第19章 一次函数（单元测试·培优卷）（含解析）

第19章 一次函数（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．函数的定义域是，该函数关于轴对称，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2．小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．同时满足直线和直线的图象是( )
A． B． C． D．
5．过点的直线不经过第三象限，若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个变量x与y之间的关系式为，下列描述不正确的是（ ）
A．x是自变量，y是因变量 B．y的值随x的增大而增大
C．当时， D．x的值每增加1，y的值增加2
8．已知直线（其中a，b是常数，），点，，，都在这条直线上，则下列一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，一次函数与正比例函数交于，与x轴相交于点B，则的周长为（ ）

A．5 B． C． D．
10．一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：
①它们的交点在直线上；
②；
③不等式的解集为；
④它们与x轴围成的三角形的面积为．
其中，正确的序号是 ．
A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．直线经过两点、， 该直线与x 轴所夹的锐角为α， 则α值为 ．
12．已知直线，将直线向上平移5个单位后经过点，将直线向下平移5个单位后经过点，那么直线向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点．
13．如果点是一次函数与图像的交点，那么 ， ．
14．A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间x(分钟)之间的函数关系如图，则BC两地的距离为 米．
15．如图，在一次函数的图像上存在点，使得点关于直线的对称点在的边上，其中，，，则的取值范围是 ．（注：直线是指过且垂直于轴的直线）
16．一次函数（为常数且）
（1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为 ；
（2）如图：已知长方形中，，，，若一次函数与长方形的边有公共点，则的取值范围为 ．
17．如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，AB=CD=2，AD=BC=4，过定点P（0，3）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+3，
（1）若PQ经过点D，则k=
（2）若PQ与矩形ABCD的边由公共点，且函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为
18．已知：如图所示，直线交轴于点，交轴于点．若点从点出发，沿射线作匀速运动，点从点出发，沿射线作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当为直角三角形时，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知函数y=x，请按要求解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中画出图象；
(2)点（m－1，m）在函数y=x的图象上，求m的值．
20．（8分）如图，在直角坐标系中，为原点，在轴的正半轴上，，把绕着点逆时针旋转后，点与点A重合．
(1)求点的坐标；
(2)作的平分线交轴于点，求直线的解析式；
(3)在直线上是否存在一个点，使得的面积等于面积的5倍？如果存在，请求出点的坐标．
21．（10分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)直接写出点的坐标：：__________；：__________．
(2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，可求出点的坐标为__________，从而求得直线的表达式为__________．
22．（10分）健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元．
(1)该商场共有几种进货方案？
(2)该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？
23．（10分）观察图象，回答下列问题：
(1)观察图象特征，可直接写出不等式的解集为______；
(2)像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论 B．整体思想 C．数形结合 D．极限思想
(3)当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定，求出该解；如果不一定，请说明理由．
24．（12分）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结．
(1)求出两点的坐标；
(2)求证：；
(3)在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据函数的性质确定出函数为偶函数，在上是增函数，在上是减函数，分别在和两种情况下利用增减性直接求解即可．
【详解】解：函数的定义域是，该函数关于轴对称，
函数为偶函数，
函数在上是增函数，
在上是减函数，
当时，
，
，
当时，
函数在义域上为偶函数，在上是增函数，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查了利用函数的增减性，熟练掌握函数性质，灵活运用函数增减性，奇偶性是解答本题的关键．
2．B
【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义；
根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题．
【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误；
小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设，
点在直线上，
，
，
，
，
，
，
点在上，
，
，
故选：D．
4．D
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，以及“直线是指是经过且与x轴平行的直线”使用排除法即可．
【详解】解：直线是经过且与x轴平行的直线，
故排除A、B；
∵直线中，，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，故排除A、B、C．
故选：D．
【点拨】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，掌握利用k、b的符号确定一次函数所经过的象限是解题的关键．
5．D
【分析】先将点代入直线的解析式可得，从而可得，再根据“直线不经过第三象限”可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组可得的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，将点代入直线得：，
解得，
则，
直线不经过第三象限，
，即，
解得，
，
即，
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
6．D
【分析】根据平行直线的解析式的值相等设直线的解析式为，把点的坐标代入求出的值，然后利用平移的规律求得即可．
【详解】由题意设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴ ，解得，
∴，
将直线向右平移个单位后得到， 即，
故选：．
【点拨】此题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等是解题的关键．
7．C
【分析】根据据自变量和因变量的定义、函数增减性、函数值与自变量的关系、k的意义，进行解答即可．
【详解】A.在中：x自变量，y是因变量，说法正确，不符合题意；
B.在中，，故y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
C.当时，，故，说法错误，符合题意；
D.在中，，故x每增加1，y的值增加2，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了函数的相关定义和函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键．
8．A
【分析】由可知，或，，然后分情况讨论，根据点A，B的坐标得出，时符合题意，再根据一次函数的增减性得出答案．
【详解】解：∵，
∴，或，，
①当，时，y随x增大而减小，
∵点，在这条直线上，且，，
∴y随x增大而增大，与题意矛盾，此情况舍去；
②当，时，y随x减小而减小，
∵点，在这条直线上，且，，
∴符合题意，
∴，，
∴，
又∵点，在这条直线上，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小是解题的关键．
9．D
【分析】把点分别代入一次函数与正比例函数，分别求得，再求出点，分别求出，从而可求出的周长．
【详解】解：把点分别代入一次函数与正比例函数，得：
∴
∴
∴
∴
∴一次函数解析式为，
令则，解得，
∴,
∴的周长为
故选：D
【点拨】本题考查了一次函数与正比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出B点的坐标是解此题的关键．
10．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据两个函数的交点即可判断①；根据当，图象在第一象限，来判定②；找出一次函数的图象位于一次函数的图象的上方时，x的取值范围即可判断③；分别把，代入函数得出三角形的底和高，利用面积计算公式即可判断④．
【详解】一次函数和交于一点，
，
解得：，
①正确；
一次函数和交点在第一象限，且交点横坐标为1，
把代入得：故②正确；
函数图象它们的交点在直线上，
有函数图象可知的解集为，故③正确；
把代入得：，
当代入得：，
当代入得：，
与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误；
综上所述：正确的有①②③；
故选：C．
11．
【分析】利用待定系数法求直线的解析式，再令、，求得直线分别与x、y轴相交于点、，从而可得直线与坐标轴围成一个等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，
∵直线 经过两点、，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，；当时，，即，
∴直线分别与x、y轴相交于点、，
如图所示，，
∴直线与坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．

【点拨】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、求一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法求直线的解析式是解题的关键．
12． 左 4
【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点，列得关于m的方程，解方程即可．
【详解】已知直线
则该直线向上平移个单位后对应的解析式为
∵它过点
∴
原直线向下平移个单位后对应的解析式为
∵它过点
∴
解方程组得，
∴
设它向左平移m个单位后过点
过点
即
解得：
即直线向左平移个单位后过点，
故答案为：左，．
【点拨】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
13． 3
【分析】把点分别代入和中，得一个关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系．两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的二元一次方程组的解．熟练掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系是解题的关键．
【详解】解：把点分别代入和中，得
，
解得，
经检验，为原方程组的解，
故答案为：；3．
14．
【分析】根据图象可知，分钟两人的距离为米，可知两人的速度差米分，返回时分钟相遇，可知速度和为米分，进而求出各自的速度，再根据返回到地的时间差为分钟，可列方程求解即可．
【详解】解：设甲的速度为米分，乙的速度为米分，由图象可得，
，
解得：，
设则相遇地点到的距离为()米，由题意得，
，
解得，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象求得甲乙的速度是解题的关键．
15．
【分析】本题考查一次函数图像上的点，不等式的应用，设点，根据点和点关于直线对称得点，再根据点在的边上得，由得，由得，由此可得的取值范围，理解一次函数图像上的点满足一次函数的表达式，熟练掌握解不等式是解决问题的关键．
【详解】解：点在一次函数的图像上，
设点的坐标为，
点和点关于直线对称，
点和点的纵坐标相同，可设点的坐标为，
，即，
点的坐标为，
，，，点在的边上，
，
由，得；由，得；
，
故答案为．
16． 或
【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的关键．
（1）由一次函数解析式为，可得出点的坐标为；
（2）分别求出当一次函数经过点时及当一次函数经过点时，求出k的值，现求出的取值范围．
【详解】解：（1）一次函数恒经过点，
点的坐标为．
故答案为：；
（2）长方形中，，，，
，
当一次函数经过点时，
解得：，
当一次函数经过点时，
解得：，
一次函数与长方形的边有公共点，
由图可知，或
故答案为：或
17． - k≥
【分析】（1）根据坐标系，矩形的性质，确定点D（2，0），代入解析式求解即可；
（2）函数y随x的增大而增大，故k大于零，根据坐标系，矩形的性质，确定点A（-2，0），代入解析式求解即可．
【详解】（1）∵长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，AB=CD=2，AD=BC=4，
∴A（-2，0），D（2，0），
∵过定点P（0，3）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+3，
∴2k+3=0，
解得k=-，
故答案为：-；
（2）∵函数y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵PQ与矩形ABCD的边由公共点，
∴经过点A时，是直线k的最小值，
∴-2k+3=0，
解得k=，
∴k≥，
故答案为：k≥．
【点拨】本题考查了坐标系的建立，矩形的性质，待定系数法确定解析式，一次函数的性质，熟练掌握矩形的性质，待定系数法，一次函数的增减性是解题的关键．
18．或
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出的三边长， 分 ，，三种情况，根据勾股定理计算即可求出点的坐标，灵活运用分情况讨论思想、掌握两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】由直线得：
当时，即，
解得，
当时，，
∴，，
由勾股定理得，
设，运动的速度为，时间为，则，，
则点的坐标为：，点的坐标为：，
∴
当时，有，即，
解得，，
当，点与重合，舍去
∴点的坐标为，
当 时，，即，
解得（舍去），，则点的坐标为，
当时，，即
解得，，点与重合，不符合题意，
综上所示，点的坐标为 或
故答案为：或 ．
19．(1)画图象见解析
(2)
【分析】（1）利用两点法画出函数图象；
（2）将点的坐标代入函数的解析式，从而可求得m的值．
【详解】（1）当x=0时，y=0，
当x=2时，y=1，
则图象过点（0，0），（2，1）；
∴函数y=x的图象如图所示：
（2）∵点（m-1，m）在的函数y＝x上，
∴m=（m-1），
∴m=-1．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，依据一次函数的定义求得m的值是解题的关键．
20．(1)点的坐标为
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）由题意得到是等边三角形，求得，过点A作于，求得，根据勾股定理得到，于是得到A点的坐标为；
（2）根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，求得，，设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为；
（3）设点的坐标为，根据已知条件得到，①当在的左侧时，如图1，过作于，②当在的右侧时，过作轴于，过A作轴于，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意知，，，
是等边三角形，
，
过点作于，
，
，
在中，，
点的坐标为；
（2）是的平分线，
，
在中，，，，
，
解得：，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为；
（3）设点的坐标为，
，
，
①当在的左侧时，如图1，过作于，
，
，
解得：，，
；
②当在的右侧时，过作轴于，过A作轴于，
，
，
解得：，，
；
综上所述：或，
在直线上存在一个点，使得的面积等于面积的5倍，点的坐标为或．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．(1)，；
(2)点的坐标，直线的表达式为．
【分析】（）分别把和代入解答即可求解；
（）过点作轴于点，证明，得到，，即可求出点的坐标，设直线的表达式为，把的坐标代入计算即可求解；
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定和性质，余角性质，等角对等边，待定系数法求一次函数解析式，利用全等三角形的性质求出点的坐标是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，由得，，
∴点的坐标为；
当时，由得，，
∴点的坐标为；
故答案为：，；
（2）解：如图，过点作轴于点，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
故答案为：，．
22．(1)共有5种进货方案；
(2)购进A型净水器台，则购进B型净水器台，能使得总利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了一元一次不等式组、一次函数的应用；
（1）设购进A型净水器x台，则购进B型净水器台，依题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解；
（2）设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设购进A型净水器x台，则购进B型净水器台，依题意，得，
解得：，
∴，
∴共有5种进货方案；
（2）解：设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意得，
∴
∵，随的增大而增大，
又∵
∴当时，取得最大值，最大利润为：（元）
；
答：购进A型净水器台，则购进B型净水器台，能使得总利润最大，最大利润是元．
23．(1)
(2)C
(3)不一定，理由见解析
【分析】本题考查一次函数，分式有意义的条件：
（1）根据图像可直接得出答案；
（2）借助图像得到不等式解集所用到的数学思想方法是数形结合；
（3）根据方程组可得：，得出，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：观察图象特征，不等式的解集为，
故答案为：；
（2）解：借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是数形结合，
故选：C；
（3）解：根据题意，由方程组可得：，
解得：，
所以，
所以当，方程组无解，即方程组不一定有解
24．(1)
(2)证明见解析
(3)点的坐标为或
【分析】（1）对于一次函数，当时，；当时，．即可得到答案；
（2）证明，，再由，即可证明；
（3）证明当是等腰三角形时，只能或，分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点，点，
当时，；当时，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
，
，，
，
∵，
，
，
；
（3）解：当为等腰三角形时，点的坐标为或，
①如图

∵，
∴，
显然，
，
过作轴，显然，
，
当是等腰三角形时，只能或，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点时，则在中，，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
当为等腰三角形时，点的坐标为或．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、坐标和图形、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．