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第10章分式单元核心考点分类强化练（二十大类）
考点目录
一、分式定义的理解：分母中含有字母。 1
二、分式有无意义的条件. 1
三、分式值为0的条件：分子为0，且分母≠0. 2
四、难点:分式中的找规律。 2
五、分式值的取值范围与不等式（组）的融合。 3
六、分式的基本变形——分式的基本性质。 3
七、利用分式的基本性质与分式值的变化。 4
八、分式的加减——计算强化1 4
九、分式的混合运算：计算强化2 5
十、易错考点：分式的化简求值。 5
十一、难点：分式中的阅读——核心是找出例题中的方法。 6
十二、难点：分式中的新定义——化归思想。 7
十三、解分式方程——牢记三都原则：去分母，都要乘；去括号，都要乘；移动项，都变号。 8
十四、分式方程有增根：解=增根。 9
十五、分式方程无解：解 9
十六、易错考点：分式方程解的取值范围——隐含解≠增根。 9
十七、分式方程的应用一：销售与利润类。 10
十八、分式方程的应用二：工程类。 10
十九、分式方程的应用三：行程类。 11
二十、分式方程的应用四：方案设计与最大利润。 11
一、分式定义的理解：分母中含有字母。
1．在，，，，中，分式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列各式：，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在、、、、、中分式的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列各式中：，是分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、分式有无意义的条件.
5．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．当 时，分式无意义．
8．已知分式没有意义，则的值为 ．
三、分式值为0的条件：分子为0，且分母≠0.
9．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2或0 B．2 C． D．0或
10．如果分式的值等于0，那么m＝ ．
11．若分式的值为0，则x的值为 ．
12．若分式的值为，则的值为 ．
四、难点:分式中的找规律。
13．观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ．
14．已知（，且），，，…，则 ．
15．数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（ ）
A．升 B．升 C．0升 D．升
16．观察下列等式：
；①
；②
；③
…
(1)请写出第四个等式：_____________；
(2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
五、分式值的取值范围与不等式（组）的融合。
17．若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
19．若的值为非负数，则的取值范围是 ．
20．阅读材料：
解分式不等式
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或②
解①得：无解，解②得：
所以原不等式的解集是
(1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集
：________；：________；：________；
(2)解分式不等式：．
六、分式的基本变形——分式的基本性质。
21．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
24．若根据分式的基本性质，则M为（ ）
A． B． C． D．
七、利用分式的基本性质与分式值的变化。
25．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2024倍，则变化后分式的值（ ）
A．扩大为原来的值的2024倍 B．缩小为原来的值的
C．保持不变 D．比原来的值增多2024
26．将分式中的x，y的值都大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的一半 D．不变
27．将分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定
28．如果把分式中的、同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
八、分式的加减——计算强化1
29．计算：
(1)；
(2)．
30．计算
（1）
（2）
（3）
31．计算：
（1）＋＋；
（2）－x－1.
九、分式的混合运算：计算强化2
32．化简：．
33．计算：
34．化简：．
十、易错考点：分式的化简求值。
35．先化简，再求值：， 选一个你喜欢的a值代入求值．
36．先化简，再求值：，再从的范围内选取一个你喜欢的a值代入求值．
37．先化简：，再从中选一个合适的数作为a值代入求值．
38．先化简，再求值：，且满足，取一个值即可．
十一、难点：分式中的阅读——核心是找出例题中的方法。
39．阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
① ；② ；
(2)利用分离常数法，求分式的最大值．
(3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值．
40．如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式 ， ， ，故M为N的“差整分式”，“差整值” ．
(1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）；
① ， ， ② ， ， ③ ， ；
(2)已知分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值” ，
①求G所代表的代数式；
②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值；
41．阅读下列材料，回答问题：爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知，，求证：．
证明：令，，其中，，
作差得：
∵，
∴，，
∴
所以：．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，求证：；
(2)已知，试比较代数式与的大小．
42．（1）计算：；
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：填空
①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是________．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
十二、难点：分式中的新定义——化归思想。
43．阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”；
(2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”．
①__________（用含的式子表示）；
②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________；
(3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值．
44．定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．
(1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）；
(2)求分式的“美妙分式”；
45．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．求t的值．
46．定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”．
例如，分式与互为“3阶分式”．
(1)分式与___________互为“6阶分式”．
(2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”．
十三、解分式方程——牢记三都原则：去分母，都要乘；去括号，都要乘；移动项，都变号。
47．解方程：
(1)；
(2)
48．解方程
(1)
(2)
49．解方程：
(1)；
(2)．
十四、分式方程有增根：解=增根。
50．若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
51．关于的分式方程有增根，则 ．
52．若在解分式方程去分母时产生增根，则 ．
十五、分式方程无解：解
53．若关于的分式方程无解，则的取值是 ．
54．若关于x的方程无解，求 m 的值．
十六、易错考点：分式方程解的取值范围——隐含解≠增根。
55．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
56．若关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
57．关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
十七、分式方程的应用一：销售与利润类。
58．春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．
(1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)在运输和销售过程中，大樱桃损耗了，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6600元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？
59．某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
60．每年的月日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康，某校在爱眼日到来之际，计划购买、两类护眼用具，已知类护眼用具每个的价格比类护眼用具便宜元，且用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同，求、两类护眼用具的单价各是多少元？
十八、分式方程的应用二：工程类。
61．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．要求26天完成，在加固800米后，必须提高工作效率的才能按期完成，工程成本核算中，若加工效率高于120米/天，就需要提高人力成本，那么完成这项工程过程中，是否需要提高人力成本？请说明理由．
62．某服装厂准备生产400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成任务，问：采用新技术后每天生产服装多少套？
63．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
64．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
(2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
十九、分式方程的应用三：行程类。
65．甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍．
(1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？
(2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？
66．一辆汽车开往距离出发地 的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶 ， 后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度．
67．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小李开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程10千米的普通道路，路线包含快速通道，全程7千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？
二十、分式方程的应用四：方案设计与最大利润。
68．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进A型汽车的数量比用240万元购进B型汽车的数量少2辆．
(1)每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？
(2)该汽车销售中心购进A型和B型汽车共20辆，且A型汽车的数量不超过B型汽车的数量的2倍．已知A型汽车的售价为35万元，B型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最大，请求出最大利润和此时的购进方案．
69．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？
70．今年的河南中考体育加试将增加排球测试．某商店决定购进两种品牌的排球进行销售，已知每个A品牌排球的进价比每个B品牌排球的进价贵10元，用3000元购进A品牌排球的数量与用2500元购进B品牌排球的数量相同．
(1)求每个品牌排球的进价；
(2)如果该商店决定购进这两种品牌排球共100个，用于购买这100个排球的资金不超过5350元，那么该商店最多可购进A品牌排球多少个？
(3)若销售每个A品牌排球可获利润20元，每个B品牌排球可获利润15元，在第（2）问的条件下，如何进货可获利最大？最大利润是多少元？
试卷第8页，共38页中小学教育资源及组卷应用平台
第10章分式单元核心考点分类强化练（二十大类）
考点目录
一、分式定义的理解：分母中含有字母。 1
二、分式有无意义的条件. 2
三、分式值为0的条件：分子为0，且分母≠0. 3
四、难点:分式中的找规律。 3
五、分式值的取值范围与不等式（组）的融合。 5
六、分式的基本变形——分式的基本性质。 7
七、利用分式的基本性质与分式值的变化。 8
八、分式的加减——计算强化1 10
九、分式的混合运算：计算强化2 12
十、易错考点：分式的化简求值。 13
十一、难点：分式中的阅读——核心是找出例题中的方法。 14
十二、难点：分式中的新定义——化归思想。 19
十三、解分式方程——牢记三都原则：去分母，都要乘；去括号，都要乘；移动项，都变号。 23
十四、分式方程有增根：解=增根。 25
十五、分式方程无解：解 27
十六、易错考点：分式方程解的取值范围——隐含解≠增根。 27
十七、分式方程的应用一：销售与利润类。 29
十八、分式方程的应用二：工程类。 31
十九、分式方程的应用三：行程类。 33
二十、分式方程的应用四：方案设计与最大利润。 34
一、分式定义的理解：分母中含有字母。
1．在，，，，中，分式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：在，，，，中，分式有，，共有个，
故选：B．
2．下列各式：，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：、是分式，共有个，
故选：B．
3．在、、、、、中分式的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：在、、、、、中分式有、、，共3个，
故选：B．
4．下列各式中：，是分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
的分母中含有字母，因此是分式，分式共有3个．
故选：B
二、分式有无意义的条件.
5．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：代数式在实数范围内有意义，
，
解得：，
故选：C．
6．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，，
解得：，
故选：D．
7．当 时，分式无意义．
【答案】3
【详解】分式无意义
．
故答案为：3．
8．已知分式没有意义，则的值为 ．
【答案】
【详解】分式没有意义，
故，
解得，
故答案为：．
三、分式值为0的条件：分子为0，且分母≠0.
9．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2或0 B．2 C． D．0或
【答案】C
【详解】解：分式的值为零，
且，
解得：，
故选：C．
10．如果分式的值等于0，那么m＝ ．
【答案】
【详解】解：由题意得：且，
且，
的值为，
故答案为：．
11．若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】1
【详解】解：由题意可得，解得，
故答案为：1．
12．若分式的值为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：分式的值为，
，
解得：，
故答案为：．
四、难点:分式中的找规律。
13．观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ．
【答案】
【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得，
第个分式是．
故答案为：．
14．已知（，且），，，…，则 ．
【答案】/
【详解】根据规律可知，，
．
．
故答案为：．
15．数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（ ）
A．升 B．升 C．0升 D．升
【答案】A
【详解】解：∵
．
故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水．
故选：A．
16．观察下列等式：
；①
；②
；③
…
(1)请写出第四个等式：_____________；
(2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
【答案】(1)
(2)，详见解析
【详解】（1）解∶ ．
故答案为∶ ；
（2）解：第个等式是．
左边右边，
等式成立．
五、分式值的取值范围与不等式（组）的融合。
17．若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母，
∴，
解得．
故选：D．
18．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】解：若分式的值为正数，则（1）或（2），
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：
所以的取值范围是或，
故答案为：或．
19．若的值为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】解：根据题意得：或，
解得：或，
故答案为：或．
20．阅读材料：
解分式不等式
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或②
解①得：无解，解②得：
所以原不等式的解集是
(1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集
：________；：________；：________；
(2)解分式不等式：．
【答案】(1)；或；或；
(2)
【详解】（1）解：，
根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或②
解①得：，解②得：无解，
所以原不等式的解集是；
∴①或②，
解①得：，解②得：，
所以原不等式的解集是或；
，
∴①或②，
解①得：，解②得：，
所以原不等式的解集是或；
故答案为：；或；或；
（2）解：
∵，
∴，
整理得：，
即，
∴①或②
解①得：无解，解②得：，
∴原不等式的解集是．
六、分式的基本变形——分式的基本性质。
21．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A，，变形正确；
B，，变形错误；
C，，变形错误；
D，的分子和分母不能约分，，变形错误；
故选A．
22．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式值不一定相等，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意．
C．∵，当，，当时，，∴不一定等于，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意；
故选：B．
23．分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
24．若根据分式的基本性质，则M为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，
∴，
故选：D．
七、利用分式的基本性质与分式值的变化。
25．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2024倍，则变化后分式的值（ ）
A．扩大为原来的值的2024倍 B．缩小为原来的值的
C．保持不变 D．比原来的值增多2024
【答案】C
【详解】解：当分式中的，的值同时扩大为原来的2024倍时，
，
故变化后分式的值不变，
故选：．
26．将分式中的x，y的值都大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的一半 D．不变
【答案】D
【详解】解：∵将分式中的x，y的值都大为原来的3倍
∴得到
把的分子和分母同时除以3，即
故选：D
27．将分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定
【答案】C
【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为，
即分式的值保持不变，
故选：C．
28．如果把分式中的、同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】B
【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的4倍为，
∴该分式的值扩大为原来的4倍，
故选：B．
八、分式的加减——计算强化1
29．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
30．计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）2；（2）；（3）．
【详解】解：（1）
=
=
=2；
（2）
=
=
=
=；
（3）
=
=
=．
31．计算：
（1）＋＋；
（2）－x－1.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）原式=－＋
=－＋
=
=
=
=；
（2）原式=
=
=
=
=
=.
九、分式的混合运算：计算强化2
32．化简：．
【答案】
【详解】解：
．
33．计算：
【答案】
【详解】解：
．
34．化简：．
【答案】；
【详解】解：原式
．
十、易错考点：分式的化简求值。
35．先化简，再求值：， 选一个你喜欢的a值代入求值．
【答案】，当时，原式
【详解】解：
，
当时，原式
36．先化简，再求值：，再从的范围内选取一个你喜欢的a值代入求值．
【答案】，当时，原式；
【详解】解：
，
∵要使分式有意义，
∴，
∴且，
∵
∴当时，原式．
37．先化简：，再从中选一个合适的数作为a值代入求值．
【答案】，当时，原式＝1或当时，原式
【详解】解：原式
，
∵当，时，分式无意义，
∴当时，原式＝1或当时，原式．
38．先化简，再求值：，且满足，取一个值即可．
【答案】，当时，原式或当时，原式．
【详解】解：原式，
，
，
∵，且，，
∴可以取整数或，
∴当时，原式或当时，原式．
十一、难点：分式中的阅读——核心是找出例题中的方法。
39．阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
① ；② ；
(2)利用分离常数法，求分式的最大值．
(3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值．
【答案】(1)，；
(2)3
(3)18或12
【详解】（1）解：将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
①；
②．
故答案为：①；②
（2）解：，
，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当时，分母的值越大，分式的值越小，
当时，，
即当时，分式有最大值，最大值为3．
（3）解： ，，，
，
、均为非零整数，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的值为18或12．
40．如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式 ， ， ，故M为N的“差整分式”，“差整值” ．
(1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）；
① ， ， ② ， ， ③ ， ；
(2)已知分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值” ，
①求G所代表的代数式；
②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值；
【答案】(1)②
(2)①；②
【详解】（1），
A不是B的“差整分式”，
②，
A是B的“差整分式”，
③
；
A不是B的“差整分式”，
故答案为：②
（2）①分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值”，
，
，
②
，
x为正整数，且分式D的值为负整数
．
41．阅读下列材料，回答问题：爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知，，求证：．
证明：令，，其中，，
作差得：
∵，
∴，，
∴
所以：．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，求证：；
(2)已知，试比较代数式与的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：令，，其中，，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∴．
42．（1）计算：；
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：填空
①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是________．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）6；（2）任务一：①三，分式的基本性质；②五，去括号时没有变号；任务二：；任务三：见解析
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：三，分式的基本性质；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
任务二：正确的计算过程为：
，
故该分式化简后的正确结果为；
任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时可先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程；最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分式的基本性质进行变形等等．
十二、难点：分式中的新定义——化归思想。
43．阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”；
(2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”．
①__________（用含的式子表示）；
②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________；
(3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值．
【答案】(1)是，
(2)①；②
(3)c的值为4或16 ．
【详解】（1）解：A与B是互为“关联分式”，理由如下：
∵，
∴ ．
∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”；
（2）解：①∵，
∴
∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）
，
∵，
∴原式，
∴，即，
∴，
∴，
∵a，b为整数，
∴一定为5的约数，
∴或或1或5，
解得：或0或6或10，
∴或4或10或6，
∴或1，
∴c的值为4或16 ．
44．定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．
(1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）；
(2)求分式的“美妙分式”；
【答案】(1)②③
(2)或
【详解】（1）解：①，
②，
③，
故答案为：②③，
（2）设分式的“美妙分式”为，
则 ，
或，
①当时，
，
②当时，
，
答：分式的“美妙分式”为或.
45．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．求t的值．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）∵，
∴，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”；
（2）①∵，
∴，
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴，
∴，
∵分式D的值为正整数t．
∴或，此时x的值为1或0，
∵x为正整数，
∴t的值为2．
46．定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”．
例如，分式与互为“3阶分式”．
(1)分式与___________互为“6阶分式”．
(2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）∵，
∴分式与互为“6阶分式”．
故答案为：
（2）证明：∵正数x，y互为倒数，
∴，即 ，
∴
则分式与互为“5阶分式”；
十三、解分式方程——牢记三都原则：去分母，都要乘；去括号，都要乘；移动项，都变号。
47．解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【详解】（1）解：，
方程两边同乘以，
得：，
去括号，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）
方程两边同乘以，
得：，
去括号，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
48．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)原方程无解
(2)
【详解】（1）解：
，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：
，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
49．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【详解】（1）解： ，
方程两边都乘，得，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
十四、分式方程有增根：解=增根。
50．若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
去分母，得，
解得，
分式方程有增根，
，
，
，
解得，
故选A．
51．关于的分式方程有增根，则 ．
【答案】
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵分式方程有增根，
∴该分式方程增根为，
∴，
∴，
故答案为：．
52．若在解分式方程去分母时产生增根，则 ．
【答案】
【详解】解：
方程两边都乘，得
，
∵原方程增根为，
∴把代入整式方程，得，
故答案为．
十五、分式方程无解：解
53．若关于的分式方程无解，则的取值是 ．
【答案】1
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵分式方程无解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
54．若关于x的方程无解，求 m 的值．
【答案】或或
【详解】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
或或时原方程无解．
十六、易错考点：分式方程解的取值范围——隐含解≠增根。
55．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【详解】解：，
分式方程去分母得：，
即，
由分式方程的解为非负数，得到
，且，
解得：且，
故选：C．
56．若关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化为一，，
由题意得：，
，
，
，
故选：B．
57．关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：解得，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
十七、分式方程的应用一：销售与利润类。
58．春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．
(1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)在运输和销售过程中，大樱桃损耗了，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6600元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？
【答案】(1)大樱桃的进价是每千克50元，小樱桃的进价是每千克30元
(2)小樱桃的售价最少应为每千克45元
【详解】（1）解：设大樱桃的进价是每千克x元，则小樱桃的进价是每千克元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：大樱桃的进价是每千克50元，小樱桃的进价是每千克30元；
（2）由（1）可知，大、小樱桃的重量分别是（千克），
设小樱桃的售价为每千克m元，
依题意得：，
解得：，
∴m的最小值为45．
答：小樱桃的售价最少应为每千克45元．
59．某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
(2)①；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元
【详解】（1）解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）解：①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，根据题意得：
，
∴W与m的函数关系式为；
②∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得
∴（m为正整数）；
由①知，，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为466，
此时，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
60．每年的月日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康，某校在爱眼日到来之际，计划购买、两类护眼用具，已知类护眼用具每个的价格比类护眼用具便宜元，且用元购买的类护眼用具的个数与用元购买的类用具的个数相同，求、两类护眼用具的单价各是多少元？
【答案】类护眼用具的单价为元，类护眼用具的单价为元
【详解】解：设类护眼用具的单价为元，则类护眼用具的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：类护眼用具的单价为元，类护眼用具的单价为元．
十八、分式方程的应用二：工程类。
61．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．要求26天完成，在加固800米后，必须提高工作效率的才能按期完成，工程成本核算中，若加工效率高于120米/天，就需要提高人力成本，那么完成这项工程过程中，是否需要提高人力成本？请说明理由．
【答案】不需要提高人力成本，见解析
【详解】解：不需要提高人力成本，理由如下：
设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
即采用新的加固模式后每天加固河堤100米，
∵，
∴不需要提高人力成本．
62．某服装厂准备生产400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成任务，问：采用新技术后每天生产服装多少套？
【答案】采用新技术后每天生产服装24套
【详解】解：设原来每天生产x套服装，则可表示采用新技术后每天生产服装套；
由题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
所以（套）
答：采用新技术后每天生产服装24套．
63．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米
(2)共需修建费用元
【详解】（1）解：设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，
依题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（千米），
∴甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米；
（2）解：设甲施工队单独修建天，
依题意，得，
解得，
∴甲施工队单独修建5天，
则（元），
∴共需修建费用元．
64．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
(2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米
(2)甲工程队所花费用较少；理由见解析
【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（天），
答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米．
（2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
乙工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
∵，
∴两个工程队都能在天内完成，
∵，
∴甲工程队所花费用较少．
十九、分式方程的应用三：行程类。
65．甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍．
(1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？
(2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？
【答案】(1)乙每小时行驶
(2)乙每小时行驶
【详解】（1）设甲每小时行驶，
由题意得：
解得，
则
答：乙每小时行驶；
（2）设甲每小时行驶，由题意得
解得
经检验，是原分式方程的根
答：乙每小时行驶
66．一辆汽车开往距离出发地 的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶 ， 后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度．
【答案】
【详解】解：设汽车原计划的行驶速度为，则提速后行驶速度为，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
∴汽车原计划的行驶速度为．
67．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小李开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程10千米的普通道路，路线包含快速通道，全程7千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？
【答案】走路线a的平均速度是30千米/时，走路线b的平均速度是42千米/时
【详解】解：设走路线的平均速度是千米时，则走路线的平均速度是千米时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米时）．
答：走路线的平均速度是30千米时，走路线的平均速度是42千米时．
二十、分式方程的应用四：方案设计与最大利润。
68．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进A型汽车的数量比用240万元购进B型汽车的数量少2辆．
(1)每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？
(2)该汽车销售中心购进A型和B型汽车共20辆，且A型汽车的数量不超过B型汽车的数量的2倍．已知A型汽车的售价为35万元，B型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最大，请求出最大利润和此时的购进方案．
【答案】(1)每辆B型汽车的进价为万元，则每辆A型汽车的进价为万元；
(2)该销售中心购进A型汽车13辆，B型汽车7辆，才能使售完这20辆汽车的总利润最大，最大利润是86万元．
【详解】（1）解：设每辆B型汽车的进价为万元，则每辆A型汽车的进价为万元，
依题意得，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
，
答：每辆B型汽车的进价为万元，则每辆A型汽车的进价为万元；
（2）解：设购进A型汽车x辆，售完这20辆汽车的总利润为y万元，
根据题意得购进B型汽车辆，
∵A型汽车的数量不超过B型汽车数量的2倍，
∴，
解得，
总利润，
∵比例系数，
∴y随x的增大而增大，
又x为正整数，
∴当时，y有最大值，最大值为，
此时B型汽车的数量为辆，
答：该销售中心购进A型汽车13辆，B型汽车7辆，才能使售完这20辆汽车的总利润最大，最大利润是86万元．
69．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？
【答案】(1)《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元；
(2)订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，最低总费用为1120元．
【详解】（1）解：设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元；
（2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，
根据题意得：，
解得：．
设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为（元，此时（本．
答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元．
70．今年的河南中考体育加试将增加排球测试．某商店决定购进两种品牌的排球进行销售，已知每个A品牌排球的进价比每个B品牌排球的进价贵10元，用3000元购进A品牌排球的数量与用2500元购进B品牌排球的数量相同．
(1)求每个品牌排球的进价；
(2)如果该商店决定购进这两种品牌排球共100个，用于购买这100个排球的资金不超过5350元，那么该商店最多可购进A品牌排球多少个？
(3)若销售每个A品牌排球可获利润20元，每个B品牌排球可获利润15元，在第（2）问的条件下，如何进货可获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每个A品牌排球的进价为60元，每个B品牌排球的进价为50元
(2)该商店最多购进A品牌排球35个可使购进100个排球的总费用不超过5350元
(3)购进A品牌排球35个，B品牌排球65个时，可获利最大，最大利润为1675元
【详解】（1）解：设每个A品牌排球的进价为x元，则每个B品牌排球的进价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
（元），
答：每个A品牌排球的进价为60元，每个B品牌排球的进价为50元．
（2）设该商店购进A品牌排球m个，
根据题意，得，
解得，且m为正整数，
答：该商店最多购进A品牌排球35个可使购进100个排球的总费用不超过5350元；
（3）设总利润为元，则
，
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，则最大利润为（元），
此时购进A品牌排球35个，B品牌排球（个）．
答：购进A品牌排球35个，B品牌排球65个时，可获利最大，最大利润为1675元．
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