第六章 平行四边形能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．在 ABCD中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若BE＝6，AB＝5，则AG＝（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．如图，在△ABC中，点E，点F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，BC＝8，则边DF的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
4．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，OA＝OC
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使，若EF＝8，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
6．如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是（ ）
甲：AB∥CD，AD＝BC；
乙：∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：2：1
A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以 D．两人都不可以
7．如图是一个不规则的“五角星”，已知∠A＝54°，∠C＝40°，∠D＝32°，∠B＝∠E，则∠B的度数为（ ）
A．27° B．30° C．34° D．40°
8．过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成8个三角形，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
9．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（ ）cm．
A．6 B． C．8 D．10
10．如图，△ABC的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形△A1B1C1，再以△A1B1C1的三边中点为顶点，组成第2个三角形△A2B2C2，…，则第n个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．一个n边形的所有内角和等于540°，则n的值等于 ．
12．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 ．
13．在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝4，D是AB的中点，则CD的长为 ．
14．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为线段BC的中点，连接OE，若∠BAC＝90°，AE＝2.5，AC＝4，则OE的长为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm．点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．设运动时间为t（t＞0）秒．当运动 秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
16．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求△ADF的面积．
18．（8分）已知：如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，AD＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
19．（8分）如图，在 ABCD中，连接BD，取BD中点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接BE、DF，试说明四边形BFDE是平行四边形．
20．（8分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：OD＝OB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
21．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x＞0），求当x为多少秒时，四边形PQCD变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒（t＞0），求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
22．（10分）已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平行四边形能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
又∠B＝2∠A，
∴．
故选：D．
2．在 ABCD中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若BE＝6，AB＝5，则AG＝（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解答】解：如图，令AG交BE于点H．
根据作图痕迹知：AF平分∠BAD．
∵AF平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠AFB，
∴AB＝BG，
∵AE＝AB，AH＝AH，
∴△ABH≌△AEH，
∴∠AHB＝∠AHE＝90°，∠ABH＝∠AEH＝∠FBH，BH＝HE＝3，
∴Rt△ABH中，AH＝＝4，
∴AF＝2AH＝8，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，点E，点F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，BC＝8，则边DF的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解答】解：∵点E是AB的中点，AE＝3，
∴AE＝BE＝3．
∵点E，点F分别是AB和AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF∥BC，EF＝BC＝4．
∴∠EDB＝∠DBC．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠EBD．
∴BE＝ED＝3．
∵DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1．
故选：B．
4．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，OA＝OC
【答案】B
【解答】解：A、∵ABCD，ADCB
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、AB∥CD，AD＝BC，
四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，
在△BAO和△DCO中，
∴△BAO≌△DCO（AAS），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使，若EF＝8，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接DC，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴
∵延长BC到点F，，
∴CF＝DE，CF∥DE，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴CD＝EF＝8，又∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝16，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴，
∴，
故选：A．
6．如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是（ ）
甲：AB∥CD，AD＝BC；
乙：∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：2：1
A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以 D．两人都不可以
【答案】B
【解答】解：甲、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故甲不可以；
乙：∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：1：2，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故乙可以；
故选：B．
7．如图是一个不规则的“五角星”，已知∠A＝54°，∠C＝40°，∠D＝32°，∠B＝∠E，则∠B的度数为（ ）
A．27° B．30° C．34° D．40°
【答案】A
【解答】解：如图所示，
∵∠A＝54°，∠C＝40°，
∴∠1＝∠A+∠C＝54°+40°＝94°，
∵∠D＝32°，
∴∠2＝∠1+∠D＝94°+32°＝126°，
∴∠B+∠E＝180°﹣∠2＝180°﹣126°＝54°，
∵∠B＝∠E，
∴，
故选：A．
8．过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成8个三角形，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
【答案】C
【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：n﹣2＝8，
解得：n＝10，
即这个多边形是十边形，
故选：C．
9．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（ ）cm．
A．6 B． C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将纸片沿对角线AC对折，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴AE＝EC，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD＝3cm，
∴AE＝3cm，
∴AD＝6cm，
故选：A．
10．如图，△ABC的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形△A1B1C1，再以△A1B1C1的三边中点为顶点，组成第2个三角形△A2B2C2，…，则第n个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵A1、B1、C1分别为AB、AC、BC的中点，
∴A1B1＝BC，B1C1＝AB，A1C1＝AC，
∴第1个三角形的周长为：2×＝1，
则第2个三角形的周长为：2××＝，
……
∴第n个三角形的周长为：．
故选：A．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．一个n边形的所有内角和等于540°，则n的值等于 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意有
（n﹣2） 180°＝540°，
解得n＝5．
故答案为：5．
12．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAD+S△ECB
＝AD h1+CB h2＝AD（h1+h2）
＝S四边形ABCD
＝4．
故答案为：4．
13．在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝4，D是AB的中点，则CD的长为 ．
【答案】．
【解答】解：方法一：过C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC＝∠BHC＝90°，
∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2＝CH2，
∴62﹣AH2＝42﹣（8﹣AH）2，
∴AH＝，
∴CH＝＝，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝4，
∴DH＝，
∴CD＝；
方法二：延长CD到E使CD＝DE，连接AE，BE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵CD＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BE＝6，AE＝BC＝4，
由阿波罗尼奥斯定理得，AB2+CE2＝AC2+BC2+AE2+BE2，
∴82+CE2＝2×（62+42），
∴CE＝2，
∴CD＝CE＝，
故答案为：．
14．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为线段BC的中点，连接OE，若∠BAC＝90°，AE＝2.5，AC＝4，则OE的长为 1.5 ．
【答案】1.5．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4，
∴OA＝OC＝2，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴OE＝，
故答案为：1.5．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm．点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．设运动时间为t（t＞0）秒．当运动 4或或8 秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】4或或8
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当0≤t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝4t cm，BQ＝（10﹣4t）cm，
∴10﹣t＝10﹣4t，
解得：t＝0，舍去；
当＜t≤5时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣10）cm，
∴10﹣t＝4t﹣10，
解得：t＝4；
当5＜t≤时，AP＝t cm，
PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得：t＝；
当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得：t＝8．
综上所述：当运动时间为4秒或秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4或或8．
16．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
∵∠C＝120°，AC＝BC，
∴AM＝BM＝AB＝3，∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝2CM，
由勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，
∴4CM2＝27+CM2，
∴CM＝3，
∴DE＝CM＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求△ADF的面积．
【答案】（1）见解答；（2）9．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF﹣AB＝3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝，
∴＝3，
∴△ADF的面积＝．
18．（8分）已知：如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，AD＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）DE的长为．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD＝＝＝4，
连接AC交EF于O，如图，
∴DO＝OB＝BD＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO＝OF＝EF，
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x＝（负值舍去），
∴DE的长为．
19．（8分）如图，在 ABCD中，连接BD，取BD中点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接BE、DF，试说明四边形BFDE是平行四边形．
【答案】（1）证明见解答；
（2）说明四边形BFDE是平行四边形见解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OED＝∠OFB，
∵O为BD中点，
∴OD＝OB，
在△OED和△OFB中，
，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴OE＝OF．
（2）解：由（1）得OE＝OF，
∵OD＝OB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
20．（8分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：OD＝OB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵DF∥BE，
∴∠OEB＝∠OFD，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OD＝OB，
（2）证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x＞0），求当x为多少秒时，四边形PQCD变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒（t＞0），求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】（1）x＝2时，四边形PQCD变为平行四边形；
（2）t＝4或8或12，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）当四边形PQCD为平行四边形时，
则PD＝CQ，
∴6﹣x＝2x，
解得x＝2，
∴x＝2时，四边形PQCD变为平行四边形；
（2）由题意知，AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴PD＝（6﹣t）cm，
当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，PD＝BQ，
当0＜t＜3时，6﹣t＝6﹣2t，
无解
当3＜t≤6时，BQ＝（2t﹣6）cm，
∴2t﹣6＝6﹣t，
解得t＝4；
当6＜t≤9时，BQ＝（18﹣2t）cm，
∴18﹣2t＝6﹣t，
解得t＝12；
当9＜t≤12时，BQ＝（2t﹣18）cm，
∴2t﹣18＝6﹣t，
解得t＝8，
综上所述：t＝4或8或12，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
22．（10分）已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【答案】（1）①20°； ②120°，60°；
（2）30°或 75°或 15°．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当∠BAD＝∠ABD时，
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴∠BAD＝20°，∠BAO＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAD＝120°；
当∠BAD＝∠BDA时，
∵∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝∠BDA＝80°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠OAC＝∠BDA﹣∠AOB＝60°；
故答案为：①20°； ②120°，60°；
（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，
∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABO＝100°﹣70°＝30°，
∴α＝30°；
②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝180°﹣50°﹣55°＝75°，
∴α＝75°；
③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣20°＝70°，∠AFO＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝35°，∠AFC＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DCF﹣∠AFC＝180°﹣35°﹣130°＝15°，
∴α＝15°；
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
