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2024年中考数学名师押题猜想（北京专用）
押题猜想一 函数的应用 1
押题猜想二 三角形综合 4
押题猜想三 推理与论证 7
押题猜想四 实数混合运算 9
押题猜想五 解不等式组 11
押题猜想六 数据分析 12
押题猜想七 方程的应用 18
押题猜想八 一次函数的相关知识 22
押题猜想九 平行四边形的性质与判定 24
押题猜想十 二次函数的性质 27
押题猜想十一 圆的相关知识 30
押题猜想十二 三角形的旋转相关问题 33
押题猜想十三 圆的综合题 38
押题猜想一 函数的应用
1．“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
2．如图，等边三角形ABC边长为20cm，点D在边AB上（不与A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E．当BD＝x cm时，△ADE的周长比△ABC的周长减少了y1cm面积减少了y2cm2，当x在一定范围内变化时，y1和y2都随x的变化而变化，则y1与x，y2与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
3．如图，定点C在∠AOB的边OB上，动点P从点O向点C运动，运动时间为t，过点P作弧PQ，交边OA于点Q．若弧PQ的长为l，扇形POQ的面积为S，则l与t，S与t之间满足的函数关系式分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，正比例函数关系
押题解读
本考点为近几年大热门考点，均为选择题的形式考查，从近些年的考查来看，难度中等不难，但作为选择题的最后一题不排除再次考查时会难度加强。重点掌握相关几何知识，根据题意列出相应关系式，再根据对应函数定义判断属于哪个类型的函数关系式，此类型试题考查应属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，把分数收入囊中。
1．某市煤气公司要在地下修建一个容积为102立方米的圆柱形煤气储存室．记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米﹣当h，在一定范围内变化时．S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，二次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝10．点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），过点P作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP＝x，BQ的长为y，△BPQ的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
3．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B．以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S．则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．正比例函数关系，二次函数关系
4．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x．S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
押题猜想二 三角形综合
1．如图，△ABC为等腰直角三角形，BF平分∠ABC，交AC于点F，AD⊥BF交BF的延长线于点D，交BC的延长线于点E，CG⊥BF于点G；下列结论：①；②；③DE﹣CG＝GF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
2．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF交于点I，AE交BC于点E，BF交AC于点F，连接IC．过点I作ID⊥BC于点D，若ID＝h，AB＝c，AC＝b，BC＝a，现给出以下结论：
①∠ACI＝∠BCI；
②∠BIC＝90°+∠BAC；
③；
④当∠ACB＝60°时，AF+BE＝AB；
⑤当∠ACB＝90°时，；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，给出下列结论：①AB＝MG．②S△ABC＝S△AFN．③过点B作BI⊥EH于点I，延长IB交AC于点J，则AJ＝CJ．④若AB＝2，则EH2+FN2＝20．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
押题解读
本考查题型为去年中考新出现的题型，作为选择题的形式考查，从去年的考查来看，难度不会很难，但作为选择题的最后一题，其计算量以及推理量会比较大，根据学生的畏难心理，遇到此类型试题容易慌张。解答此类型试题要重点掌握相关几何知识，根据图形及条件分析推理其中的数量关系及相应的位置关系，由于是选择题不需要书写过程，能分析得出结论即可，速度要快，各位考生在答题的时候要仔细、认真，计算更是要精细，以免由于计算出错导致丢分，要尽可能的把分数收入囊中。
1．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，四边形ABCD的面积是8，有如下结论：①∠B+∠D＝90°；②BC＝2；③AC＝4；④BC+CD＝4．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF；⑤若AE＝4，CE＝2，则．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：
①∠APB＝45°；
②PF＝PA；
③DG＝AP+GH；
④BD﹣AH＝AB．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
4．已知如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD和BE相交于点F，连接CF有下列结论：
①AD＝BE； ②CF平分∠ACE； ③AD⊥BE；④连接AE、BD，若AC＝1，DC＝2，则BD2+AE2＝10．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
押题猜想三 推理与论证
1．我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．
如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小颖 a 26
小睿 b c 12
小涵 b 10
根据题中所给的信息，下列说法正确的是 （填序号）．
①可求得a+b+c＝8；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
2．如图是深中初中部美丽校园的一景，黄馨同学上学时走过两段楼梯，其中第一段有5个阶梯，第二段有10个阶梯．如果每步只允许走一个或两个阶梯，那么黄馨同学有 种方法走完第一段楼梯，有 种方法走完第二段楼梯．
3．如图，蚂蚁在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从点A到点B只能沿图中的线段爬，且只沿着向点B的方向前进（即向右、向上、向右上的方向），那么蚂蚁从点A到点B的爬行路程可能为 ，最短路程的走法有 种．
押题解读
推理与论证可与数据分析、概率及方程，几何等各方面的知识结合考查，去年以填空题的形式考查，设置两个空，难度偏中等，由于能结合其他知识一起考查，所以其考查形式会比较多样，若再次考查，难度可能会加强，但总体难度应该在中等附近。分析时保持头脑清醒，边分析边用笔记录，各位考生在解题的时候要更加仔细、认真，在此处应该尽可能避免失分。
1．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则乙同学手里拿的卡片的数字是 ，丙同学手里拿的卡片的数字是 ．
2．初三（1）班语文、英语、数学三门课测试，成绩优秀的分别有15、12、9名，并且这三门课中，至少有一门优秀的共有22名，那么三门课全是优秀的最多有 名，最少有 名．
3．下列结论：
①2是4的算术平方根；
②过一点作已知直线的平行线有且只有一条；
③从一袋黄豆中取出m粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出p粒黄豆，数出其中有n粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有粒；
④若2a+b＝4，﹣2≤b≤3，则z＝a﹣b的最大值是6；
其中错误的是 （填写错误结论的序号）．
押题猜想四 实数混合运算
1．计算：|﹣5|．
2．计算：（π﹣1）0+4sin60°﹣+|﹣3|．
3．计算：．
押题解读
本考点为中考必考点，难度较低，解题时要注意解答步骤的书写及运算顺序，避免小错误失分，此题属于易得分题，确保拿下。
1．计算：．
2．计算：．
3．计算：|﹣2|．
4．
押题猜想五 解不等式组
1．解不等式组：．
2．解不等式组：．
3．解不等式组．
押题解读
本考点为近些年中考的必考点，难度较低，解题时要注意解不等式组的步骤书写，在最后求结果时注意范围的选取：口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，避免小错误失分，此题亦属于易得分题，考生要确保拿下。
1．解不等式组：．
2．解不等式组：．
3．解不等式组：．
4．解不等式组：．
押题猜想六 数据分析
1．2023U.1．M．FI摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛将于4月底在郑州举行，本届比赛共有10支队伍参赛，届时将会向100多个国家和地区进行赛事转播，对放大国际顶级赛事综
合效应，提升郑州国际化城市形象具有积极意义，为积极响应城市号召，选拔学生志愿者，郑东新区某学校举办了以“摩托艇运动”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“摩托艇运动”相关知识的掌握情况，随机抽取80名学生的测试成绩（百分制，成绩取整数）并进行整理，数据分成6组，分别为40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．信息如下：信息1：80名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示：信息2：在70≤x＜80这一组的成绩是（单位：分）70，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，77，78，78，78，78，78，79；根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为 ；
（2）这次测试成绩的平均数是74.3分，小颖的测试成绩是76分，小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩．“你认为小亮的说法正确吗？请说明理由；
（3）请对该校学生对以“摩托艇运动”为主题的相关知识的掌握情况作出合理的评价．
2．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图；
b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是哪一位？
（3）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对谁的评价更一致？
3．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ ，n＝ ；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 （填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
押题解读
本考查题型基本属于必考题型，以解答题的形式考查，从近些年的考查来看，属于较易题，但在试题阅读理解上要稍加注意，以免由于理解错误导致出现解答错误。要掌握数据分析的相关知识，例如平均数，加权平均数，中位数，众数，方差等相关概念，同时使用数据进行分析解答，此类型试题考查在北京中考中属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，分析说明时一定要确保完整。
1．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况（七、八年级学生人数相同），某周从七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级 参加阅读人数
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 25 30 35 40 30
八年级 20 31 29 35 45
合计 45 61 64 75 75
（1）根据上述统计图表，八年级周一至周五平均阅读时间的中位数为 分钟；
（2）若七年级参加阅读人数的方差为，八年级参加阅读人数的方差为，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）．
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1200名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
2．6月5日是世界环境日，为了提高学生的环保意识，某校七、八年级举行了环保知识竞赛，全体学生参加比赛．为了解学生的答题情况，学校从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如下信息：
七、八年级各抽取的10名学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.5 87 m
八年级 85.5 n 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ．
（2）七、八年级各抽取的这10名学生成绩的方差分别记为、，请判断 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
（3）若规定成绩85分及以上为优秀，七、八年级各有200名学生，请估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的总人数．
3．某校七年级举行了知识竞赛活动．为了解全年级1200名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了m个参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．
知识竞赛成绩分组统计表
组别 分数/分 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 20
C 80≤x＜90 28
D 90≤x＜100 36
请根据图表信息解答以下问题：
（1）直接写出m和a的值；
（2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在的“组别”是 ；
（3）请你估计，该校全年级竞赛成绩低于80分的学生约有多少人？
4．第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，中国再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表．将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下：
a．10名学生代表200米自由泳所用时间（单位：秒）：
260，255，255，250，248，246，246，246，220，205
b．10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）：
平均数 中位数 众数
243.1 m n
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时少于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲、乙两位同学5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是 （填“甲”或“乙”），并说明理由；
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲同学日常训练用时/秒 246 255 227 266 236
乙同学日常训练用时/秒 246 255 239 240 250
②丙同学5次日常训练的用时（单位：秒）为240，255，249，240，241，他也想加入代表团，若只从日常训练平均用时的角度考虑，丙同学 （填“能”或“不能”）加入代表团．
押题猜想七 方程的应用
1．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽．
2．【综合实践】
主题：制作一个有盖长方体盒子．
操作：如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4dm，AD＝6dm，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子．
计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．
3．无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速．
4．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
押题解读
本考查题型在往年北京中考中偶有体现，从近些年有考查的年份来看，均设置在解答题中，难度也不大，初中阶段一共有四类方程。重点掌握列方程的步骤：审、设、列、解、验、答，要注意分式方程需要把检验过程书写在答案处，此类型试题考查难度不会大，是考生较易拿分的题。
1．清代诗人徐子云曾写过一首诗：
意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人．已知一共有364只碗，刚好能够用完．每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹．请问寺内一共有多少僧人？请解答上述问题．
2．闻喜花馍享誉全国，是闻喜人民用当地生产的优质小麦粉，经和面后，采用捏，搓，揉，拽，剪，贴等多道工艺，捏出花果、人物、鸟兽等栩栩如生的形象，再经过蒸制、晾晒、着色制作而成．某展览会上展销闻喜花馍，王阿姨购买了2个A型花馍和3个B型花馍共花费480元，李阿姨购买了3个A型花馍和2个B型花馍共花费520元，分别求出A型、B型花馍的单价．
3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映了城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝7.5米，在绿灯亮时，小明共用12.5秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.5倍，求小明通过AB时的速度．
4．如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？
押题猜想八 一次函数的相关知识
1．已知一次函数y＝kx+b，它的图象经过（1，﹣3），（4，6）两点．
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．
2．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点C（a，2）向右平移3个单位后恰好落在直线AB上，求a的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）在直线y＝﹣2x﹣2上，直线l经过点A，交y轴于点B（0，4）．
（1）求m的值和直线l的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在直线l上，点Q（t，y2）在直线y＝﹣2x﹣2上．若y1﹣y2＜0，求t的取值范围．
押题解读
本考查题型在往年北京中考基本属于必考题型，难度属于较基础偏中等类型，在初中的函数里面，一次函数的性质是属于比较好掌握，比较容易理解的函数知识，考生不光要熟悉一次函数的相关知识，更要会运用，解答上方能应对自如。此类型试题考查难度可大可小，但作为中间稍偏前面的解答题，难度设置不会过大，也可以作为考生较易得分的题，细心很重要。
1．如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），点A（﹣2，0）、点B（0，﹣1），点C的坐标是（0，2）．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）设点D（m，0）为x轴上一点，且，求点D的坐标．
2．如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣2，y2）在直线上，求y1﹣y2的最小值．
3．已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上．
（1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值．
（2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由．
4．设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）．
（1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
（2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值；
押题猜想九 平行四边形的性质与判定
1．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，连接EF，AC⊥EF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于点O，若E为AB中点，BD＝4，，求OE的长．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC于点E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AF，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
3．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．
押题解读
本题型是北京中考近些年的必考题型之一，难度不高，大多数是以基础+中等难度的题型，涉及到的知识比较多有平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质，锐角三角函数及三角形相关知识等；考查时一般设置2问，分别为图形的判定，数量关系的证明、线段的长度或面积的求解等问题。
1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
（1）求证：四边形BGDE是菱形；
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求CG的长．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E是AC的中点．过点A作AG∥BC，作射线DE交AG于点F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若BC＝12，，直接写出矩形ADCF的面积．
3．如图在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAB＝60°，且AB＝6，求OE的长．
4．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）求证：矩形DEFG为正方形；
（2）求证：CE+CG＝8．
押题猜想十 二次函数的性质
1．设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b，c是实数），其图象上有两点（1，m），（3，n），且图象的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值．
（2）点（x0，m）（x0≠1）在函数图象上，若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
3．如图，已知二次函数y＝﹣x2+ax+a+4的图象经过点P（﹣2，2）．
（1）求a的值和二次函数图象的顶点坐标．
（2）已知点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣3时，求n的值；
②当m﹣1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值﹣1，请结合函数图象求出m的值．
押题解读
本题型属于北京市中考的必考题型之一，也是重点考查中等难度题的重要题型，难度系数一般，重点复习函数的性质相关知识点；常见考查有确定二次函数的解析式，分析求解二次函数的图象与性质、探讨二次函数图象与系数的关系等，目前还未出现跟其他函数联合考查；复习要强化训练，积累解答经验，做到事半功倍。
1．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m．
（1）当m＝3时，求二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”；
（2）若二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，求m的值．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3．
（1）该抛物线经过一个定点： （写出坐标）；
（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．
①若N＝3，求k的值；
②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，设二次函数（a是常数）
（1）当a＝2时，求函数 y1 图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若函数y1图象经过点（1，p），（﹣1，q），求证：pq≤4；
（3）若a＜0，y2＝x﹣3a+1，y1，y2的图象交于点 （x1，m）（x2，n），（x1＜x2），设（x3，n）为y1图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
4．已知关于x的二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣4）．
（1）写出函数图象一定经过的两个定点的坐标．
（2）若二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣4）图象的顶点在第二象限，求a的取值范围．
（3）若当1＜x＜3时，y随着x的增大而减小，求a的取值范围．
押题猜想十一 圆的相关知识
1．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝1，求此圆直径的长．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E为以BD为直径的⊙O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD＝1，AC＝．
（1）求⊙O的周长；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，圆O为△ABC 的外接圆，弦BD⊥OC 于点F，交AC于点E，连结CD．
（1）求证：BE＝BC；
（2）若tan∠BCA＝3，EF＝2，求AB的长．
押题解读
本考点为近几年大热门考点，均为选择题的形式考查，从近些年的考查来看，难度中等不难，但作为选择题的最后一题不排除再次考查时会难度加强。重点掌握相关几何知识，根据题意列出相应关系式，再根据对应函数定义判断属于哪个类型的函数关系式，此类型试题考查应属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，把分数收入囊中。
该考点是高频考点，难度中等，考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点。
1．如图，四边形ADBC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，CE⊥BD于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若CH⊥AB于点H，求证：AH＝DE．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，CD．在上取一点F，使＝，连接BF，CF，BF与AC交于点G．
（1）试求∠ACD与∠ABC的数量关系；
（2）求证：CF∥AB；
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且AD平分∠BAC，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若，BC＝12，求BE的长．
押题猜想十二 三角形的旋转相关问题
1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，D是△ABC所在平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AD，BE，CE．
（1）如图①，当α＝60°时，线段BE与AD之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当α＝120°时，线段BE与AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图③，当α＝90°时，线段BE与AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明．
2．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．
（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；
（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．
3．观察猜想
（1）如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一动点，与点B不重合，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACE，那么CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ；
数学思考
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D、E为BC上两点，且∠DAE＝45°．求证：BD2+CE2＝DE2；
拓展延伸
（3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC，∠DAE＝60°，若以BD、DE、EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形，当BD＝2时，求DE的长．
押题解读
本题型为近几年热门考查题型，以解答题形式考查，从近些年的考查来看，难度属于较难，旋转类问题要能够认识图形的旋转变换，掌握添加辅助线的方法，常考的添加辅助线的方式有半角模型、手拉手模型和费马点问题等，基本上这种题型若不知道如何去添加辅助线的话是很难解决问题的，辅助线添加上去整个题就能一目了然，所以重点是加强训练，掌握方法，积累经验。
1．如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．
（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系 ；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A到直线PB的距离．
2．【问题情境】
在综合实践活动课上，马老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△AD′C′，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AD＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为a（0°≤a≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当a＝60°时，BC＝ ；
（2）当时，求a；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C绕着点A旋转一周，求点F的运动路径长．
3．综合与实践：
（1）实践操作：王老师让同学们先画出等边△ABC和等边△ADE，将△ADE绕点A旋转到某一位置，要求观察图形，提出问题并加以解决．
①如图1，“慎思组”的同学们连结BE、CD，则BE与CD有何数量关系？∠ADC与∠AEB有何数量关系？请说明理由；
②如图2，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连结BD，已知CD⊥AE，AE＝3，CD＝4，请你求出BD的长；
（2）类比探究：如图3，“智慧组”的同学们画出了等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C在DE上，请你直接写出CD、CE和BC之间的数量关系．
4．阅读与理解：
如图1是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（C和C1重合），其中∠ACB＝∠DCE＝90°且AC＞DC．
操作与证明：
（1）如图2，连结AE，BD，点F是AE的中点，连接CF，解决下列问题：
①证明：△ACE≌△BCD；
②判断BD与CF的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
猜想与探索：
（2）如图3，固定△ABC不动，与此同时将△C1DE绕点C顺时针旋转α角，其中0＜α＜90°，即∠BCE＝∠ACD＝α，点F是AE的中点，其他条件不变．判断BD与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论．
押题猜想十三 圆的综合题
1．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点A（﹣2，0），B1（﹣，），B2（，﹣）．
①在点C1（﹣2，2），C2（﹣，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 ；
②若点C是弦AB2的“关联点”，求点C的坐标．
（2）已知点M（0，6），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接t的最小值和最大值．
2．对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（x1，y1），点Q（x2，y2），如果满足x1+y1＝x2+y2＝a，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”．如图，△ABC的顶点A（1，2），B（1，3），C（2，0）．⊙M的圆心M（3，2），半径是1．
（1）点C（2，0）的“关联距”是 ；
（2）BC边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标；
（3）N是⊙M上一个动点，若点N与△ABC边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围．
3．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（3，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值；
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边△BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为 ．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B，C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．
押题解读
本考查题型以压轴题的形式出现，难度比较大，年年都有考查，综合性强。在备考中，熟练掌握图形的基本性质及平面直角坐标系、函数等知识是解题的关键。复习时需加强压轴题型的总结和归纳，平时做题要深入理解，挖掘此类题型的解答方法，积累做题经验，争取拿到尽可能多的分数。
1．已知⊙C的圆心C（0，3），半径为2，一次函数y＝kx+b经过点A（﹣1，0）且与⊙C交于P、Q两点，M是PQ的中点，且直线PQ与直线m：y＝一x一2相交于点N．
（1）当直线PQ经过点C时，求点N的坐标；
（2）当PQ＝2时，求一次函数的表达式；
（3）AM AN是定值吗，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．
2．【问题提出】
如图1，⊙O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙O于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙O关于直线a的“远点”，把PQ PH的值称为⊙O关于直线a的“远望数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的⊙O关于直线m的“远点”坐标是 （0，﹣1），直线m向下平移3或5个单位长度后与⊙O相切；
（2）在（1）的条件下求⊙O关于直线m的“远望数”；
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点，与y轴交于点N，点F坐标为（1，2），以F为圆心，OF为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，O是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“远望数”是，求直线l的函数表达式．
3．已知点P（a，b）（a＞b＞0），过点P作PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，以P为圆心，PB长为半径作圆交PA于点C，连接OC并延长交⊙P于点Q．
（1）当点B、P、Q在同一条直线上时．
①如图1，点C是否为线段AP的中点？若是，请证明；若不是，请说明理由；
②如图2，连接OP、BC，两线交于点D，当a＝4，b＝2时，求CD的长；
（2）如图3，点M为线段OC上一动点，过点M作y轴的平行线，分别交OP、AP于点N、H．若（m为定值），试探究在点M运动的过程中，的值是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含m的代数式表示）；如果不是，请说明理由．
4．【阅读理解】在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x，y），N是线段OM上一点．对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（x≥0）或向左（x＜0）平移|x|个单位长度，再向上（y≥0）或向下（y＜0）平移|y|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，我们称点P'是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．
【解答问题】在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．
（1）若点M（2，0），点N是OM的中点，点P（3，0），则点P的“平移点”P'的坐标是 ，点P的“移对点”Q的坐标是 ；
（2）如图，点M（0，2），点N是OM的中点，点P（3，0）．在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若点M（x，y）是⊙O上一点，N是线段OM上一点，且ON＝，P是⊙O外一点，点Q为点P的“移对点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差．
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2024年中考数学名师押题猜想（北京专用）
押题猜想一 函数的应用 1
押题猜想二 三角形综合 6
押题猜想三 推理与论证 22
押题猜想四 实数混合运算 28
押题猜想五 解不等式组 30
押题猜想六 数据分析 32
押题猜想七 方程的应用 41
押题猜想八 一次函数的相关知识 46
押题猜想九 平行四边形的性质与判定 52
押题猜想十 二次函数的性质 61
押题猜想十一 圆的相关知识 68
押题猜想十二 三角形的旋转相关问题 79
押题猜想十三 圆的综合题 95
押题猜想一 函数的应用
1．“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而减小，符合一次函数关系．
故选：B．
2．如图，等边三角形ABC边长为20cm，点D在边AB上（不与A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E．当BD＝x cm时，△ADE的周长比△ABC的周长减少了y1cm面积减少了y2cm2，当x在一定范围内变化时，y1和y2都随x的变化而变化，则y1与x，y2与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】求出y1与x，y2与x满足的函数关系式，由一次函数定义，二次函数定义，即可判断．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵DB＝x，
∴AD＝AB﹣BD＝（20﹣x）cm，
∴△ADE周长＝3AD＝3（20﹣x）cm，
∵△ABC的周长＝3AB＝60cm，
∴y1＝60﹣3（20﹣x）﹣60＝3x，
∵△ADE的面积＝AD2＝（20﹣x）2，△ABC的面积＝AB2＝×202，
∴y2＝×202﹣（20﹣x）2＝﹣x2+10x，
∴y1与x，y2与x满足的函数关系分一次函数关系，二次函数关系．
故选：D．
3．如图，定点C在∠AOB的边OB上，动点P从点O向点C运动，运动时间为t，过点P作弧PQ，交边OA于点Q．若弧PQ的长为l，扇形POQ的面积为S，则l与t，S与t之间满足的函数关系式分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，正比例函数关系
【分析】设∠AOB＝n，根据题意得扇形半径OP＝t，然后根据弧长公式和扇形的面积公式列出表达式，进行判断即可．
【解答】解：设∠AOB＝n，
∵动点P从点O向点C运动，运动时间为t，弧长为l，
∴OP＝t，
∴＝，，
∴l与t之间满足的函数关系是正比例函数关系，S与t之间满足的函数关系式是二次函数关系，
故选：C．
押题解读
本考点为近几年大热门考点，均为选择题的形式考查，从近些年的考查来看，难度中等不难，但作为选择题的最后一题不排除再次考查时会难度加强。重点掌握相关几何知识，根据题意列出相应关系式，再根据对应函数定义判断属于哪个类型的函数关系式，此类型试题考查应属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，把分数收入囊中。
1．某市煤气公司要在地下修建一个容积为102立方米的圆柱形煤气储存室．记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米﹣当h，在一定范围内变化时．S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，二次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】根据圆的面积公式及圆柱体的体积公式可得答案．
【解答】解：根据题意得：
S＝，S＝πr2，
∴S与h是反比例函数关系，S与r是二次函数关系，
故选：A．
2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝10．点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），过点P作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP＝x，BQ的长为y，△BPQ的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】由等腰直角三角形的性质，求出y与x，S与x满足的函数关系，由一次函数定义，二次函数定义，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝10，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∵CP＝x，
∴PB＝10﹣x，
∴BQ＝＝﹣+10，
∴y＝﹣+10，
∴y与x是一次函数关系；
S＝PB2＝（10﹣x）2＝x2﹣10x＝50，
∴S与x是二次函数关系．
故选：A．
3．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B．以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S．则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．正比例函数关系，二次函数关系
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【解答】解：y＝5﹣t，属于一次函数关系，
S＝πt2，属于二次函数关系，
故选：C．
4．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x．S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】利用正方形周长公式及圆的周长公式可得y与x之间的函数关系式；利用大正方形面积与圆的面积之差即为阴影部分的面积可得S与x之间的关系式，然后根据一次函数和二次函数定义即可得出答案．
【解答】解：由题意可得y＝＝﹣+，S＝y2﹣πx2＝（﹣+）2﹣πx2，
则y是x的一次函数关系，S是x的二次函数关系，
故选：D．
押题猜想二 三角形综合
1．如图，△ABC为等腰直角三角形，BF平分∠ABC，交AC于点F，AD⊥BF交BF的延长线于点D，交BC的延长线于点E，CG⊥BF于点G；下列结论：①；②；③DE﹣CG＝GF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】提供角度计算证明BA＝BE，利用锐角三角函数和等腰直角三角形的性质可得①②正确，证明FC＝FT，△AFT是等腰直角三角形，再证明GF＝JE，CG＝DJ，可得③正确．
【解答】解：如图，过点F作FT⊥AB于T，过点C作CJ⊥AE于J．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE＝22.5°，
∵BD⊥AE，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴∠BAD＝∠BED＝67.5°，
∴BA＝BE，
∵BD⊥AE，
∴AD＝DE，
∵BF平分∠ABC，FT⊥AB，FC⊥BC，
∴FC＝FT，
∵∠FTA＝90°，∠FAT＝45°，
∴∠TAF＝∠TFA＝45°，
∴AT＝TF，
∴AF＝CF，
在△BCF和△ACE中，
，
∴△BCF≌△ACE（ASA），
∴CF＝CE，
∴tan∠ABF＝tan22.5°＝＝＝＝﹣1，故①正确；
∵AB＝AT+BT＝FC+BC＝FC+AC＝2FC+AF＝2FC+FC＝（2+）FC，故②正确；
∵CG⊥BD，CJ⊥AE，BD⊥AE，
∴∠CGD＝∠CJD＝∠GDJ＝90°，
∴四边形CGDJ是矩形，
∴∠GCT＝∠FCE＝90°，CG＝DJ，
∴∠GCF＝∠JCE，
在△CGF和△CJE中，
，
∴△CGF≌△CJE（AAS），
∴GF＝JE，
∵AD＝DE＝DJ+JE＝CG+FG，
∴DE﹣CG＝GF，故③正确，
∴正确的有①②③，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF交于点I，AE交BC于点E，BF交AC于点F，连接IC．过点I作ID⊥BC于点D，若ID＝h，AB＝c，AC＝b，BC＝a，现给出以下结论：
①∠ACI＝∠BCI；
②∠BIC＝90°+∠BAC；
③；
④当∠ACB＝60°时，AF+BE＝AB；
⑤当∠ACB＝90°时，；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】作IG⊥AC于点G，IH⊥AB于点H，由角平分线的性质得IF＝IH，ID＝IH，所以IF＝ID，则CI平分∠ACB，所以∠ACI＝∠BCI，可判断①正确；由∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，可推导出∠BIC＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC≠90°+∠BAC，可判断②错误；由IF＝IH＝ID＝h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，得S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝AB IH+BC ID+AC IF＝h（a+b+c），则h＝≠，可判断③错误；在AB上截取AL＝AF，连接IL，当∠ACB＝60°时，可证明∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝120°，则∠AIF＝∠BIE＝180°﹣∠AIB＝60°，可证明△AIL≌△AIF，则∠AIL＝∠AIF＝60°，所以∠BIL＝∠BIE＝60°，再证明△BIL≌△BIE，得BL＝BE，则AF+BE＝AL+BL＝AB，可判断④正确；当∠ACB＝90°时，则四边形IDCG是正方形，所以CG＝CD＝ID＝h，可证明Rt△AIG≌Rt△AIH，得AG＝AH，再证明Rt△BID≌Rt△BIH，得BD＝BH，可证明h＝，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，作IG⊥AC于点G，IH⊥AB于点H，
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴IF＝IH，
∵BF平分∠ABC交AC于点F，ID⊥BC于点D，
∴ID＝IH，
∴IF＝ID，
∴点I在∠ACB的平分线上，
∴CI平分∠ACB，
∴∠ACI＝∠BCI，
故①正确；
∵∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠BIC＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC≠90°+∠BAC，
故②错误；
∵IF＝IH＝ID＝h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∴S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝AB IH+BC ID+AC IF＝h（a+b+c），
∴h＝≠，
故③错误；
如图2，在AB上截取AL＝AF，连接IL，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵∠IAB＝∠BAC，∠IBA＝∠ABC，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠BAC+∠ABC）＝×120°＝60°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AIF＝∠BIE＝180°﹣∠AIB＝180°﹣120°＝60°，
在△AIL和△AIF中，
，
∴△AIL≌△AIF（SAS），
∴∠AIL＝∠AIF＝60°，
∴∠BIL＝∠AIB﹣∠AIL＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BIL＝∠BIE，
在△BIL和△BIE中，
，
∴△BIL≌△BIE（ASA），
∴BL＝BE，
∴AF+BE＝AL+BL＝AB，
故④正确；
如图3，∠ACB＝90°，
作IG⊥AC于点G，IH⊥AB于点H，则∠AGI＝∠AHI＝∠BHI＝∠BDI＝90°，
∵∠IGC＝∠IDC＝∠DCG＝90°，
∴四边形IDCG是矩形，
∵IG＝ID＝IH，
∴四边形IDCG是正方形，
∴CG＝CD＝ID＝h，
在Rt△AIG和Rt△AIH中，
，
∴Rt△AIG≌Rt△AIH（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△BID和Rt△BIH中，
，
∴Rt△BID≌Rt△BIH（HL），
∴BD＝BH，
∴CG+CD＝2h＝BC+AC﹣AG﹣BD＝BC+AC﹣（AH+BH）＝BC+AC﹣AB＝a+b﹣c，
∴h＝，
故⑤正确，
故选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，给出下列结论：①AB＝MG．②S△ABC＝S△AFN．③过点B作BI⊥EH于点I，延长IB交AC于点J，则AJ＝CJ．④若AB＝2，则EH2+FN2＝20．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据题意证明出△ACB≌△MCG（SAS），进而得到AB＝MG，即可判断①；过点F作FO⊥NA交NA延长线于点O，证明出△AFO≌△ABC（AAS），得到OF＝BC，然后利用三角形面积公式即可得到S△ABC＝S△AFN，即可判断②；过点A作AP⊥BJ交BJ的延长线于点P，过点C作CQ⊥BJ，证明出△ABP≌△BEI（AAS），得到AP＝BI，同理得到CQ＝BI，得到CQ＝AP，然后证明出△AJP≌△CJQ（AAS），得到AJ＝CJ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH＝2BJ，然后利用勾股定理证明出EH2＝AC2+4BC2，同理得到NF2＝4AC2+BC2，然后得到EH2+NF2＝5AB2＝20，即可判断④．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，
∴AC＝MC，BC＝GC，∠MCA＝∠GCB＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠MCG＝∠ACB＝90°
∴△ACB≌△MCG（SAS）
∴AB＝MG，故①正确；
如图所示，过点F作FO⊥NA交NA延长线于点O，
∵∠FAO+∠BAO＝∠CAB+∠BAO＝90°
∴∠FAO＝∠CAB
又∵∠O＝∠ACB＝90°，AF＝AB
∴△AFO≌△ABC（AAS）
∴OF＝BC
∵AN＝AC
∵，
∴S△ABC＝S△AFN，故②正确；
如图所示，过点A作AP⊥BJ交BJ的延长线于点P，过点C作CQ⊥BJ
∵∠ABP+∠BEI＝90°，∠EBI+∠BEI＝90°
∴∠ABP＝∠BEI
又∵∠P＝∠BIE＝90°，AB＝BE
∴△ABP≌△BEI（AAS）
∴AP＝BI
同理可证，△BCQ≌△HBI（AAS）
∴CQ＝BI
∴CQ＝AP
∵∠P＝∠CQJ＝90°，∠AJP＝∠CJQ
∴△AJP≌△CJQ（AAS）
∴AJ＝CJ，故③正确；
∵△ABP≌△BEI（AAS）
∴BP＝EI
∵△BCQ≌△HBI（AAS）
∴BQ＝HI
∵△AJP≌△CJQ（AAS）
∴PJ＝QJ
∵EH＝EI+HI＝PB+BQ＝PJ+QJ+BQ+BQ＝2BJ
∵AJ＝CJ
∴
∴
同理可证，NF2＝4AC2+BC2
∴EH2+NF2＝AC2+4BC2+4AC2+BC2＝5（AC2+BC2）＝5AB2＝5×22＝20，故④正确．
综上所述，正确的结论个数是4．
故选：D．
押题解读
本考查题型为去年中考新出现的题型，作为选择题的形式考查，从去年的考查来看，难度不会很难，但作为选择题的最后一题，其计算量以及推理量会比较大，根据学生的畏难心理，遇到此类型试题容易慌张。解答此类型试题要重点掌握相关几何知识，根据图形及条件分析推理其中的数量关系及相应的位置关系，由于是选择题不需要书写过程，能分析得出结论即可，速度要快，各位考生在答题的时候要仔细、认真，计算更是要精细，以免由于计算出错导致丢分，要尽可能的把分数收入囊中。
1．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，四边形ABCD的面积是8，有如下结论：①∠B+∠D＝90°；②BC＝2；③AC＝4；④BC+CD＝4．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④
【分析】根据四边形内角和等于360°可以判断①正确；延长CB至E，使BE＝CD，连接AC，AE，证明△ABE≌△ADC（SAS），可得AC＝AE，∠EAB＝∠CAD，证明△ACE是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可逐一进行判断．
【解答】解：在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠B+∠D＝360°﹣180°＝180°，故①错误；
如图，延长CB至E，使BE＝CD，连接AC，AE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AC＝AE，∠EAB＝∠CAD，
∵∠CAD+∠CAB＝90°，
∴∠EAB+∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴S△ACE＝四边形ABCD的面积＝8，
∴AC2＝8，
∴AC＝4，故③正确；
∴CE＝AC＝4，
∴BC+CD＝BC+BE＝CE＝4，故④正确；
∵BC≠BE，
∴BC≠2，故②错误；
综上所述：其中一定正确的是③④．
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF；⑤若AE＝4，CE＝2，则．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】由“ASA”可证△ACD≌△CBF，由“SAS”可证△BDM≌△BFM，利用全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵BF⊥BC，CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠CBF＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ACE＝∠BCF+∠ACE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCF，
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBF（ASA）；故①正确；
∴∠ADC＝∠F，CD＝BF，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴BD＝BF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠CBF＝90°，
∴∠FBM＝45°，
∴∠DBM＝∠FBM，
又∵BM＝BM，
∴△BDM≌△BFM（SAS），
∴∠BDM＝∠F，DM＝MF，
∴∠BDM＝∠ADC；故②正确；
∵DM＝MF，DB＝BF，
∴AB垂直平分DF，故④正确，
由题意无法证明△ACF是等边三角形，故③错误，
连接DF，如图所示：
∵CE⊥AD，AE＝4，CE＝2，
∴BC＝AC＝，
∵△BDM≌△BFM，
∴BD＝BF，CD＝BD＝BC＝，
∴DM＝FM，AD＝＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝1，
∵∠DBF＝90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝，
∴EF＝，
设DM＝FM＝x，则EM＝3﹣x，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴EM＝3﹣，
∴CM＝CE+EM＝2+，故⑤正确．
故选：B．
3．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：
①∠APB＝45°；
②PF＝PA；
③DG＝AP+GH；
④BD﹣AH＝AB．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义，non然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②证明△ABP≌△FBP（ASA）得出AB＝BF，AP＝PF，即可判断②；
③再利用角角边证明△AHP≌△FDP（AAS）全等，然后根据全等三角形对应边相等得到DF＝AH，从而得解；
④根据PF⊥AD，∠ACB＝90°，由三角形三条高所在直线交于一点可知可得AG⊥DH，然后求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，根据直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出④错误．
【解答】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，
∴，，
在△ABP中，∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP，
＝，
＝，
＝45°，故①正确；
∵PF⊥AD，∠APB＝45°
∴∠APB＝∠FPB＝45°，
∵PB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠FBP，
在△ABP和△FBP中
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴AB＝BF，AP＝PF；故②正确；
③∵PF⊥AD，∠ACB＝90°，即：DC⊥AH，PH⊥AD，
则由三角形三条高所在直线交于一点可知AG⊥DH，
∵AP＝PF，PF⊥AD，
∴∠PAF＝45°，
∴∠ADG＝∠DAG＝45°，
∴DG＝AG，
∵∠PAF＝45°，AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG＝AG，GH＝GF，
∴DG＝GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG＝AP+GH不成立，故③错误，
④∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°，
∴∠AHP＝∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH＝∠FPD＝90°，
在△AHP与△FDP中，
，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF＝AH，
∵BD＝DF+BF，
∴BD＝AH+AB，
∴BD﹣AH＝AB，故④正确；
综上所述①②④正确．
故选：D．
4．已知如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD和BE相交于点F，连接CF有下列结论：
①AD＝BE； ②CF平分∠ACE； ③AD⊥BE；④连接AE、BD，若AC＝1，DC＝2，则BD2+AE2＝10．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】根据全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，勾股定理即可得到正确的选项．
【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
故①正确；
过点C作CH⊥AD，CG⊥BE，
∵△ACD≌△BCE，
∴CH＝CG，
∴CF平分∠BFD，
∴∠BFC＝∠CFD，
假设CF平分∠ACE，
∴∠ACB+∠ACF＝∠DCE+∠FCE，
∴∠BCF＝∠DCF，
∴在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（ASA），
∴BC＝CD，
∵BC≠CD，
∴假设错误，
故②错误，
∵∠FEM＝∠CDM，∠FME＝∠CMD，∠EFM＝180°﹣（∠EMF+∠FEM），∠DCM＝180°﹣（∠CDM+∠DMC），
∴∠EFM＝∠DCM，
∵∠DCM＝90°，
∴∠EFM＝90°，
∴AD⊥BE，
故③正确；
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，AC＝1，DC＝2
∴在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝2，在Rt△DEC中，DE2＝EC2+CD2＝8，
∴在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝2，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝8，
∵在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，在Rt△BDF中，BD2＝BF2+DF2，
∴AE2+BD2＝EF2+AF2+BF2+DF2＝BF2+AF2+EF2+DF2＝2+8＝10，
故④正确；
∴正确的是①③④．
故选：D．
押题猜想三 推理与论证
1．我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．
如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小颖 a 26
小睿 b c 12
小涵 b 10
根据题中所给的信息，下列说法正确的是 （填序号）．
①可求得a+b+c＝8；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
【分析】首先根据每轮分别决出第1，2，3名（不并列），可得（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，所以a+b+c＝8，然后根据小涵的得分，推得a≥5；再根据a＞b＞c及b+c最小取3，可知a＝5，进而求出b和c的值，再逐项判断即可．
【解答】解：∵每轮分别决出第1，2，3名（不并列），
∴（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，
∴a+b+c＝8，选项①符合题意；
∵小涵的得分最高为6a，
∴6a≥26，
∵a为正整数，
∴a≥5，
∵a＞b＞c，且a，b，c均为正整数，
∴b、c的最小值分别为2、1，
∴b+c≥3，
∵a+b+c＝8，
∴a≤5，
又∵a≥5，
∴a＝5，b＝2，c＝1，选项④符合题意；
∵26＝5×5+1，
∴小涵5轮得第一，1轮得第三；
假设小睿有1轮获得第1名，
则小睿的得分至少是5+2+1+1+1+1＝11（分），与小睿实际得了10分不符，
∴小睿没有1轮获得第1名，小颖有1轮获得第1名，
∴选项②不符合题意；
∵12﹣5﹣2﹣1＝4（分），
∴小颖1轮得第一，2轮得第二，3轮得第三，
∴小睿4轮得第二，2轮得第三，
∴选项③符合题意，
综上，可得：说法正确的是①③④，
故答案为：①③④．
2．如图是深中初中部美丽校园的一景，黄馨同学上学时走过两段楼梯，其中第一段有5个阶梯，第二段有10个阶梯．如果每步只允许走一个或两个阶梯，那么黄馨同学有 种方法走完第一段楼梯，有 种方法走完第二段楼梯．
【分析】第i个台阶可以在第（i﹣1）个台阶的基础上，上一个台阶，也可以在第（i﹣2）个台阶基础上，上2个台阶，所以一共有i个台阶的方法数等于一共有（i﹣1）个台阶的方法数加上（i﹣2）个台阶的方法数，据此可得答案．
【解答】解：根据每步只允许走一个或两个阶梯，可得：
（1）当一共有1个台阶时，有1种方法；
（2）当一共有两个台阶时，有1+1＝2种方法，（即1﹣1，2）；
（3）当一共有三个台阶时，有1+2＝3种方法，（即1﹣1﹣1，1﹣2，2﹣1）；
（4）当一共有4个台阶时，有2+3＝5种方法，（即1﹣1﹣1﹣1，1﹣1﹣2，1﹣2﹣1，2﹣1﹣1，2﹣2）；
（5）当一共有5个台阶时，有3+5＝8种方法，（即1﹣1﹣1﹣1﹣1，1﹣1﹣1﹣2，1﹣1﹣2﹣1，1﹣2﹣1﹣1，1﹣2﹣2，2﹣1﹣1﹣1，2﹣1﹣2，2﹣2﹣1）；
根据规律可知：
（6）当一共有6个台阶时，有5+8＝13种方法；
（7）当一共有7个台阶时，有8+13＝21种方法；
（8）当一共有8个台阶时，有13+21＝34种方法；
（9）当一共有9个台阶时，有21+34＝55种方法；
（10）当一共有10个台阶时，有34+55＝89种方法；
故答案为：8，89．
3．如图，蚂蚁在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从点A到点B只能沿图中的线段爬，且只沿着向点B的方向前进（即向右、向上、向右上的方向），那么蚂蚁从点A到点B的爬行路程可能为 ，最短路程的走法有 种．
【分析】如图所示，根据线段的和差关系，勾股定理可求蚂蚁从点A到点B的爬行路程，再找出从A点到B点的最短距离的走法即可．
【解答】解：蚂蚁从点A到点B的爬行路程可能为3+2＝5，2++1＝+3，+1＝2+1，
根据题意得出最短路程如图所示，
则从A点到B点的最短路程的走法有3种．
故答案为：5，+3，2+1；3．
押题解读
推理与论证可与数据分析、概率及方程，几何等各方面的知识结合考查，去年以填空题的形式考查，设置两个空，难度偏中等，由于能结合其他知识一起考查，所以其考查形式会比较多样，若再次考查，难度可能会加强，但总体难度应该在中等附近。分析时保持头脑清醒，边分析边用笔记录，各位考生在解题的时候要更加仔细、认真，在此处应该尽可能避免失分。
1．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则乙同学手里拿的卡片的数字是 ，丙同学手里拿的卡片的数字是 ．
【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．
故答案为：1和3，5和10．
2．初三（1）班语文、英语、数学三门课测试，成绩优秀的分别有15、12、9名，并且这三门课中，至少有一门优秀的共有22名，那么三门课全是优秀的最多有 名，最少有 名．
【分析】语文、英语、数学三门课优秀的分别有15、12、9名，里面都含有一门、两门或三门优秀的和不优秀的人数，至少有一门优秀的共有22名，也包含有一门、两门或三门优秀的人数，因此按最糟情况优秀的最少0人，按最好情况考虑由容斥原理解答即可．
【解答】解：语文、英语、数学三门课优秀的分别有15、12、9名三个数相加，相当于把三门优秀的数了3次，至少有一门优秀的共有22名，把三门优秀的数了1次，由容斥原理得，
（15+12+9）﹣22＝14，14÷2＝7名；
如图，
由图直接看出三门课全是优秀的最多有7名，最少有0名．
故答案为7、0．
3．下列结论：
①2是4的算术平方根；
②过一点作已知直线的平行线有且只有一条；
③从一袋黄豆中取出m粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出p粒黄豆，数出其中有n粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有粒；
④若2a+b＝4，﹣2≤b≤3，则z＝a﹣b的最大值是6；
其中错误的是 （填写错误结论的序号）．
【分析】利用算术平方根，平行线的判定、染色问题以及不等式的性质作答．
【解答】解：①2＝，4＝，而＝，所以2不是4的算术平方根，原说法错误；
②过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，原说法错误；
③依题意得，估计这袋黄豆：m÷＝（粒），原说法正确；
④由2a+b＝4得到：a＝，则：
z＝a﹣b＝﹣b＝2﹣．
∵﹣2≤b≤3，
∴﹣≤﹣≤3，
∴﹣≤2﹣≤5．
∴﹣≤z≤5．
∴z＝a﹣b的最大值是5，原说法错误．
综上所述，错误的是①②④．
故答案为：①②④．
押题猜想四 实数混合运算
1．计算：|﹣5|．
【分析】利用特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可．
【解答】解：原式＝4×+1+5﹣2
＝2+1+5﹣2
＝6．
2．计算：（π﹣1）0+4sin60°﹣+|﹣3|．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（π﹣1）0+4sin60°﹣+|﹣3|
＝
＝1+2﹣2+3
＝4．
3．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣1+2+1﹣2×
＝﹣1+2+1﹣
＝．
押题解读
本考点为中考必考点，难度较低，解题时要注意解答步骤的书写及运算顺序，避免小错误失分，此题属于易得分题，确保拿下。
1．计算：．
【分析】利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝2×+9+2﹣
＝+9+2﹣
＝11．
2．计算：．
【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣+2×+1
＝﹣1+2﹣++1
＝2．
3．计算：|﹣2|．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：原式＝4×+3+2﹣
＝2+3+2﹣
＝5．
4．．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝3﹣2﹣（2﹣）+2×
＝3﹣2﹣2++
＝2﹣1．
押题猜想五 解不等式组
1．解不等式组：．
【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞1；
解不等式②，得 x＜5；
∴原不等式组的解集为1＜x＜5．
2．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥2．
解不等式②，得x＜7．
故不等式组的解集是2≤x＜7．
3．解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x+1≥2（x﹣1），得：x≥﹣3，
解不等式＜1，得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜4．
押题解读
本考点为近些年中考的必考点，难度较低，解题时要注意解不等式组的步骤书写，在最后求结果时注意范围的选取：口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，避免小错误失分，此题亦属于易得分题，考生要确保拿下。
1．解不等式组：．
【分析】解组中各不等式，再借助数轴或口诀确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①，得x＜；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
2．解不等式组：．
【分析】先分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
3．解不等式组：．
【分析】首先分别解出每个不等式的解集，再找到解集的公共部分，即可得解．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
4．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为3＜x＜4．
押题猜想六 数据分析
1．2023U.1．M．FI摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛将于4月底在郑州举行，本届比赛共有10支队伍参赛，届时将会向100多个国家和地区进行赛事转播，对放大国际顶级赛事综
合效应，提升郑州国际化城市形象具有积极意义，为积极响应城市号召，选拔学生志愿者，郑东新区某学校举办了以“摩托艇运动”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“摩托艇运动”相关知识的掌握情况，随机抽取80名学生的测试成绩（百分制，成绩取整数）并进行整理，数据分成6组，分别为40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．信息如下：信息1：80名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示：信息2：在70≤x＜80这一组的成绩是（单位：分）70，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，77，78，78，78，78，78，79；根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为 ；
（2）这次测试成绩的平均数是74.3分，小颖的测试成绩是76分，小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩．“你认为小亮的说法正确吗？请说明理由；
（3）请对该校学生对以“摩托艇运动”为主题的相关知识的掌握情况作出合理的评价．
【分析】（1）根据中位数的概念求解即可，用成绩低于70分的人数除以总人数即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）∵这组数据的总个数为80，
∴这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而第40、41个数据分别为77、78，
∴这组数据的中位数是＝77.5，
成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为×100%＝35%，
故答案为：77.5，35%；
（2）小亮的说法错误，
因为小颖的测试成绩是76分，这组数据的中位数是77.5分，小颖成绩低于中位数，
所以小颖的成绩低于一半学生的成绩；
（3）成绩低于70分的人数占测试人数的百分比达到35%，
所以所以该校学生对以摩托艇运动”为主题的相关知识的掌握情况仍要加强（答案不唯一）．
2．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图；
b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是哪一位？
（3）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对谁的评价更一致？
【分析】（1）根据平均数的定义即可求解；
（2）根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论；
（3）计算甲、乙两位同学的方差，即可求解．
【解答】解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；
（2）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；
乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；
丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，
∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙；
（3）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，
乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，
∵S2甲＜S2乙，
∴评委对甲同学演唱的评价更一致．
3．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ ，n＝ ；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 （填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
【解答】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故m＝＝3.75；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；
故答案为：3.75；2.0；
（2）∵0.0424＜0.0669，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0，
∴B同学说法合理．
故答案为：②；
（3）∵11÷5.6≈1.96，
∴这片树叶更可能是荔枝树叶．
押题解读
本考查题型基本属于必考题型，以解答题的形式考查，从近些年的考查来看，属于较易题，但在试题阅读理解上要稍加注意，以免由于理解错误导致出现解答错误。要掌握数据分析的相关知识，例如平均数，加权平均数，中位数，众数，方差等相关概念，同时使用数据进行分析解答，此类型试题考查在北京中考中属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，分析说明时一定要确保完整。
1．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况（七、八年级学生人数相同），某周从七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级 参加阅读人数
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 25 30 35 40 30
八年级 20 31 29 35 45
合计 45 61 64 75 75
（1）根据上述统计图表，八年级周一至周五平均阅读时间的中位数为 分钟；
（2）若七年级参加阅读人数的方差为，八年级参加阅读人数的方差为，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）．
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1200名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
【分析】（1）根据中位数的定义即可得出答案；
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数；根据统计表中数据得出七年级参加阅读人数的平均数，再按照方差的计算公式计算即可；
（3）用抽样中七八年级周一至周五参加阅读的人数之和除以七八年级的抽样人数之和的5倍除以100%，再乘以1120，计算即可．
【解答】解：（1）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数为24；
故答案为：24；
（2）七年级参加阅读人数的平均数为：（25+30+35+40+30）÷5＝32，
七年级参加阅读人数的方差为：＝×[（25﹣32）2+（30﹣32）2+（35﹣32）2+（40﹣32）2+（30﹣32）2]＝26，
八年级参加阅读人数的平均数为：（20+31+29+35+45）÷5＝32，
八年级参加阅读人数的方差为：＝×[（20﹣32）2+（31﹣32）2+（29﹣32）2+（35﹣32）2+（45﹣32）2]＝66.4，
∴＜；
故答案为：＜；
（3） （人），
答：周一至周五平均每天约有960人进行阅读．
2．6月5日是世界环境日，为了提高学生的环保意识，某校七、八年级举行了环保知识竞赛，全体学生参加比赛．为了解学生的答题情况，学校从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如下信息：
七、八年级各抽取的10名学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.5 87 m
八年级 85.5 n 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ．
（2）七、八年级各抽取的这10名学生成绩的方差分别记为、，请判断 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
（3）若规定成绩85分及以上为优秀，七、八年级各有200名学生，请估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的总人数．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值；
（2）根据方差公式分别计算出和即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）七年级成绩中80分的最多有3个，所以众数m＝80，
将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，
所以中位数n＝＝86，
故答案为：80，86；
（2）∵由折线统计图可知，七年级学生中成绩的波动比八年级学生中成绩的波动大，
∴＞；
故答案为：＞；
（3）200×+200×＝280（人），
答：估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的总人数大约为280人．
3．某校七年级举行了知识竞赛活动．为了解全年级1200名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了m个参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．
知识竞赛成绩分组统计表
组别 分数/分 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 20
C 80≤x＜90 28
D 90≤x＜100 36
请根据图表信息解答以下问题：
（1）直接写出m和a的值；
（2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在的“组别”是 ；
（3）请你估计，该校全年级竞赛成绩低于80分的学生约有多少人？
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数m，再根据各组人数之和等于总人数可得a的值；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）总人数乘以样本中A、B组人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100，
则a＝100×16%＝16；
（2）所抽取的参赛学生成绩的中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在C组，
所以所抽取的参赛学生成绩的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）1200×＝432（人），
答：该校全年级竞赛成绩低于80分的学生约有432人．
4．第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，中国再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表．将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下：
a．10名学生代表200米自由泳所用时间（单位：秒）：
260，255，255，250，248，246，246，246，220，205
b．10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）：
平均数 中位数 众数
243.1 m n
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时少于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲、乙两位同学5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是 （填“甲”或“乙”），并说明理由；
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲同学日常训练用时/秒 246 255 227 266 236
乙同学日常训练用时/秒 246 255 239 240 250
②丙同学5次日常训练的用时（单位：秒）为240，255，249，240，241，他也想加入代表团，若只从日常训练平均用时的角度考虑，丙同学 （填“能”或“不能”）加入代表团．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）①分别计算二人5次日常训练的用时的平均值和方差，平均值小于248且方差更小（发挥越稳定）的更有可能加入代表团；
②设丙同学第5次训练的用时为t．令其5次训练用时的平均值小于248，列不等式并求解即可．
【解答】解：（1）m＝＝247，n＝246．
故答案为：247，246；
（2）①甲同学5次日常训练的用时的平均值为（246+255+227+266+236）÷5＝246，方差为[（246﹣246）2+（255﹣246）2+（227﹣246）2+（266﹣246）2+（236﹣246）2]÷5＝188.4；
乙同学5次日常训练的用时的平均值为（246+255+239+240+250）÷5＝246，方差为[（246﹣246）2+（255﹣246）2+（239﹣246）2+（240﹣246）2+（250﹣246）2]÷5＝84.4．
∵84.4＜188.4，
∴相对于甲，乙发挥更稳定．
故答案为：乙．
②甲同学5次日常训练用时的平均值为：
（246+255+227+266+236）÷5＝246，
方差为：
[（246﹣246）2+（255﹣246）2+（226﹣246）2+（266﹣246）2+（236﹣246）2]÷5＝188.4；
乙同学5次日常训练用时的平均值为：（246+255+239+240+250）÷5＝246，
方差为[（246﹣246）2+（255﹣246）2+（239﹣246）2+（240﹣246）2+（250﹣246）2]÷5＝36.4．
∵甲、乙两位同学日常训练的平均用时均少于10名学生代表中的一半学生，且36.4＜188.4．
∴乙发挥更稳定．
∴乙更有可能加入代表团，
故答案为：能．
押题猜想七 方程的应用
1．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽．
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为x m，然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求解即可．
【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度为x m，
由题意得，35+x＝2（15+x），
解得x＝5，
∴35+x＝40，15+x＝20，
∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．
2．【综合实践】
主题：制作一个有盖长方体盒子．
操作：如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4dm，AD＝6dm，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子．
计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．
【分析】设这个有盖长方体盒子的高为x dm，底面正方形的边长为y dm，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设这个有盖长方体盒子的高为x dm，底面正方形的边长为y dm，根据题意得：
，
解得，
故这个有盖长方体盒子的高为1dm，底面正方形的边长为2dm．
3．无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速．
【分析】设“云鸮”仿生飞行器的时速为x千米/小时，则“信鸽”仿生飞行器的时速为1.5x千米/小时，根据“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设“云鸮”仿生飞行器的时速为x千米/小时，则“信鸽”仿生飞行器的时速为1.5x千米/小时，
由题意得：﹣＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×20＝30，
答：“信鸽”仿生飞行器的时速为30千米/小时．
4．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
【分析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：（21﹣3x）米，宽度为：（8﹣2x）米，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，
由题意得（21﹣3x）（8﹣2x）＝60，
解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽度为2米．
押题解读
本考查题型在往年北京中考中偶有体现，从近些年有考查的年份来看，均设置在解答题中，难度也不大，初中阶段一共有四类方程。重点掌握列方程的步骤：审、设、列、解、验、答，要注意分式方程需要把检验过程书写在答案处，此类型试题考查难度不会大，是考生较易拿分的题。
1．清代诗人徐子云曾写过一首诗：
意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人．已知一共有364只碗，刚好能够用完．每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹．请问寺内一共有多少僧人？请解答上述问题．
【分析】设寺内有x名僧人，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设寺内有x名僧人，
由题意得+＝364，
解得：x＝624．
答：寺内一共有624名僧人．
2．闻喜花馍享誉全国，是闻喜人民用当地生产的优质小麦粉，经和面后，采用捏，搓，揉，拽，剪，贴等多道工艺，捏出花果、人物、鸟兽等栩栩如生的形象，再经过蒸制、晾晒、着色制作而成．某展览会上展销闻喜花馍，王阿姨购买了2个A型花馍和3个B型花馍共花费480元，李阿姨购买了3个A型花馍和2个B型花馍共花费520元，分别求出A型、B型花馍的单价．
【分析】设A型花馍的单价为x元，B型花馍的单价为y元．根据“王阿姨购买了2个A型花馍和3个B型花馍共花费480元，李阿姨购买了3个A型花馍和2个B型花馍共花费520元”找到等量关系，列出方程组，并解答即可．
【解答】解：设A型花馍的单价为x元，B型花馍的单价为y元，
根据题意，得．
解得．
答：A型花馍的单价为120元，B型花馍的单价为80元．
3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映了城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝7.5米，在绿灯亮时，小明共用12.5秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.5倍，求小明通过AB时的速度．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可．
【解答】解：设小明通过AB的速度为x米/秒，则通过BC的速度为1.5x米/秒，
由题意可得：+＝12.5，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，
答：小明通过AB的速度为1米/秒．
4．如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？
【分析】设BC的长为x米，则AB的长为米，根据菜地面积为48平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合墙长为10米，可确定矩形菜地的长，再将其代入中，即可求出矩形菜地的宽．
【解答】解：设BC的长为x米，则AB的长为米，
根据题意得：x ＝48，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
∵墙长10米，
∴x＝8，
∴＝＝6（米）．
答：当矩形菜地的长为8米，宽为6米时，菜地面积为48平方米．
押题猜想八 一次函数的相关知识
1．已知一次函数y＝kx+b，它的图象经过（1，﹣3），（4，6）两点．
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．
【分析】（1）把点（1，﹣3），（4，6）的坐标分别代入y＝kx+b，得到二元一次方程组，然后求得k、b的值，即可得到答案；
（2）根据k＞0，y随x的增大而增大，即可得出对应自变量取值范围函数值y的取值范围．
【解答】解：（1）把点（1，﹣3），（4，6）的坐标分别代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝3x﹣6．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣9；当x＝4时，y＝6，
∵k＞0，y随x的增大而增大，
∴当﹣1≤x≤4时，﹣9≤y≤6．
2．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点C（a，2）向右平移3个单位后恰好落在直线AB上，求a的值．
【分析】（1）把A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）分别代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程求出k与b的值，从而得到一次函数解析式；
（2）先求出点C（a，2）向右平移3个单位后坐标为（a+3，2），然后把（a+3，2）代入一次函数解析式，求出结果即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）代入y＝kx+b，
得，
解得：k＝﹣2，b＝1，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+1；
（2）点C（a，2）向右平移3个单位后坐标为（a+3，2），
∵点（a+3，2）在直线AB上，
∴2＝﹣2（a+3）+1，
解得：．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）在直线y＝﹣2x﹣2上，直线l经过点A，交y轴于点B（0，4）．
（1）求m的值和直线l的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在直线l上，点Q（t，y2）在直线y＝﹣2x﹣2上．若y1﹣y2＜0，求t的取值范围．
【分析】（1）先把A（﹣2，m）代入y＝﹣2x﹣2可求出m的值，则得到A（﹣2，2），然后利用待定系数法直线l的解析式；
（2）利用y1﹣y2＜0得到t+4﹣（﹣2t﹣2）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，m）代入y＝﹣2x﹣2得m＝﹣2×（﹣2）﹣2＝2，
∴A（﹣2，2），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，2），B（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+4；
（2）根据题意，y1＝t+4，y2＝﹣2t﹣2，
∵y1﹣y2＜0，
∴t+4﹣（﹣2t﹣2）＜0，
解得t＜﹣2，
即t的取值范围为t＜﹣2．
押题解读
本考查题型在往年北京中考基本属于必考题型，难度属于较基础偏中等类型，在初中的函数里面，一次函数的性质是属于比较好掌握，比较容易理解的函数知识，考生不光要熟悉一次函数的相关知识，更要会运用，解答上方能应对自如。此类型试题考查难度可大可小，但作为中间稍偏前面的解答题，难度设置不会过大，也可以作为考生较易得分的题，细心很重要。
1．如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），点A（﹣2，0）、点B（0，﹣1），点C的坐标是（0，2）．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）设点D（m，0）为x轴上一点，且，求点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可知点D在线段BC的垂直平分线上，求出点D的横坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），把点A（﹣2，0）、点B（0，﹣1）代入得：
，
解得，
∴直线AB的表达式为：；
（2），
∵，
∴S△ABD＝2S△ABC＝2×3＝6，
∴，
解得：m＝10或m＝﹣14，
∴点D的坐标为（10，0）或（﹣14，0）．
2．如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣2，y2）在直线上，求y1﹣y2的最小值．
【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可；
（2）将点PQ坐标代入解析式得到，再根据一次函数性质解答即可．
【解答】解：（1）把点A（2，m）代入 ，得 ，
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，把点 ，B（0，3）代入得：
，解得 ，
∴直线AB的函数表达式为 ．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣2，y2） 在直线 上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），y2＝2（t﹣2）﹣＝2t﹣，
∴，
∵，
∴y1﹣y2的值随x的增大而减小，
∴当 t＝2 时，y1﹣y2的最小值为4．
3．已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上．
（1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值．
（2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征即可得出n1＝km1+b、n2＝km2+b，二者做差即可得出n1﹣n2＝k（m1﹣m2），再结合m1＜m2即可求出k值；
（2）由m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，即可得出3kb+2b＝kb+4，用函数b的代数式表示出k值，根据b的取值范围即可得出k＜0，结合一次函数的增减性及m1＜m2即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴n1＝km1+b，n2＝km2+b，
∴n1﹣n2＝（km1+b）﹣（km2+b）＝k（m1﹣m2），
∵m1＜m2，
∴m1﹣m2≠0，
∴；
（2）n1＞n2，理由如下：
∵n1+n2＝（km1+b）+（km2+b）＝k（m1+m2）+2b
又∵n1+n2＝kb+4，
∴k（m1+m2）+2b＝kb+4，
∵m1+m2＝3b，
∴3kb+2b＝kb+4，
解得：，
∵b＞2，
∴，
∴一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小．
又∵m1＜m2，
∴n1＞n2．
4．设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）．
（1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
（2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值；
【分析】（1）把原式化为y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1的形式，令x+3＝0，求出y的对应值即可；
（2）分a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1，
当x＝﹣3时，y＝1，
∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点（﹣3，1）；
（2）当a＞0时，此函数是增函数，当x＝4时，最大值为6，
当x＝4时，一次函数y1＝4a+3a+1＝6，
解得，
当a＜0时，此函数是，减函数，当x＝2时，最大值为6
当x＝2时，一次函数y1＝2a+3a+1＝6，
解得a＝1（不合题意，舍去），
综上所述，．
押题猜想九 平行四边形的性质与判定
1．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，连接EF，AC⊥EF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于点O，若E为AB中点，BD＝4，，求OE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得∠CAD＝∠ACB，再证∠BAC＝∠DAC，得△ABC为等腰三角形即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD，再由锐角三角函数定义得OA＝OB＝1，则AB＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵AC⊥EF，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵tan∠ABD＝＝，
∴OA＝OB＝1，
∴AB＝＝＝，
若E为AB的中点，
则OE＝AB＝．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC于点E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AF，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出AE＝2，再由矩形的性质得FD＝AE＝2，∠ADF＝90°，然后由勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，且AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，BE＝1，
∵tan∠ABC＝，
∴AE＝2BE＝2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴FD＝AE＝2，∠ADF＝90°，
∵AD＝3，
∴AF＝＝＝．
3．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．
【分析】（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，根据正方形的性质得到∠ACB＝∠ACD．求得EG＝EH，根据矩形的性质得到∠GEH＝90°．∠DEF＝90°．根据全等三角形的性质得到ED＝EF．根据正方形的判定定理即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．根据全等三角形的性质得到AE＝CM．根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD．
∵EG⊥CD，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EGCH是矩形，
∴∠GEH＝90°．
∵四边形DEFM是矩形，
∴∠DEF＝90°．
∴∠DEG＝∠FEH．
∵∠EGD＝∠EHF＝90°，
∴△EGD≌△EHF（ASA），
∴ED＝EF．
∴矩形DEFM是正方形；
（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．
∴∠ADE＝∠CDM．
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴AE＝CM．
∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．
押题解读
本题型是北京中考近些年的必考题型之一，难度不高，大多数是以基础+中等难度的题型，涉及到的知识比较多有平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质，锐角三角函数及三角形相关知识等；考查时一般设置2问，分别为图形的判定，数量关系的证明、线段的长度或面积的求解等问题。
1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
（1）求证：四边形BGDE是菱形；
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求CG的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，可得BE∥DG，DE∥GB，由菱形的判定可证结论；
（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝6，DG∥EB，由直角三角形的性质可得CH＝DH＝3，HG＝DH＝3，即可求CG的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBG，
∵EG垂直平分BD，
∴DG＝BG，DE＝EB，
∴∠DBG＝∠GDB，∠ABD＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，
∴BE∥DG，DE∥GB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
又DE＝EB，
∴四边形BGDE是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形BGDE是菱形，
∴DE＝DG＝6，DG∥EB
∴∠ABC＝∠DGC＝30°，
又DH⊥BC，
∴DH＝3，HG＝DH＝3，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝3，
∴CG＝CH+HG＝3+3．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E是AC的中点．过点A作AG∥BC，作射线DE交AG于点F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若BC＝12，，直接写出矩形ADCF的面积．
【分析】（1）先证明△EAF≌△ECD（ASA），得AF＝CD，再证明四边形ADCF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝6，再由锐角三角函数的定义求出AD的长，然后由矩形的面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAF＝∠ECD，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△EAF和△ECD中，
，
∴△EAF≌△ECD（ASA），
∴AF＝CD，
∵AG∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝×12＝6，
∵tan∠B＝＝，
∴AD＝BD＝×6＝10，
∴S矩形ADCF＝AD CD＝10×6＝60．
3．如图在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAB＝60°，且AB＝6，求OE的长．
【分析】（1）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）根据四边形ABCD是菱形和∠DAB＝60°求得∠AOB＝90°，进而求得OB，AO、OC，再根据平行证明四边形DBEC是平行四边形，即可求出．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴DA＝DC，
∵DA＝AB，
∴AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∵∠DAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∵AB＝6，
∴，
∵，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴，
∴；
4．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）求证：矩形DEFG为正方形；
（2）求证：CE+CG＝8．
【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝8．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）证明：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×4＝8，
押题猜想十 二次函数的性质
1．设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b，c是实数），其图象上有两点（1，m），（3，n），且图象的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值．
（2）点（x0，m）（x0≠1）在函数图象上，若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【分析】（1）由c＝2可得抛物线与y轴的交点坐标，由m＝n可得点（1，m），（3，n）关于抛物线对称轴对称，从而可得答案；
（2）再根据m＜n＜c，可确定出3a＜﹣b＜4a，结合2a＞0，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线x＝，进而可确定x0的取值范围．
【解答】解：（1）∵c＝2，
∴抛物线为：y＝ax2+bx+2（a＞0），
∴当x＝0，则y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，2），
∵m＝n，
∴点（1，m），（3，n）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝t＝＝2．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，而2a＞0，
∴，即＜t＜2，
∵点（1，m），（x0，m）（x0≠﹣1）在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴＜＜2，
解得：2＜x0＜3，
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，解得≤t≤3．
【解答】解：（1）①∵t＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2，
∴点A（﹣1，m）到对称轴的距离大于点B（3，n）到对称轴的距离，
∴m＞n；
（2）由题意可知，点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，
∵3＜x0＜4，都有m＞p＞n，
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴，解得≤t≤3，
∴t的取值范围是≤t≤3．
3．如图，已知二次函数y＝﹣x2+ax+a+4的图象经过点P（﹣2，2）．
（1）求a的值和二次函数图象的顶点坐标．
（2）已知点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣3时，求n的值；
②当m﹣1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值﹣1，请结合函数图象求出m的值．
【分析】（1）把点P（﹣2，2）代入y＝﹣x2+ax+a+4，解得a的值并配方，得y＝﹣（x+1）2+3，即得二次函数图象的顶点坐标；
（2）①把m＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+2即可；②结合函数图象，即可得到当m﹣1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值﹣1时的m的值．
【解答】解：（1）将点P（﹣2，2）代入y＝﹣x2+ax+a+4，
得﹣4﹣2a+a+4＝2，解得a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+2，
配方，得y＝﹣（x+1）2+3，
∴顶点坐标为（﹣1，3）；
（2）解：①将x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+2，得y＝﹣9+6+2＝﹣1．
∴当m＝﹣3时，n＝﹣1．
②由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点（﹣3，﹣1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，﹣1），如解图所示：
根据函数图象，若满足当m﹣1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值﹣1，则m+3＝﹣3或m﹣1＝1，
∴m＝﹣6或m＝2．
押题解读
本题型属于北京市中考的必考题型之一，也是重点考查中等难度题的重要题型，难度系数一般，重点复习函数的性质相关知识点；常见考查有确定二次函数的解析式，分析求解二次函数的图象与性质、探讨二次函数图象与系数的关系等，目前还未出现跟其他函数联合考查；复习要强化训练，积累解答经验，做到事半功倍。
1．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m．
（1）当m＝3时，求二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”；
（2）若二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，求m的值．
【分析】（1）根据“零和点”的定义得：x+y＝0，然后解方程组y＝x2+3x+3，y＝﹣x即可得出答案；
（2）根据“零和点”的定义得：x+y＝0，当二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时，方程组组y＝x2+3x+m，y＝﹣x，只有一组实数解，消去y得x2+4x+m＝0，此时该方程有两个相等的实数根，最后根据方程的判别式Δ＝0即可求出m的值．
【解答】（1）当m＝3时，二次函数的解析式为：y＝x2+3x+3，
根据“零和点”的定义得：x+y＝0，
∴y＝﹣x，
解方程组，得：，
∴二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”为（﹣1，1）或（﹣3，3）．
（2）根据“零和点”的定义得：x+y＝0，
∵二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，
∴方程组只有一组实数解，
将y＝﹣x代入y＝x2+3x+m得：﹣x＝x2+3x+m，
整理得：x2+4x+m＝0，
∵方程组y＝x2+3x+m，y＝﹣x，只有一组实数解，
∴一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴判别式Δ＝42﹣4×1×m＝0，
解得：m＝4．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3．
（1）该抛物线经过一个定点： （写出坐标）；
（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．
①若N＝3，求k的值；
②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得到y＝x（x+k﹣2）+3，即可得到当x＝0时，y＝3，即可得出答案．
（2）①由二次函数图象的顶点公式可求得k值；
②已知k的取值范围，可求得顶点纵坐标的取值范围，也就得到N的取值范围．
【解答】（1）解：∵y＝x2+（k﹣2）x+3，
∴y＝x（x+k﹣2）+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴无论k取何值，抛物线经过（0，3）．
故答案为：（0，3）．
（2）①∵y＝x2+（k﹣2）x+3，a＝1＞0，
∴二次函数的图象是开口向上的，点P为顶点时的n最小，
∵N＝3，
∴，
解得k＝2，
答：k的值为2．
②∵﹣1＜k＜3，
∴0≤（k﹣2）2＜9，
∴﹣9＜﹣（k﹣2）2≤0，
∵，
∴．
答：N的取值范围为．
3．在平面直角坐标系中，设二次函数（a是常数）
（1）当a＝2时，求函数 y1 图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若函数y1图象经过点（1，p），（﹣1，q），求证：pq≤4；
（3）若a＜0，y2＝x﹣3a+1，y1，y2的图象交于点 （x1，m）（x2，n），（x1＜x2），设（x3，n）为y1图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
【分析】（1）把a的值代入二次函数解析式，利用配方法即可求出二次函数的对称轴和顶点坐标；
（2）根据二次函数的图象经过点（1，p），（﹣1，q），得出1﹣3a+1＝p，1+3a+1＝q，即p＝2﹣3a，q＝2+3a，然后求pq的值，根据非负数的性质判断pq≤4；
（3）先求出二次函数与一次函数的交点的横坐标，再根据y的值都为n得出点（x2，n）与（x3，n）关于二次函数的对称轴对称，从而求出x3的值，于是可得出结果．
【解答】（1）解：当a＝2时，二次函数为，
∵
＝x2﹣6x+9﹣9+1
＝（x﹣3）2﹣8，
∴对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，﹣8）；
（2）证明：∵函数y1的图象经过点（1，p），（﹣1，q），
∴1﹣3a+1＝p，1+3a+1＝q，
∴p＝2﹣3a，q＝2+3a，
∴pq＝（2﹣3a）（2+3a）＝4﹣9a2，
∵a2≥0，
∴9a2≥0，
∴4﹣9a2≤4，
即pq≤4；
（3）解：令y1＝y2，则x2﹣3ax+1＝x﹣3a+1，
整理得x2﹣（3a+1）x+3a＝0，
∴（x﹣3a）（x﹣1）＝0，
∵a＜0，x1＜x2，
∴x1＝3a，x2＝1，
∴n＝2﹣3a，
∵（x2，n），（x3，n）（x2≠x3）在二次函数图象上，
∴这两个点关于二次函数的对称轴对称，
∵二次函数的对称轴是，
∴，
∴，
∴x3＝3a﹣1，
∴x3﹣x1＝3a﹣1﹣3a＝﹣1．
4．已知关于x的二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣4）．
（1）写出函数图象一定经过的两个定点的坐标．
（2）若二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣4）图象的顶点在第二象限，求a的取值范围．
（3）若当1＜x＜3时，y随着x的增大而减小，求a的取值范围．
【分析】（1）由解析式可知当x＝4时，y＝0；当x＝0时，y＝4，即可得出函数y＝（ax﹣1）（x﹣4）的图象一定经过的两个定点（4，0），（0，4）；
（2）利用顶点公式求得顶点坐标，根据题意得出关于a的不等式，解不等式即可；
（3）讨论a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由y＝（ax﹣1）（x﹣4）可知，当x＝4时，y＝0；当x＝0时，y＝4，
∴函数y＝（ax﹣1）（x﹣4）的图象一定经过的两个定点（4，0），（0，4）；
（2）化简二次函数得y＝ax2﹣（4a+1）x+4，
∴顶点坐标为（，﹣），
∵顶点在第二象限，
∴，
知a＜0．
解 可得 ，
∴．
（3）由由y＝（ax﹣1）（x﹣4）可知二次函数与x轴的交点坐标为（，0），（4，0），
∴对称轴是直线x＝＝+2，
当a＜0时，二次函数的开口方向向下，若当1＜x＜3时，y随着x的增大而减小，
∴+2≤1，解得a≥﹣；
当a＞0时，二次函数的开口方向向上，若当1＜x＜3时，y随着x的增大而减小，
+2≥3，解得a≤．
∴a的取值范围为﹣≤a＜0或0＜a≤．
押题猜想十一 圆的相关知识
1．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝1，求此圆直径的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到＝，＝，得到BD是圆的直径，得到∠BAD＝90°；
（2）证明△ACD是等边三角形，求出∠BCF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出BD．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴＝，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°；
（2）∵＝，
∴AC＝CD，
∵AC＝AD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠CAD＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∴∠FBC＝60°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝90°，
∴∠F＝90°，∠BCF＝30°，
∴BC＝2BF＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝4，
∴圆的直径长是4．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E为以BD为直径的⊙O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD＝1，AC＝．
（1）求⊙O的周长；
（2）求证：AE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据题意推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质推出AB＝5，则⊙O的直径为4，根据圆的周长公式求解即可；
（2）连接OE，结合（1）等量代换得到∠AED＝∠ABE，根据圆周角定理及直角三角形的性质得出∠AED+∠BDE＝90°，结合等腰三角形的性质推出∠AEO＝90°，根据切线的判定定理即可得解．
【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝1，AC＝，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∴⊙O的周长＝4π；
（2）证明：连接OE，
由（1）得，＝，
∵AE＝AC，
∴＝，
∵∠DAE＝∠EAB，
∴△ADE∽△AEB，
∴∠AED＝∠ABE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠ABE+∠BDE＝∠AED+∠BDE＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠BDE＝∠OED，
∴∠OED+∠AED＝∠AEO＝90°，
∴AE⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，圆O为△ABC 的外接圆，弦BD⊥OC 于点F，交AC于点E，连结CD．
（1）求证：BE＝BC；
（2）若tan∠BCA＝3，EF＝2，求AB的长．
【分析】（1）证明△ABC∽△BEC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）求出CE的长，求出BC＝10，由（1）知，△ABC∽△BEC，得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD⊥OC，
∴，
∴∠CBE＝∠CAB，
又∵∠ECB＝∠BCA，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∵AB＝AC，
∴BE＝BC；
（2）解：∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵BD⊥OC，tan∠BCA＝3，EF＝2，
∴，
∴CF＝6，
∴，
设BC＝x，
∵BC2＝BF2+CF2，BF＝BE﹣EF＝x﹣2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
∴x＝10．
∴BC＝10，
由（1）知，△ABC∽△BEC，
∴，
∴，
∴．
押题解读
本考点为近几年大热门考点，均为选择题的形式考查，从近些年的考查来看，难度中等不难，但作为选择题的最后一题不排除再次考查时会难度加强。重点掌握相关几何知识，根据题意列出相应关系式，再根据对应函数定义判断属于哪个类型的函数关系式，此类型试题考查应属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，把分数收入囊中。
该考点是高频考点，难度中等，考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点。
1．如图，四边形ADBC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，CE⊥BD于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若CH⊥AB于点H，求证：AH＝DE．
【分析】（1）由圆内接四边形的性质推出∠CBE＝∠CAD，由圆周角定理得到∠CBH＝∠CAD，因此∠CBH＝∠CBE，即可证明BC平分∠ABE；
（2）连接CD，由AAS证明△ACH≌△DCE，推出AH＝DE．
【解答】证明（1）∵四边形ADBC内接于⊙O，
∴∠CBD+∠CAD＝180°，
∵∠CBE+∠CBD＝180°，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵＝，
∴∠CBH＝∠CAD，
∴∠CBH＝∠CBE，
∴BC平分∠ABE；
（2）连接CD，
∵CH⊥AB，CE⊥BD，
∴∠AHC＝∠E＝90°，
∵＝，
∴AC＝CD，
在△ACH和△DCE中，
，
∴△ACH≌△DCE（AAS），
∴AH＝DE．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，CD．在上取一点F，使＝，连接BF，CF，BF与AC交于点G．
（1）试求∠ACD与∠ABC的数量关系；
（2）求证：CF∥AB；
【分析】（1）由AB＝AC，得出∠ABC＝∠ACB，进而得出∠ABC＝∠ADB，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB+∠ABD＝90°，从而得出∠ACD+∠ABC＝90°；
（2）连接AF，DF，由DF＝AD得出BD垂直平分AF，从而得到AB＝BF，再证明∠ABF＝∠BFC，即可得出结论．
【解答】解：（1）∠ACD+∠ABC＝90°．理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ADB．
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°．
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD+∠ABC＝90°．
（2）证明：连接AF，DF，
，
∵DF＝AD，
∴BD垂直平分AF，
∴AB＝BF，
∴∠BAF＝∠AFB．
∵∠ACB＝∠AFB＝∠ABC，∠CAF＝∠CBF，
∴∠BAF﹣∠CAF＝∠ABC﹣∠CBF，
∴∠BAC＝∠ABF，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠ABF＝∠BFC，
∴AB∥CF．
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
【分析】（1）连接OD根据已知条件得到∠ODA＝∠DAC求得OD∥AE，进而得到OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接CD，BD，根据勾股定理得到CD＝CE，则＝，根据题意得到∠ECD＝∠B，∠ADB＝∠E，则△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是的⊙O的切线；
（2）解：连接CD，BD，
∵DE⊥AE，DE＝2CE，
∴∠E＝90°，
∴CD＝＝＝CE，
∴＝＝，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠ECD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠E，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝＝．
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且AD平分∠BAC，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若，BC＝12，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质推出OD⊥DE，由角平分线定义得到∠CAD＝∠BAD，由等腰三角形的性质推出∠ADO＝∠BAD，得到∠CAD＝∠ADO，推出OD∥AC，由圆周角定理推出AC⊥BC，得到OD⊥BC，即可证明BC∥DE；
（2）由平行线的性质推出∠ABC＝∠E，得到cos∠ABC＝cosE＝，求出AB＝15，得到OD＝OB＝AB＝7.5，由cosE＝＝，令DE＝4x，则OE＝5x，由勾股定理求出OD＝＝3x＝7.5，得到x＝2.5，因此OE＝5x＝12.5，即可求出BE＝OE﹣OB＝5．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE切圆于D，
∴OD⊥DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵AB是圆的直径，
∴∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD⊥DE，
∴BC∥DE；
（2）解：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠E，
∴cos∠ABC＝cosE＝，
∴＝，
∵BC＝12，
∴AB＝15，
∴OD＝OB＝AB＝7.5，
∵cosE＝＝，
∴令DE＝4x，则OE＝5x，
∴OD＝＝3x＝7.5，
∴x＝2.5，
∴OE＝5x＝12.5，
∴BE＝OE﹣OB＝5．
押题猜想十二 三角形的旋转相关问题
1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，D是△ABC所在平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AD，BE，CE．
（1）如图①，当α＝60°时，线段BE与AD之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当α＝120°时，线段BE与AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图③，当α＝90°时，线段BE与AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质可得出BE＝AD；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．证明△ADC∽△BEC．由相似三角形的性质可得出，则可得出结论；
（3）证明△ACD∽△BCE，得出，则可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴CD＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
故答案为：BE＝AD；
（2）．
证明：如图②，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，
∴∠ACB＝30°，．
∴AC＝2AH．
由勾股定理，得AH2+CH2＝AC2，
∴．
∴，
同理，
∵DC＝DE，∠CDE＝α＝120°，
∴∠DCE＝30°＝∠ACB，
∴∠DCA＝∠BCE．
∵，，
∴．
∴△ADC∽△BEC．
∴，
即．
（3）当α＝90°时，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴，
同理可得，，
∴，
∵∠BCE＝∠ACE+∠ACB，∠DCA＝∠ACE+∠DCE，
∴∠ECB＝∠DCA，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴BE＝AD．
2．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．
（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；
（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．
【分析】（1）在直角三角形中，利用30°所对的直角边是斜边的一半，设未知数，列方程可得AB的长，利用三角形中位线可得EF的长；
（2）先利用互余判断出∠MGC＝∠BDH，得到△CGM≌△BDH，再用三角形的外角得到∠CMH＝∠CHM，最后利用等腰三角形三线合一及三角形内角和定理可得结论．
【解答】（1）解：如图1，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得：，
x＝3或﹣3（舍），
∴AB＝2x＝6，
∵AC＝AB＝6，
∵点E、F分别为AB、BC边的中点，
∴EF＝AC＝3；
（2）证明：如图2，由旋转得：△ADB≌△AGC，
∴AG＝AD，∠AGC＝∠ADB＝90°，CG＝BD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADG+∠BDH＝90°，
∵∠AGD+∠MGC＝90°，
∴∠MGC＝∠BDH，
在GH上取一点M，使GM＝DH，
∴△CGM≌△BDH，
∴CM＝BH，∠GCM＝∠DBH，
∵∠CMH＝∠MGC+∠MCG，∠CHM＝∠BDH+∠DBH，
∴∠CMH＝∠CHM，
∴CM＝CH＝BH，
∵AC＝AB，
∴AH⊥BC，即∠AHB＝90°＝∠ADB，
∵∠AOD＝∠BOH，
∴∠DAH＝∠DBH．
3．观察猜想
（1）如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一动点，与点B不重合，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACE，那么CE、BD之间的位置关系为 ，数
