段最短的性质求出AC边的最短值，然后选择即可得解．
【解答】解：如图，AC⊥BC时，
∵∠ABC=30°，AB=4，
∴AC=AB=×4=2，
∵垂线段最短，
∴AC≥2，
∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，
当AC=2时可以作1个三角形，当AC=3时可以作2个三角形，当AC=4时可以作1个三角形，当AC=5时可以作1个三角形，共1+2+1+1=5，
所以，三角形的个数是5个．
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，求出AC边的最小值是解题的关键．
6．（2015?沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．21世纪教育网
【分析】由作图可得CO=DO，CE=DE，OE=OE，可利用SSS定理判定三角形全等．
【解答】解：在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（2015?启东市模拟）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
8．（2015?漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【考点】全等三角形的应用．21世纪教育网
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．（2015春?陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【分析】根据垂直定义求出∠AEC=∠BFD=90°，根据平行线的性质得出∠A=∠B，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．
【解答】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC=∠BFD=90°．
∵AC∥DB，
∴∠A=∠B．
在△AEC和△BFD中
，
∴Rt△AEC≌Rt△BFC（AAS），
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，垂直定义的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，直角三角形全等的判定定理除了具有以上定理外，还有HL定理．
10．（2014?厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=∠AFB，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
二．填空题（共10小题）
11．（2015?南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 3 对全等三角形．
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．21世纪教育网
【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和Rt△AOP≌Rt△BOP．
【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．（2015?齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 BC=EF或∠BAC=∠EDF ．（只填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】开放型．
【分析】BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．
【解答】解：若添加BC=EF，
∵BC∥EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=AE，
∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
若添加∠BAC=∠EDF，
∵BC∥EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=AE，
∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
13．（2015?永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．21教育网
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．
14．（2015?怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是 90° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．
15．（2015?盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 60 度．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．21世纪教育网
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故答案为：60．
【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
16．（2015?姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= 或 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．21世纪教育网
【专题】分类讨论．
【分析】分两种情况：
①由正方形的性质得出∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=4，由勾股定理求出AE，由HL证明Rt△ADE≌Rt△DCF，得出∠AED=∠DFC，证出∠DGE=90°，由△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，即可求出DG的长；
②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，得出CF=DE，DF=AE，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；证出△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，得出比例式，，设GM=4x，则FM=3x，GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，解方程求出x，得出GF，即可得出DG的长．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=3+1=4，AD∥BC，
∴AE===5，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠DFC+∠CDF=90°，
∴∠AED+∠CDF=90°，
∴∠DGE=90°，
∵△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，
∴DG==；
②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，
∴CF=DE=3，DF=AE=5，
作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；
则GM∥DC，GN∥AD，
∴△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，
∴=，=，
设GM=4x，则FM=3x，
∴GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，
∴，
解得：x=，
∴GF=，
∴DG=DF+GF=5+=；
综上所述：DG的长为或；
故答案为：或．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论，特别是②中，需要证明三角形相似才能得出结果．2·1·c·n·j·y
17．（2015春?锡山区期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2= 50 °．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠1=∠CAD，即可解题．
【解答】解：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在RT△ABC和RT△ADC中，
，
∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），
∴∠1=∠CAD，
∴∠2=90°﹣∠CAD=50°．
故答案为 50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ABC≌RT△ADC是解题的关键．
18．（2015春?揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是 105° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．21世纪教育网
【分析】根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据CE=CA，∠CAD=15°，求出∠ACE=150°即可利用角的和差求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CAD=15°，CE=CA，
∴∠CED=∠CAD=15°，
∴∠ECA=150°，
∴∠DCE=∠ECA﹣∠ACD=150°﹣45°=105°．
故答案为：105°．
【点评】此题主要考查等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．
19．（2015春?瑶海区期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是 ①②④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．21世纪教育网
【分析】由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，可判断①②；当∠GCE=45°时可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立，可判断③④．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴CE⊥CF，
故①②正确；
当∠GCE=45°时，则∠BCE+∠DCG=45°，
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF=∠DCG+∠DCF=45°=∠GCE，
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，
故③不一定正确，④正确；
综上可知正确的为：①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即对SSS、SAS、ASA、AAS和HL的灵活运用．
20．（2015春?苏州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为 1或 时，△PEC与△QFC全等．21·cn·jy·com
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】动点型．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由三角形全等可知PC=QC，从而得到关于t的方程，然后解得t的值即可．2-1-c-n-j-y
【解答】解：如图1所示；
∵△PEC与△QFC全等，
∴PC=QC．
∴6﹣t=8﹣3t．
解得：t=1．
如图2所示：
∵点P与点Q重合，
∴△PEC与△QFC全等，
∴6﹣t=3t﹣8．
解得：t=．
故答案为：1或．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意画出图形是解题的关键．漏解是本题的易错点．
三．解答题（共10小题）
21．（2015?云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】开放型．
【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．
【解答】解：添加∠BAC=∠DAC．理由如下：
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠3+∠4=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠2+∠D=90°，
∵∠BAE=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
23．（2015?泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（2015?南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．
25．（2015?温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
26．（2015?金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．
等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，
已知：AB∥CD，BE=DF， AB=CD ．
求证：△ABE≌△CDF．
证明：
【考点】全等三角形的判定．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用全等三角形的判定加以证明．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF．
【点评】本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．
27．（2015?大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．www.21-cn-jy.com
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】从题目的已知条件DE∥AB，FG∥AC，我们可以得到∠B=∠DEC，∠FGB=∠C；BE=GC?BG=EC；根据推出的结论可以得出△FBG≌△DEC，即可得出结论．21·世纪*教育网
【解答】证明：∵DE∥AB
∴∠B=∠DEC（1分）
又∵FG∥AC
∴∠FGB=∠C
∵BE=GC（2分）
∴BE+EG=GC+EG
即BG=EC（3分）
在△FBG和△DEC中
∴△FBG≌△DEC（4分）
∴DE=FB（5分）
【点评】主要考查全等三角形的判定定理，全等三角形的性质，平行线的性质，如果熟练掌握有关性质和定理，本题很容易得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
28．（2015?西安模拟）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．21世纪教育网
【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB=BC=AC，∠BAC=∠C=60°，就可以得出△ADC≌△BEA；
（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC=∠EBA，AD=BE．既可以得出∠BPQ=60°，就可以求出PB的值，进而求出BE的值而得出结论
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAE=60°，﹣
在△ADC与△BEA中，
，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠DAC=∠EBA，AD=BE．
∵∠BPQ=∠BAP+∠ABP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠DAC=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ．
∵PQ=4，
∴BP=8．
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=9，
∴AD=BE=9．
答：AD=9．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
29．（2015?铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【专题】证明题；压轴题．
【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ． 21*cnjy*com
【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中，
∴△ABQ≌△ACF（SAS），
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．【出处：21教育名师】
30．（2015春?鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？
（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】（1）BD=DE+CE成立，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
（2）BD=DE﹣CE，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE﹣CE．
【解答】解：（1）BD=DE+CE成立，
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD=DE﹣CE；
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
【点评】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．