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2024年中考数学名师押题猜想（辽宁专用）
目录
押题猜想一 基础几何知识选填小题 2
押题猜想二 计算相关的综合题型 8
押题猜想三 函数图像性质选填小题 15
押题猜想四 不等式和不等式组选填小题 28
押题猜想五 不等式方程应用选填小题 31
押题猜想六 与圆相关的选填小题 33
押题猜想七 三角形四边形选填小题 41
押题猜想八 隐形圆最值问题 49
押题猜想九 几何压轴选填小题 53
押题猜想十 圆的综合解答题 63
押题猜想十一 三角函数综合解答题 69
押题猜想十二 方程不等式函数综合应用题 76
押题猜想十三 二次函数综合压轴题 82
押题猜想十四 几何综合压轴大题 102
押题猜想十五 统计和概率综合题 121
押题猜想一 基础几何知识选填小题
1．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称图形，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合，据此即可求解．熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
3．赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．细心观察原立体图形中几何体的位置关系是解决问题的关键．
【详解】解：从正面看，可得如下图形：
故选：D．
4．榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图1所示就是一组榫卯构件．若将②号构件按图2所示方式摆放，则从左面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了从不同角度看物体，利用空间想象能力，结合能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出从左面看所得到的图形即可．拥有良好的空间想象能力是解题的关键．
【详解】依题意可知，选项A中的图形是从正面看，选项B中的图形是从上面看，选项D中的图形是从左面看，
故选D．
5．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了从三个不同方向看几何体，解题关键是根据题意看图，不要搞错方向．
【详解】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，
故选：A．
6．将一副三角板按如图所示的方式放置，和两个角的顶点重合，等腰直角三角板的斜边与另一个三角板的较长直角边平行，且直角顶点在较长直角边上，则图中等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质；由平行线的性质推出，由三角形外角的性质求出．
【详解】解：如图所示
，
，
，
．
故选：C．
7．将一副直角三角板作如图所示摆放，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据，即可判断A选项；由，得到即可判断C选项；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平角，即可判断B选项；由即可判断D选项．
【详解】解：，
，故A选项不符合题意；
，
，故C选项符合题意；
过点F作，如图，
，
，
，
，
，
；故B选项不符合题意；
，
，
，故D选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论．
【详解】解：，，，
，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，勾股定理，正弦函数，根据作图，得到，是的角平分线，利用等腰三角形三线合一性质，勾股定理计算，根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：连接，
由作图可知，，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
押题解读
轴对称，中心对称的判断。三视图观察立体图形，平行线，中垂线，角平分线的基础题型。
通常都是1-5题选择中出现，高频考点、必考点，必得分题。注意审题，不要轻易失分。但最近这类题对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析．
押题猜想二 计算相关的综合题型
1．因式分解： ．
【答案】
【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.
2．因式分解：
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．若代数式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到且，进行求解即可．
【详解】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
故答案为：且．
4．使代数式成立的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意可得出：
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，需注意位于分母位置的二次根式不能等于零．
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．由一元二次方程定义得出二次项系数；由方程有两个不相等的实数根，得出“”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：，
解得：且；
故选：D．
6．若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到，再利用判别式求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：C．
7．若关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解分式方程 ，利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，整理得：，
∵关于x的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，
解得：；
故答案为：3．
8．方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，化为整式方程，解方程并检验即可求解．
【详解】解：，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
9．下列选项中是有理数的是（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，同角三角函数的关系，实数的运算等分别计算即可．
【详解】解：①
，是有理数，故①符合题意；
②，是无理数，故②不符合题意；
③，是无理数，故③不符合题意；
④，是有理数，故④符合题意；
⑤，是无理数，故⑤不符合题意，
综上所述，有理数有①④，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，同角的三角函数的关系，零指数幂，有理数和无理数，熟练掌握这些知识是解题的关键．
10．计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解．
【详解】解：
（1）
=
=
=1．
（2）
不等式①的解集是x≥-1；
不等式②的解集是x＜2；
所以原不等式组的解集是-1≤x＜2．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算．求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11．（1）计算：．
（2）先化简，后求值：，其中
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是：
（1）利用零指数幂、绝对值的意义化简，同时把特殊角的三角函数值代入计算，最后计算加减即可；
（2）先计算括号内，然后把除法转换为除法，再约分化简，最后把x的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
＝
＝；
（2）解：原式
当时，原式．
12．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力．
（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可；
（2）先化为一般形式，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，
因式分解得，
∴或，
解得，；
（2）解：，
，
，，，
，
，
解得．
押题解读
中考计算方面考察内容：主要是因式分解，解一元一次方程，一元二次方程，方程组，不等式，分式方程，分式化简，三角函数的特殊值。整体难度不大，多出现在填空第一题，选择第3题，解答题16题。细心计算，多做检查。
押题猜想三 函数图像性质选填小题
1．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图象，逐个分析各选项的符号，进行判断即可．
【详解】解：对于A、B，由一次函数的图象可知，，所以，正比例函数应该经过第二、四象限，故A正确，B错误；
对于C，由一次函数的图象可知，，所以，正比例函数应该经过第一、三象限，故C错误；
对于D，由一次函数的图象可知，，所以，正比例函数应该经过第二、四象限，故D错误．
故选A．
2．若实数满足，且，则与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质：通过观察4个选项的共性：二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，即，结合，与的条件，进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，
∴，
∵
∴排除选项；
当时，
∴，故错误；
当时，，
故选．
3．如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；
由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口往下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
抛物线的对称轴在负半轴，
，
，
，故①正确．
即，故②正确．
抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零，
与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，
当时，函数值小于零，
即，故③正确．
抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
当时，函数值最大，
当时，，
当时，，
，
所以，故④正确．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则，
，
所以，故⑤正确．
综上所述：正确的有
故选：D．
4．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法：①；②（为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识，由抛物线的对称轴得出，由图象可得，当时，，即可判断①；用与的数量关系，可将原式化简得到关于的不等式，即可判断②；利用二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系即可判断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，代入原解析式得：，
由图象可得，当时，，即，
，故①正确；
设，则，
，
左侧为时的函数值，右侧为时的函数值，显然不成立，故②错误；
由题意得，、是一元二次方程的两个根，
从图象上看，由于二次函数具有对称性，、关于直线对称，
当且仅当时，存在点和，当时，满足，即m的取值范围为，故③正确；
直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式，即的解集为或，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故选：B．
5．如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分点在上，分别求得与的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
当点在上时，即时，
∵，，
∴，
当点在上时，即时，
如图所示，连接，
∵，
∴
∴,
综上所述，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
6．如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数，理解题意，分类讨论以及求得各段函数解析式是关键．先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可．
【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且，
则在直角中，根据勾股定理得到，
当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分；
当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变；
综上所述，C正确．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
过作轴于点，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出的坐标后，代入反比例函数解析式求出的值，利用平移的性质得到点的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．
【详解】解：过作轴于点，如图所示：
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴把代入可得：，
∴，
又∵点向右平移个单位后的坐标为：，
∴把，代入可得：，
解得：，
故选：C．
8．如图，正方形的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的性质和正方形的性质、坐标与图形．要注意运用数形结合的思想．
作轴于，作轴于．可以证明，，即可表示出，的坐标，即可证得是等腰直角三角形，再根据在函数的图象上，即可求解．
【详解】解：作轴于，作轴于．
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
．
同理，．
设，，则，，，．
则的坐标是，的坐标是．
、的两个顶点在双曲线在第一象限的分支上，
，
，即是等腰直角三角形．
则的坐标是代入函数解析式得：
，
，
则，
故答案为：．
9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知．
【详解】过点A作于点E，于点F，
，
，
轴，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是正方形的性质，一次函数的性质，先设，再求解，再结合正方形的性质可得答案．
【详解】解：∵A在直线上，
∴设，
∵轴，
∴，
解得：，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
故选B
押题解读
一次函数，反比例函数，二次函数的图像性质，也是中考重点考察内容。通常都是选填小题，难度不大，但一般考察知识比较综合，熟练掌握各种函数的性质，尤其二次函数图像性质，通常出现在选填最后一题，难度较大，综合考察，结合了几何，代数，函数综合的知识，多进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型．
押题猜想四 不等式和不等式组选填小题
1．若不等式的解集是，则a必满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集求参数问题，依题意得，进而可求解，理解一元一次不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：不等式的解集是，
，
解得：，
故选D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，正确的求出不等式的解集，是解题的关键．注意在数轴上表示解集时含等于用实心，不含等于用空心．
3．已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
【答案】C
【详解】分式方程去分母得：m-3=x-1，
解得：x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选C．
4．如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式组的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式组的解集．数形结合是解题的关键．
根据的解集为直线和在轴下方图象对应的的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】解：由题意知，的解集为直线和在轴下方图象对应的的取值范围，
由图象可得，，
故答案为：．
5．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式的解集即可．
【详解】解：将点代入得，，
解得，，
点A的坐标为，
由图可知，不等式即为，
的解集为．
故答案为：．
6．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集是，
∴．
故答案为：．
7．关于y的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．解题关键是掌握求不等式解集的方法．先解每个不等式，确定不等式组的解集，然后根据整数解确定的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组恰有3个整数解，
不等式组的整数解为10、11、12，
则，
，
故答案为：．
押题解读
不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．不等式及不等式组的性质，考察计算能力，以及不等式的性质的应用，考察思考逻辑能力。结合函数主要考察图像法解不等式。为避免丢分，学生应扎实掌握．
押题猜想五 不等式方程应用选填小题
1．《九章算术》有题如下：“仅有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重、燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相同．5只雀、6只燕重量为1斤．问燕雀每只各重多少？（注：古代1斤16两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系是解题关键．根据有5只雀、6只燕分别聚集，将1只雀、1只燕交换位置而放重量相同；再根据 5只雀、6只燕重量为16两，两个等量关系建立方程组即可解题．
【详解】解：由题意得，
，
故选：A．
2．茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据提前30天完成这一任务列方程即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选D．
3．某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.96元，电费比油费少0.8元．汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？若设汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式即可．
【详解】由题意知，用电行驶x千米，则用油行驶千米，
x满足的不等式关系为，
故选：A．
押题解读
不等式，一元一次方程组，分式方程，一元二次方程的应用。小题多出现在选择7，8题，难度不大，认真审题，根据题意列式即可。
押题猜想六 与圆相关的选填小题
1．图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，瓶内液体的最大深度，则的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得，由垂径定理得出，利用勾股定理计算出的长度，即可得解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故的弦长为．
故选：C．
2．如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，，，且米；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米，甲车由A口驶入立交桥，以的速度行驶，从G口驶出用时（ ）秒．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是关键．
根据弧长公式计算可得．
【详解】解：弧的长为（米， 米，
甲车由口驶入立交桥，以的速度行驶，从口驶出用时（秒．
故选：A．
3．如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，重物上升的高度为
．
故选：B．
4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点A，B．若长，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧的度数．
根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，分别与所在圆相切于点A，B，
，，，交于点，
连接，，，
，
，
，，
优弧对应的圆心角为，，
优弧的长是：．
故选：C．
5．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．O点运动的路径是：旋转的路程的和是以为半径的半圆的弧长，平移的路线是的长，进行求解即可．
【详解】解：的长为；
以为半径的半圆的弧长：，
∴旋转过程中点O所经过的路线长为；
故选C．
6．图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据弧、圆周角的关系求解即可．
【详解】解：解：连接，如图：
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7．如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆周角定理及其推论，解直角三角形相关计算，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟记解直角三角形相关计算是解题的关键．由圆周角定理可知，，然后根据锐角三角函数相关定义求出的长度．
【详解】解：连接，
由圆周角定理得，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查扇形的面积的计算和菱形的性质，连接，交点，根据菱形及直角三角形的性质求出和的值，然后根据阴影部分的面积等于 解题即可.
【详解】如图，连接，交点，
∵圆的半径为，
，
又四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
在 中，利用勾股定理可知，
，
，
则图中阴影部分面积为 ，
故选C.
9．如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，，
，
∵
，
故答案为：．
10．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式．
【详解】解：∵，，A为的中点，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
故答案为：．
押题解读
圆相关的选填小题，考察方向主要以圆心角圆周角的关系，垂径定理，圆的弧长公式，扇形面积公式为主。考察几何基础和圆的综合应用，难度适中，多思考，多做辅助线，构造直角三角形等思路帮助解题。主要考察同学们对基础知识掌握的情况下，运用这些知识来解决实际问题的能力。
押题猜想七 三角形四边形选填小题
1．如图，在正方形中，E，F分别为边与上一点，连接，，交点为G，且，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，作于点H，交于点L，则，由，得，，则，由平行线分线段成比例定理可以证明，则，所以，得到问题的答案．
【详解】解：如图，连接，作于点H，交于点L，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为，
故选：B．
【点睛】此题考查正方形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
2．如图，方格中小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与网格，先运用割补法求出面积，再根据勾股定理求出，再根据等面积法列式，即可作答．
【详解】解：∵方格中小正方形的边长是1，
∴，
∵，
∴边上的高，
即边上的高．
故选：D
3．一副直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，，，，，则（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据题意知是等腰直角三角形，得出，在中，根据三角函数定义计算得出，相减即可求出．
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
，
，
故选：B．
4．如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（ ）
A．－1 B．－1 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】∵，，
∴，
解得．
∵是的中线，
∴．
在中，，
∴．
故选：A．
5．如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余求得，由，求得，再由翻折的性质得，则．
【详解】解：，，
，
，
，
由翻折得，
，
故选：B．
6．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是掌握相似、矩形的性质．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则，设米，
由得，，
四边形是矩形，
，
∴，
，
即，
，
，
，
解得，，
故选：D．
7．如图，在中，，，点P为边上的中点，交的延长线于点M，交的延长线于点N，且．若，则的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，依据题意，连接，然后先证明，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解．
【详解】解：连接，如图．
在中，，
∵，点P为边上的中点，
∴，，，．
∴．
∵，
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
在中，．
∴在中，．
又在中，，
∴．
∴．
∴．
故选：D．
8．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正方形的边长为，由正方形的性质及垂直定义，得，，，从而得，再证，，得，，从而得，求解即可得，于是得，利用勾股定理即可得解．
【详解】解：设正方形的边长为，
∵是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴即，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，经检验，是原方程的解，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解分式方程熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，平行四边形中，E、F分别为的中点，与相交于点G，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定，结合，计算选择即可．
【详解】延长交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵E、F分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：或．
押题解读
三角形，四边形选题小题，主要考察三角形和四边形的基本性质及基础几何知识的灵活应用。结合平行，相似三角形，全等三角形，勾股定理等知识的灵活应用。从一般到特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握三角形、矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；在考试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识．
押题猜想八 隐形圆最值问题
1．如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，
连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．
2．如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A．6.4 B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析，得证，得出，再结合圆周角定理，得出点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】∵四边形是矩形
∴
∵，
∴
∵
∴
即
∴
即点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内
如图：
当E在线段上时，则此时取最小值
则
∴长度的最小值为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质、勾股定理，圆周角定理，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．如图，在边长为3的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．
过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键．
【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以M为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值
∴长度的最小值
故答案为：
押题解读
隐形圆求最值问题，主要是找到隐形圆，了解动点的运动轨迹。我们可以通过找圆心、半径等方法来解决一些线段、角度的最值问题；在代数几何中，隐形圆最值问题可以帮助我们解决一些涉及圆的一般方程的最值问题。基本思路：找定点，找动点，找定长，确定隐形圆。利用两点之间线段最短，或者三角形三边关系。
押题猜想九 几何压轴选填小题
1．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．
【答案】
【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案．
【详解】解：过E作，交于，
，，
，
，
，
是边上的中线，是等边三角形，
，
，
，
，
和关于对称，
连接交于，连接，
则此时的值最小，
∵是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2．如图，在中，，，点为边的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点．当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，，分两种情况：，，分别画出图形，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，点为边的中点，
∴，
依题意得：，
如图，当时，点重合，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，，
∴，
又由折叠可得，，
设，则，
∵，，
∴，
即，
解得，
∴；
综上，的长为为或，
故答案为：或．
3．如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，过点的直线将矩形折叠，使点落在上的处，当是等腰三角形时， ．
【答案】3或或
【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=5，设AP=x，则PD′=PD=6-x，当△APD′是等腰三角形时，分三种情况分别求解即可．
【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=3，
∴，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD′=PD，
设AP=x，则PD′=PD=6-x，
当△APD′是等腰三角形时，可分三种情况讨论：
①若，则，
解得x=3；
②若，如图，过点作⊥AD于点F，
∵AD∥BC，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在Rt△中，，
解得，（不合题意，舍去）；
③若，如图，过点作⊥AD于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上，AP的值为3或或.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理、锐角三角函数等知识，正确的理解题意并分类讨论是解题的关键．
4．如图，菱形边长为4厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把∠A沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当 厘米时，是直角三角形．
【答案】1或2
【分析】根据题意分两种情况讨论：①当时，根据菱形的性质可得，进而可得的值；②当时，点落在菱形对角线上，根据点为的中点，为折痕，此时于点，可得为的中点，进而可得的值．
【详解】解：菱形边长为4厘米，点为的中点，
厘米，
由翻折可知：
，
，
①当时，
，
，
，
，
，
，
厘米；
②当时，
点落在菱形对角线上，
点为的中点，为折痕，
此时于点，
点为的中点，
厘米．
所以当或2厘米时，是直角三角形．
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了翻折变换、菱形的性质等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
5．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．连接，将沿折叠，若点B的对应点落在矩形的边上，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程；设，
由已知得，，由勾股定理得及，即可求解；掌握性质，能将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：如图，
设，
，
，，
由折叠得：，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，
，
，
在中
，
解得：，（舍去），
；
故答案：．
6．如图，在中，，，，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点D处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论：①当时，此时点C、点F重合，可得；②当时，此时点D、点C重合，可得，即可求出答案．
【详解】解：当是以为腰的三角形时，分两种情况：
①当时，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且是由沿直线翻折得到，
根据翻折性质可得：，
∴点C、点F重合，
∵，，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∵点C、点F重合，
∴，
∴；
②当时，如图2，
∵，
∴，
∵，且是由沿直线翻折得到，
根据翻折性质可得：，
∴点D、点C重合，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了动点问题求线段长度，涉及到直角三角形的性质和勾股定理、折叠的性质和等腰三角形的性质和判定，运用分类讨论思想是解题关键．
押题解读
三角形，四边形压轴小题，涉及到平行四边形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，这类题型的难点主要是动态图形，需要有更好的空间思维能力，动手能力，
想象力，先画出图形的变化，构造出基本模型，找到关系列出方程，求解。这类偏难，平时多思考，多练习。决定是否能取得高分。未来考试方向在基础题型的之上，更多的又体现出来开放性探索问题，所以随着其难度以及探索性试题的开放，那么对大家三角形，四边形性质的综合运用能力提出了更高的要求。
押题猜想十 圆的综合解答题
1．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示：
（2），
．
又，
，
．
点在以为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和中，
．
．
【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若直径，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
（2）解：∵
，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
又，
即，
解得（取正值），
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
3．如图，是以C为顶点的等腰三角形，以为直径作，交于点D．延长至点E，使得，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形：
（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，即可得证；
（2）连接，圆周角定理得到，解直角三角形，分别求出的长，即可．
【详解】（1）证明：∵是以C为顶点的等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，
∴，
∴，
∴．
押题解读
圆的综合应用题型近年在辽宁中考数学和各地的模拟考中必考题型。学生不易得满分．该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。第一个问多考与切线相关，第一个问偏简单。后面的问通常与相似，三角函数相关，以计算为主偏难，需要考察学生几何综合能力。
押题猜想十一 三角函数综合解答题
1．渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】
【分析】过点作，垂足为，在中，根据求出，过点作，垂足为，在中，根据求出，进而求解即可．
【详解】过点作，垂足为．
在中，，
∴．
过点作，垂足为．
在中，，
∴．
∵，
∴．
答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键．
2．如图1，大连大黑山被誉为辽南第一山的大黑山．大黑山拔海而起，滨岸而立，怪石嶙峋，气势壮观．如图2，假设有一航线l经过大黑山景区且与地面平行，现有一架客机沿航线l飞经景区上空，机上有一乘客使用测距相机进行拍照．当飞机恰好飞经主峰峰顶A时，该乘客自上而下正对主峰进行拍照，测得客机到主峰A的距离为，山谷谷底C到客机B的仰角为．
(1)求点A到直线的距离；
(2)飞机又以的速度向右飞行了到达点D．此时乘客测得点E关于客机的仰角为，，．根据以上信息和参考数据，求主峰A和次峰E之间的距离．
（结果保留根号，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解俯仰角直角三角形和勾股定理的应用，
（1）延长交地面与F，连接．则，，进而可得出，过点A作与点G，则即可求解．
（2）过点A作交于点K，根据题意得，结合解直角三角形求得、，和，根据勾股定理求得．
【详解】（1）延长交地面与F，连接．
则，
∴，
过点A作与点G，
∵
∴，
故点A到直线的距离为．
（2）过点A作交于点K，如图，
∵飞机以的速度向右飞行了到达点D，
∴，
∵乘客测得点E关于客机的仰角为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故主峰A和次峰E之间的距离．
3．【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬
的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．
方案1：直角形遮阳篷
如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上
(1)若，，则支撑杆 m．
(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度．
方案2：抛物线形遮阳篷
(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴．
①求该二次函数的表达式．
②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离)
【答案】(1)
(2),
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求即可；
（2）由题意得到
由题意得：，，，，，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，得到方程，则有则的长度可求．
（ 3）①由题意，为等腰直角三角形，从而有，设二次函数为：，代入，求出函数关系式即可；
②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，设，则点 ，代入求出x即可．
【详解】（1）在中，，
，
故答案为：；
（2）由题意得：，，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴设
在中，，
∴，
∴，
解得．
∴，．
（3）①由F为抛物线顶点，可知，
∵，
∴为等腰直角三角形
由二次函数对称性可知，
设二次函数为：，代入得
，解得，
∴y关于x的关系式为：，
②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，
过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，
设，则点 ，
代入得，
化简得,
解得，，(答案不合理，舍去）
∴D′E=，
∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
押题解读
主要考查锐角三角函数的应的综合题，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用．有时比较简单，有时难点较大不易得分，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键．
押题猜想十二 方程不等式函数综合应用题
1．戴口罩、勤洗手、少聚会”是新冠肺炎疫情防控的有效措施．为保证防疫口罩供应，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元．用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同．
(1)A，B型口罩每盒进价分别为多少元？
(2)经市场调查表明，B型口罩更受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加5元，日均销量减少25盒．当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【答案】(1)A型口罩的每盒进价是30元，B型口罩每盒进价是50元
(2)当B型口罩每盒售价65元时，销售B型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元
【分析】（1）根据用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同列方程计算即可；
（2）设售价为元，总利润为，根据题意求出函数解析式，再进行计算即可．
【详解】（1）解：设A型口罩每盒进价为元，则：B型口罩每盒进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解．
，
∴A型口罩的每盒进价是30元，B型口罩每盒进价是50元．
（2）解：设B型口罩每盒售价为元，总利润为，
由题意得：，
整理的：，
∴当时，有最大值：1125．
答：当B型口罩每盒售价65元时，销售B型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元．
【点睛】本题考查分式方程和二次函数的应用．根据题意正确的列出方程和函数表达式是解题的关键．
2．某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：
品种 进价（元/斤） 售价（元/斤）
甲 a 5
乙 b 7
乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍．
(1)求a的值；
(2)水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．
①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；
②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)①，最大利润为360元；②
【分析】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
（1）根据“花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍”，列分式方程求解即可；
（2）①根据题意可得W与x的函数关系式，再根据一次函数的增减性解答即可；
②根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质讨论可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴；
（2）解：①由题意得：，
∵，
∴W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值为360，即最大利润为360元；
②由题意得，，
∵当时，，不合题意，
∴，
∴W随x的增大而增大，
∴当时，由题意得，，
解得，
∴m的最大值为．
3．某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件万件．所获总利润万元．
(1)写出与的函数关系式；
(2)如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？
(3)该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出．在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量．求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)生产甲零件50万件，生产乙零件30万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元
(3)甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据总利润单价利润零件数分别求出甲、乙零件的利润，然后求和即可得到答案；
（2）先根据总成本不超过740万元求出，进而根据一次函数的性质求解即可；
（3）设甲零件的售价提高m元，总利润为W，根据总利润单价利润零件数求出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意得，，
解得，
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y最大，最大值为，
∴，
∴生产甲零件50万件，生产乙零件30万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元；
（3）解：设甲零件的售价提高m元，总利润为W万元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，最大，最大为500，
∴甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元．
4．某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量y1（件）与月份x（2≤x≤6，且×为整数）之间满足的函数关系如表：
月份x（月） 2 3 4 5 6
市场采购工料量y1（吨） 6000 4000 3000 2400 2000
7至12月，该工厂自身生产的工料量y2（件）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2＝ax2＋c（a≠0）．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1＝x，该工厂自身生产的每件工料的成本z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝x﹣x2；7至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
【答案】（1）y1＝（2≤x≤6，且x取整数）；y2＝x2＋10000（7≤x≤12，且x取整数）；（2）去年5月用于所需的工料总费用最多，最多费用是22000元
【分析】（1）利用表格中数据可以得出定值，则与之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过，点，求出解析式即可；
（2）利用当时，以及当时，分别求出处理污水的费用的最大值，即可得出答案．
【详解】解：（1）根据表格中数据可以得出定值，则与之间的函数关系为反比例函数关系：
，将代入得：
，
故，且取整数）；
根据图象可以得出：图象过，点，
代入得：，
解得：，
故，且取整数）；
（2）当，且取整数时：
，
，
，，，
当时，（元，
当时，且取整数时，
，
，
，，
当时，随的增大而减小，
当时，（元，
，
去年5月用于所需的工料总费用最多，最多费用是22000元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，正确得出函数关系式是解题关键．
押题解读
代数应用题以实际问题为背景，一般为生活中常见的分析决策问题．该题型借鉴PISA理念，考查数学抽象和数学建模以及阅读能力，学会把实际问题变成数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系，并设计出适当的解决问题的方案，培养应用意识和模型思想，提高解决实际问题的能力．
押题猜想十三 二次函数综合压轴题
1．【定义】
例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离．
【探索】
当与x轴平行时，，
当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1）___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？
【答案】探索： 应用：（1） （2） 拓展:（3）
【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案；
应用：（1）延长交轴于点，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案；
拓展：取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案.
【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点，
令得 ，
∴ ，即 ，
令 ，得，
解得：，
∴，即
，
∵ 轴，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
应用：（1）如图， 延长交轴于点，则，
，
，，
，
，
，
把 代入得:，
解得：，
故答案为：；
（2）由（1）知, 设直线的解析式为则 ，
解得：，
，
如图，设 ，则，
，
，
，
∵轴，
，
，
，
，
∴当 时，取得最大值 ，
答：的最大值为
【拓展】如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，
，
，
在 中, ，
，
，
又，
，
，
，
∵轴，
，
，
，
答：最高应为
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键.
2．【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上
【答案】(1)①；②；③63m
(2)不超过6分钟
(3)光源应放在和之间
【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标；
②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式；
③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长．
（2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果．
（3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案．
【详解】（1）①如图，作轴于D点，
由题意得，
，
，
，
，
∴点B的坐标为；
②设，
把代入得，
解得，
∴y与x的函数解析式为：；
③如图，设最长的吊杆为EF，
∵吊杆间距10m，
∴，
，
由得，时，，
，
∴最长的吊杆的长度约为63m．
（2）如图，作轴，交抛物线于M、N两点，
由题意知，代入抛物线解析式得，
解得，，
，，
，
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：，
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟．
（3）
设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，
设直线的表达式为，则
，
解得，
∴直线的表达式为：．
，
∴直线与直线的k相同，
设直线的表达式为，
联立，
得，
整理得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
，
解得，
∴直线的表达式为．
当时，，
解得，
∴，
∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．
3．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）求水池2面积的最大值；
（2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标．
【答案】（1）水池2面积的最大值是9；（2）水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或；（3）点P的横坐标为或或．
【分析】
（1）配成顶点式，即可求解；
（2）由题意得：，即可求解；
（3）分点P在直线上方，和点P在直线下方，两种情况讨论，证明，则，列式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴水池2面积的最大值是9；
（2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组，
解得，，，
∴，，
∴水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或，
（3）∵，
∴对称轴为直线，
设点，
当点P在直线上方，
过点和分别作对称轴直线的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
当点P在直线下方，
过点作对称轴直线的垂线，点和分别作的垂线，垂足分别为和，
同理，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
解得，．
不符题意，舍去．
∴，
∴点P的横坐标为或或．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，图象上点的坐标的实际意义，配方法求二次函数的极值，二次函数与二次方程的联系，充分理解函数图象上点的坐标的数学意义是解题的关键．
4．【发现问题】
一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．
【提出问题】
碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式．
【解决问题】
(1)请你帮助小丽求出y与x的关系式；
(2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为时，求此时面碗中水的深度；
(3)小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与重合，直接写出此时面碗中水的最大深度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查二次函数的实际问题，解直角三角形，掌握待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把自变量代入求出函数值即可解题；
（3）先求出直线的解析式，然后分和两种情况，分别利用解直角三角形解题即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵点B的坐标为，点D的坐标为，
∴代入得：，解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴此时面碗中水的深度为；
（3）解：设的解析式为，把点和代入得：
，解得，
∴，
当时，如图，过点D作于点G，设与y轴交于点H，
∴则点的坐标为，
∴，
∴，，
∴面碗中水的最大深度；
当时，作与抛物线有且只有一个交点且平行于的直线交y轴于点N，过H作交平行线于点P，
则设的解析式为，
则有唯一解，即，
∴，解得，
∴点N的坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∴这时最大深度为；
综上所述，时面碗中水的最大深度为．
5．嘉琪家里有一款高脚杯，她发现高脚杯的杯体可以近似看成抛物线．于是她开始进行测量，并画出了高脚杯的截面图（杯体厚度忽略不计）如图（1）．点是抛物线的顶点，．点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为20cm．嘉琪想借此考查一下对学过的知识掌握情况，于是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm），并提出了以下问题，你也来一起解决吧！
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向左平移3cm，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转30°，液面恰好到达点处（），如图（3）．
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析，，②cm
【分析】（1）设抛物线表达式为将，代入建立方程即可得到答案；
（2）杯子平移后顶点坐标为，设平移后表达式为，可得，点关于对称轴对称的点，由平移可知，当直线经过点时，可得当直线经过点时，可得，从而可得答案；
（3）①建立如图1所示平面直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点．求解，可得，，，从而可得答案；②如图2，过杯体最低点作直线，交轴于点，此时直线与抛物线有且只有一个交点．设直线的解析式为，由（1）可知抛物线解析式为，求解，可得直线的解析式为，作直线于点，，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：设抛物线表达式为
∵，
∴，又∵，杯子高20cm，
∴
将，代入 ，解得．
∴杯体所在抛物线表达式为
（2）杯子平移后顶点坐标为，则平移后表达式为
当时，
∴，点关于对称轴对称的点
由平移可知
当直线经过点时，，解得，
∴
当直线经过点时，，解得
∴，
∴．
（3）①建立如图1所示平面直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点．
∵，，
∴
∵，
∴
∵，，
∴，
∴
∴与轴交点坐标为．
②如图2，过杯体最低点作直线，交轴于点，此时直线与抛物线有且只有一个交点．
∴此时直线与的夹角为，
∴，
设直线的解析式为，由（1）可知抛物线解析式为
令，
∴，则，
∴
∴直线的解析式为，
作直线于点
∵，
∴，
∴
∴最大深度为cm．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，理解题意，建立合适的坐标系与函数模型是解本题的关键．
押题解读
二次函数综合应用中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形桥或桥洞问题等．函数与几何图形动态探究题也是常考题，这类题型属于开放探究题，考查学生综合探究、几何直观和数学运算能力，在综合探究过程中，培养严谨的逻辑思维和分类讨论的思想，逐步体会分类的方法和原因，逐步提高发现和提出问题以及分析和解决问题的能力．今年预计新型阅读理解题型会可能性会更大，但是最值还是考察二次函数的应用，主要看如何把实际和知识结合。
押题猜想十四 几何综合压轴大题
1．综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．
【观察发现】
(1)在P、Q运动的过程中．
①和的度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
【探究迁移】
(2)如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．
①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
(3)如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．
【答案】(1)【答题空1】相等；
【答题空2】2；
(2)①；②或；
(3)且；或．
【分析】（1）①由正方形的性质可知，由等式的性质即可得出答案；②作，结合正方形性质，可得为等腰直角三角形，得出的长度，利用以及，可计算出的长度；
（2）①证明可得到答案；②当时，先证明，计算出的长度，由的值，可得出的长度，最后算出的长度；当时，同上可得；
（3）①证明，由相似比以及可得为等腰直角三角形；②当，利用得出、的长度，再通过为等腰直角三角形，得到，最后用勾股定理计算出；当时，同上可得．
【详解】（1）①四边形为正方形，
平分，，
，
，
，
；
②四边形为正方形，边长为6，
，，
，，
，，
过点Q作交于点E，
Q是的中点，
，
，
，
又，
，
，
由①可知，
，
，
；
（2）①由（1）可知，
又，，，
，
，
；
②当时，，，
，
（已证）
，
；
当时，，，
同理可证，
，
，
，
，
，
；
（3）①，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，作，
不妨设，，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
②如图4，同理可证为等腰直角三角形，且相似比为，
当时，，
且相似比为，
，，
，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，
当时， ，
且相似比为，
，
，
同理可证，，，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟知正方形的性质与等腰直角三角形的性质的解题的关键．
2．（1）①如图1，等腰（为底）与等腰（为底），，则与的数量关系为______；
②如图2，矩形中，，，则______；
（2）如图3，在（1）②的条件下，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接.当时，求的长度；
（3）如图4，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，中点为，中点为，若，求.
【答案】（1）①；②（2）；（3）
【分析】（1）①先证明，再根据边角边证明，即可求解；
（2）作于，先证明，得到，，，再在中，由勾股定理即可得解；
（3）如图，延长、交于点，过点A作于N，连接、，过点H作于P，连接并延长交AM延长线于Q，根据正切的定义可得，根据旋转的性质可证明是等边三角形，通过证明点、、、四点共圆，可得是等边三角形，通过证明≌， ≌得出是的中位线，设，分别表示出、，利用勾股定理列方程求出的值，进而求得的值，勾股定理求得的值，即可求解．
【详解】（1）①；理由如下：
∵与都是等腰三角形，，；
又因为，所以，即，
所以，所以.
故答案为：．
②矩形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
故答案为：．
（2）解：点在线段上运动，如图，作于，
∵，∴，
∵，，
∴，
由旋转的性质可得，，
∵，
∴在和中，
，
∴，，
∵，，，
∴在中，由勾股定理得，
∵
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴，，
∵，
∴.
∴在中，由勾股定理得.
（3）解：.理由如下：
如图，延长、交于点，过点作于，连接、，过点作于，连接并延长交延长线于，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点、、、四点共圆，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴是的中位线，
设，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵点在上，
∴
∴，即
∴
在中，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的判定、圆周角定理、全等的判定和性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
3．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)，2
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长．
【详解】（1）解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键．
4．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：
①若，请判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求，两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．
【答案】(1)，．
(2)①，理由见解析；②
(3)或
【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离；
（2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论；
②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解；
（3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解．
【详解】（1）（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称，
∴与关于点中心对称，
则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
∵，
∴，
∵,关于直线对称，
∴，
即，
可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度．
故答案为：，．
（2）①，理由如下，
连接，
由对称性可得，，
∴，
②连接分别交于两点，过点作，交于点，
由对称性可知：且，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴,
∴
（3）解：设，则，
依题意，，
当时，如图所示，过点作于点，
∴
∵，，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，则，
∴
在中，，则，，
在中，，
，
∴
由（2）②可得，
∵
∴
∴，
解得：；
如图所示，若，则，
∵，则，
则，
∵，，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
押题解读
中考几何压轴题的解题方法主要包括：数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，相似与全等的运用，动态几何分析。此外，解决中考几何压轴题的方法还有解析法、函数法等。在解决这些题目时，重要的是要理解题目的基本原理和考察点，然后运用相应的数学思想和方法进行解答。同时，保持清晰的思路和严谨的计算推理也是关键。
押题猜想十五 统计和概率综合题
1．【问题提出】
在一次课外活动中，小明为了探究人类记忆曲线的变化情况，决定通过让小组成员背单词的方法进行研究分析．
【收集数据】小明让小组的8位同学在一天内背诵6个单词．为了确保实验的准确性，小明没有让同学们在课余时间对单词进行复习．第2天课下，小明对单词记忆情况进行了调查，绘制统计图如下（如图1，其中横轴代表小组人员编号，纵轴代表记忆单词数量）；
【分析数据】
（1）小明统计小组成员单词记忆情况的方式为_________（选填“普查”“抽样检测”或“假设分析”）；
（2）小组成员记忆单词数量的极差为____________；
（3）求小组成员记忆单词数量的平均数和方差；
（4）若学校有1000人，估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数；
【统计总结】
小明连续收集了7天同学们对于第一天单词的记忆数量，经过统计后，取合适的自变量和因变量在坐标系中通过描点连线的方法绘制图象如下图（图中横轴代表天数，纵轴代表遗忘速度）：
（5）根据小明绘制的图象简图，请你对于记忆单词给出一点建议（要求：结合函数图象，且不多于50字）
________________________________．
【答案】（1）普查（2）5（3）平均数是4；方差是3（4）估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数为500人（5）建议见解析
【分析】本题考查了极差、平均数及方差计算、用样本估计总体及调查方式选择，根据题意先确定调查方式，再计算平均数及方差，用样本估计总体并根据图象作出分析．
【详解】解：（1）小明统计小组成员单词记忆情况的方式为普查，
故答案为：普查；
（2）小组成员记忆单词数量的极差为，
故答案为：5；
（3）平均数是，
方差为
，
小组成员记忆单词数量的平均数是4；方差是3；
（4）小组成员中第二天单词记忆量高于4个的人数有4个，
人，
估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数为500人；
（5）从函数图象来看，刚开始的几天遗忘速度较快，后期遗忘速度变慢，根据规律建议记忆单词后一定要在后期及时复习巩固，这样记忆效果才会更好．中小学教育资源及组卷应用平台
2024年中考数学名师押题猜想（辽宁专用）
目录
押题猜想一 基础几何知识选填小题 2
押题猜想二 计算相关的综合题型 5
押题猜想三 函数图像性质选填小题 6
押题猜想四 不等式和不等式组选填小题 10
押题猜想五 不等式方程应用选填小题 11
押题猜想六 与圆相关的选填小题 12
押题猜想七 三角形四边形选填小题 15
押题猜想八 隐形圆最值问题 18
押题猜想九 几何压轴选填小题 19
押题猜想十 圆的综合解答题 21
押题猜想十一 三角函数综合解答题 22
押题猜想十二 方程不等式函数综合应用题 25
押题猜想十三 二次函数综合压轴题 27
押题猜想十四 几何综合压轴大题 32
押题猜想十五 统计和概率综合题 36
押题猜想一 基础几何知识选填小题
1．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（ ）
B． C． D．
4．榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图1所示就是一组榫卯构件．若将②号构件按图2所示方式摆放，则从左面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（ ）
A．B． C． D．
6．将一副三角板按如图所示的方式放置，和两个角的顶点重合，等腰直角三角板的斜边与另一个三角板的较长直角边平行，且直角顶点在较长直角边上，则图中等于( )
A． B． C． D．
7．将一副直角三角板作如图所示摆放，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
9．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则 ．
押题解读
轴对称，中心对称的判断。三视图观察立体图形，平行线，中垂线，角平分线的基础题型。
通常都是1-5题选择中出现，高频考点、必考点，必得分题。注意审题，不要轻易失分。但最近这类题对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析．
押题猜想二 计算相关的综合题型
1．因式分解： ．
2．因式分解：
3．若代数式有意义，则的取值范围是 ．
4．使代数式成立的的取值范围是 ．
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
7．若关于x的分式方程有增根，则 ．
8．方程的解为 ．
9．下列选项中是有理数的是（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
10．计算：．
（2）解不等式组：．
11．（1）计算：．
（2）先化简，后求值：，其中
12．解方程：
(1)；
(2)．
押题解读
中考计算方面考察内容：主要是因式分解，解一元一次方程，一元二次方程，方程组，不等式，分式方程，分式化简，三角函数的特殊值。整体难度不大，多出现在填空第一题，选择第3题，解答题16题。细心计算，多做检查。
押题猜想三 函数图像性质选填小题
1．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ）
A．B．C．D．
2．若实数满足，且，则与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
4．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法：①；②（为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
6．如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为 ．
9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（ ）
B． C． D．
押题解读
一次函数，反比例函数，二次函数的图像性质，也是中考重点考察内容。通常都是选填小题，难度不大，但一般考察知识比较综合，熟练掌握各种函数的性质，尤其二次函数图像性质，通常出现在选填最后一题，难度较大，综合考察，结合了几何，代数，函数综合的知识，多进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型．
押题猜想四 不等式和不等式组选填小题
1．若不等式的解集是，则a必满足（ ）
A． B． C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
4．如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式组的解集是 ．
5．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
6．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
7．关于y的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围 ．
押题解读
不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．不等式及不等式组的性质，考察计算能力，以及不等式的性质的应用，考察思考逻辑能力。结合函数主要考察图像法解不等式。为避免丢分，学生应扎实掌握．
押题猜想五 不等式方程应用选填小题
1．《九章算术》有题如下：“仅有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重、燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相同．5只雀、6只燕重量为1斤．问燕雀每只各重多少？（注：古代1斤16两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.96元，电费比油费少0.8元．汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？若设汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
押题解读
不等式，一元一次方程组，分式方程，一元二次方程的应用。小题多出现在选择7，8题，难度不大，认真审题，根据题意列式即可。
押题猜想六 与圆相关的选填小题
1．图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，瓶内液体的最大深度，则的弦长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，，，且米；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米，甲车由A口驶入立交桥，以的速度行驶，从G口驶出用时（ ）秒．
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点A，B．若长，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
6．图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
8．如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
10．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为 ．
押题解读
圆相关的选填小题，考察方向主要以圆心角圆周角的关系，垂径定理，圆的弧长公式，扇形面积公式为主。考察几何基础和圆的综合应用，难度适中，多思考，多做辅助线，构造直角三角形等思路帮助解题。主要考察同学们对基础知识掌握的情况下，运用这些知识来解决实际问题的能力。
押题猜想七 三角形四边形选填小题
1．如图，在正方形中，E，F分别为边与上一点，连接，，交点为G，且，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，方格中小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高长为（ ）
A． B． C． D．
3．一副直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，，，，，则（ ）
A． B． C．12 D．
4．如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（ ）
A．－1 B．－1 C．1 D．
5．如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，点P为边上的中点，交的延长线于点M，交的延长线于点N，且．若，则的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
8．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平行四边形中，E、F分别为的中点，与相交于点G，则 ．
押题解读
三角形，四边形选题小题，主要考察三角形和四边形的基本性质及基础几何知识的灵活应用。结合平行，相似三角形，全等三角形，勾股定理等知识的灵活应用。从一般到特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握三角形、矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；在考试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识．
押题猜想八 隐形圆最值问题
1．如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A．6.4 B． C． D．
3．如图，在边长为3的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是 ．
押题解读
隐形圆求最值问题，主要是找到隐形圆，了解动点的运动轨迹。我们可以通过找圆心、半径等方法来解决一些线段、角度的最值问题；在代数几何中，隐形圆最值问题可以帮助我们解决一些涉及圆的一般方程的最值问题。基本思路：找定点，找动点，找定长，确定隐形圆。利用两点之间线段最短，或者三角形三边关系。
押题猜想九 几何压轴选填小题
1．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．
2．如图，在中，，，点为边的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点．当为直角三角形时，的长为 ．
3．如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，过点的直线将矩形折叠，使点落在上的处，当是等腰三角形时， ．
4．如图，菱形边长为4厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把∠A沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当 厘米时，是直角三角形．
5．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．连接，将沿折叠，若点B的对应点落在矩形的边上，则m的值为 ．
6．如图，在中，，，，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点D处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ．
押题解读
三角形，四边形压轴小题，涉及到平行四边形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，这类题型的难点主要是动态图形，需要有更好的空间思维能力，动手能力，
想象力，先画出图形的变化，构造出基本模型，找到关系列出方程，求解。这类偏难，平时多思考，多练习。决定是否能取得高分。未来考试方向在基础题型的之上，更多的又体现出来开放性探索问题，所以随着其难度以及探索性试题的开放，那么对大家三角形，四边形性质的综合运用能力提出了更高的要求。
押题猜想十 圆的综合解答题
1．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
2．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若直径，，求的长．
3．如图，是以C为顶点的等腰三角形，以为直径作，交于点D．延长至点E，使得，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若 求的长．
押题解读
圆的综合应用题型近年在辽宁中考数学和各地的模拟考中必考题型。学生不易得满分．该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。第一个问多考与切线相关，第一个问偏简单。后面的问通常与相似，三角函数相关，以计算为主偏难，需要考察学生几何综合能力。
押题猜想十一 三角函数综合解答题
1．渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到）
（参考数据：）
2．如图1，大连大黑山被誉为辽南第一山的大黑山．大黑山拔海而起，滨岸而立，怪石嶙峋，气势壮观．如图2，假设有一航线l经过大黑山景区且与地面平行，现有一架客机沿航线l飞经景区上空，机上有一乘客使用测距相机进行拍照．当飞机恰好飞经主峰峰顶A时，该乘客自上而下正对主峰进行拍照，测得客机到主峰A的距离为，山谷谷底C到客机B的仰角为．
(1)求点A到直线的距离；
(2)飞机又以的速度向右飞行了到达点D．此时乘客测得点E关于客机的仰角为，，．根据以上信息和参考数据，求主峰A和次峰E之间的距离．
（结果保留根号，参考数据：，）
3．【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬
的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．
方案1：直角形遮阳篷
如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上
(1)若，，则支撑杆 m．
(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度．
方案2：抛物线形遮阳篷
(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴．
①求该二次函数的表达式．
②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离)
押题解读
主要考查锐角三角函数的应的综合题，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用．有时比较简单，有时难点较大不易得分，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键．
押题猜想十二 方程不等式函数综合应用题
1．戴口罩、勤洗手、少聚会”是新冠肺炎疫情防控的有效措施．为保证防疫口罩供应，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元．用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同．
(1)A，B型口罩每盒进价分别为多少元？
(2)经市场调查表明，B型口罩更受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加5元，日均销量减少25盒．当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
2．某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：
品种 进价（元/斤） 售价（元/斤）
甲 a 5
乙 b 7
乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍．
(1)求a的值；
(2)水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．
①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；
②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值．
3．某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件万件．所获总利润万元．
(1)写出与的函数关系式；
(2)如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？
(3)该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出．在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量．求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？
4．某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量y1（件）与月份x（2≤x≤6，且×为整数）之间满足的函数关系如表：
月份x（月） 2 3 4 5 6
市场采购工料量y1（吨） 6000 4000 3000 2400 2000
7至12月，该工厂自身生产的工料量y2（件）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2＝ax2＋c（a≠0）．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1＝x，该工厂自身生产的每件工料的成本z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝x﹣x2；7至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
押题解读
代数应用题以实际问题为背景，一般为生活中常见的分析决策问题．该题型借鉴PISA理念，考查数学抽象和数学建模以及阅读能力，学会把实际问题变成数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系，并设计出适当的解决问题的方案，培养应用意识和模型思想，提高解决实际问题的能力．
押题猜想十三 二次函数综合压轴题
1．【定义】
例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离．
【探索】
当与x轴平行时，，
当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1）___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？
2．【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上
3．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）求水池2面积的最大值；
（2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标．
4．【发现问题】
一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．
【提出问题】
碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式．
【解决问题】
(1)请你帮助小丽求出y与x的关系式；
(2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为时，求此时面碗中水的深度；
(3)小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与重合，直接写出此时面碗中水的最大深度．
5．嘉琪家里有一款高脚杯，她发现高脚杯的杯体可以近似看成抛物线．于是她开始进行测量，并画出了高脚杯的截面图（杯体厚度忽略不计）如图（1）．点是抛物线的顶点，．点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为20cm．嘉琪想借此考查一下对学过的知识掌握情况，于是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm），并提出了以下问题，你也来一起解决吧！
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向左平移3cm，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转30°，液面恰好到达点处（），如图（3）．
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
押题解读
二次函数综合应用中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形桥或桥洞问题等．函数与几何图形动态探究题也是常考题，这类题型属于开放探究题，考查学生综合探究、几何直观和数学运算能力，在综合探究过程中，培养严谨的逻辑思维和分类讨论的思想，逐步体会分类的方法和原因，逐步提高发现和提出问题以及分析和解决问题的能力．今年预计新型阅读理解题型会可能性会更大，但是最值还是考察二次函数的应用，主要看如何把实际和知识结合。
押题猜想十四 几何综合压轴大题
1．综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．
【观察发现】
(1)在P、Q运动的过程中．
①和的度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
【探究迁移】
(2)如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．
①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
(3)如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．
2．（1）①如图1，等腰（为底）与等腰（为底），，则与的数量关系为______；
②如图2，矩形中，，，则______；
（2）如图3，在（1）②的条件下，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接.当时，求的长度；
（3）如图4，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，中点为，中点为，若，求.
3．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
4．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：
①若，请判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求，两点间的距离．
拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．
押题解读
中考几何压轴题的解题方法主要包括：数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，相似与全等的运用，动态几何分析。此外，解决中考几何压轴题的方法还有解析法、函数法等。在解决这些题目时，重要的是要理解题目的基本原理和考察点，然后运用相应的数学思想和方法进行解答。同时，保持清晰的思路和严谨的计算推理也是关键。
押题猜想十五 统计和概率综合题
1．【问题提出】
在一次课外活动中，小明为了探究人类记忆曲线的变化情况，决定通过让小组成员背单词的方法进行研究分析．
【收集数据】小明让小组的8位同学在一天内背诵6个单词．为了确保实验的准确性，小明没有让同学们在课余时间对单词进行复习．第2天课下，小明对单词记忆情况进行了调查，绘制统计图如下（如图1，其中横轴代表小组人员编号，纵轴代表记忆单词数量）；
【分析数据】
（1）小明统计小组成员单词记忆情况的方式为_________（选填“普查”“抽样检测”或“假设分析”）；
（2）小组成员记忆单词数量的极差为____________；
（3）求小组成员记忆单词数量的平均数和方差；
（4）若学校有1000人，估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数；
【统计总结】
小明连续收集了7天同学们对于第一天单词的记忆数量，经过统计后，取合适的自变量和因变量在坐标系中通过描点连线的方法绘制图象如下图（图中横轴代表天数，纵轴代表遗忘速度）：
（5）根据小明绘制的图象简图，请你对于记忆单词给出一点建议（要求：结合函数图象，且不多于50字）
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押题解读
统计初步与概率当中常考的基础内容平均数，总体，个体，样本，样本容量，平均数，总体平均数，中位数，方差，频率分布，随机事件及其可能性，概率的意义及表示方法，用树形图和列表法求概率的方法等。这些基础的考点对于概念以及意义的理解都是比较基础的内容，但是其出错率也比较高，其原因就是对于概念的理解，很多同学觉得非常简单，并不放在心上，很容易就出现差错。
