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第12章 二次根式 全章热门考点专练（4个知识专题个2个思想方法专题）
【知识导图】
【知识清单】
知识专题
二次根式有意义的条件
【例题1】（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·广东湛江·期中）要使有意义，则的取值范围是 ．
【变式2】（22-23八年级下·江苏苏州·开学考试）（1）已知、为实数，且，求的平方根．
（2）已知实数满足，求的值．
【变式3】（22-23八年级下·福建福州·开学考试）已知
(1)求的值．
(2)求的值．
二次根式的性质
【例2】．（2024春 靖江市期中）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【变式1】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知是正整数，则自然数m的所有可能值的个数有 个．
【变式2】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求：
(1)x和y的值；
(2)的算术平方根．
【变式3】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．
二次根式的运算
【例题3】（22-23八年级下·云南楚雄·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）计算： ．
【变式2】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【变式3】（22-23八年级下·天津·阶段练习）计算
(2)；
最简二次根式
【例题4】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）把根式化简成最简二次根式，正确结果是（ ）
A． B． C．－ D．－
【变式1】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ．
【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算：．
【变式3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）把两个全等的含的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，求的长度．
思想方法专题
整体思想
【例题5】（2024八年级下·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ．
【变式1】（22-23八年级下·吉林松原·期中）如果，，那么 ．
【变式2】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值．
【变式3】（22-23八年级下·全国·单元测试）化简求值：
(1)，其中；
(2)已知，，求的值；
(3)已知，，求的值．
2.数形结合思想
【例题6】（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023八年级下·全国·专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
【变式2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
【变式3】（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示：
(1)若，，且x对应的点与z对应的点恰好关于y对应的点对称，求z的值．
(2)化简：中小学教育资源及组卷应用平台
第12章 二次根式 全章热门考点专练（4个知识专题个2个思想方法专题）
【知识导图】
【知识清单】
知识专题
二次根式有意义的条件
【例题1】（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出答案，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
【详解】解：由题意可知：，
，
故选：C
【变式1】（22-23八年级下·广东湛江·期中）要使有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式等知识，先根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使有意义，
，解得，
故答案为：
【变式2】（22-23八年级下·江苏苏州·开学考试）（1）已知、为实数，且，求的平方根．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据和均有意义，得出，则，求出b的值，即可求解；
（2）根据有意义，得出，推出，则，即可求解．
【详解】解：（1）∵和均有意义，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴的平方根为；
（2）∵有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中被开方数为非负数
【变式3】（22-23八年级下·福建福州·开学考试）已知
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）结合（1）确定的值，然后将、的值代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，，解得，
∴；
（2）由（1）可知，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、二次根式化简等知识，理解二次根式有意义的条件是解题关键
二次根式的性质
【例2】．（2024春 靖江市期中）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【分析】根据图示，可得，，所以，，据此化简即可．
【解答】解：根据图示，可得，，
，，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，以及算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是判断出与的正负．
【变式1】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知是正整数，则自然数m的所有可能值的个数有 个．
【答案】4
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，再由是正整数，m为自然数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∵是正整数，m为自然数，
∴的所有可能值为8，15，20，23，共4个．
故答案为：4
【变式2】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求：
(1)x和y的值；
(2)的算术平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键．
（1）根据偶次方和算术平方根的意义求解即可；
（2）根据算术平方根的意义和二次根式的性质求解即可．
【详解】（1）∵，
，
∴；
（2）∵
∴，
∴的算术平方根是
【变式3】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】
【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可．
【详解】解：观察数轴得：，
∴，
∴
二次根式的运算
【例题3】（22-23八年级下·云南楚雄·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及二次根式的乘法法则逐项进行计算即可．
【详解】A、计算正确，故选项A符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及二次根式的乘法，掌握相关运算的法则是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）计算： ．
【答案】1
【分析】逆用积的乘方，再结合平方差公式计算即可．
【详解】，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆用以及平方差公式，灵活逆用积的乘方，是快速解答本题的关键
【变式2】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)1
(4)4
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式等：
（1）合并同类二次根式即可；
（2）先利用乘法分配律计算二次根式乘二次根式，再利用二次根式的性质化简；
（3）利用平方差公式求解；
（4）先计算二次根式的除法和乘法，再计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【变式3】（22-23八年级下·天津·阶段练习）计算
(1)
(2)；
【答案】(1)17
(2)
【分析】（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解题的关键．注意：最后结果必须化成最简二次根式．
【详解】（1）
（2）
最简二次根式
【例题4】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）把根式化简成最简二次根式，正确结果是（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化，
根据二次根式有意义的条件可知，将二次根式转化为即可；
【详解】解：，
故选：C
【变式1】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，化为最简二次根式，本题先计算乘方运算，立方根，化为最简二次根式，负整数指数幂的运算，再合并即可，熟记运算法则是解本题的关键.
【详解】解：
【变式3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）把两个全等的含的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，求的长度．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，化为最简二次根式，本题先过点作于点，再分别求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】解：过点作于点，
在等腰直角中，，
，
，则
在中：
，
，
.
思想方法专题
整体思想
【例题5】（2024八年级下·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ．
【答案】/
【分析】此题考查了因式分解的应用，二次根式的化简运算，解题的关键是正确将因式分解．
根据长方形的面积和周长得出，，再利用因式分解将原式化为，再代入计算即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为，
∴，，
∴
．
故答案为：
【变式1】（22-23八年级下·吉林松原·期中）如果，，那么 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键
【变式2】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴a、b同号，且a、b均为负数，
∴
【变式3】（22-23八年级下·全国·单元测试）化简求值：
(1)，其中；
(2)已知，，求的值；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)，
(2)70
(3)3
【分析】（1）先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入即可得出答案；
（2）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可得出答案；
（3）将进行平方，化简原式，再代入，，进行计算，即可得出答案．
【详解】（1）
当时
原式＝
＝
＝；
（2）∵，，
，
∴
（3）∵，，
∵
∴．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、二次根式的化简求值，涉及到完全平方公式的变形，熟练掌握运算法则是解题的关键
2.数形结合思想
【例题6】（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
【详解】解：由图知：，
，，
原式
．
故选：
【变式1】（2023八年级下·全国·专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定，的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定，的范围．
【详解】解：
解：由数轴可得：，，
原式
．
故答案为：
【变式2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，化简算术平方根和绝对值，根据数轴上的数右边比左边的大，判断出实数和式子的符号，再进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式
【变式3】（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示：
(1)若，，且x对应的点与z对应的点恰好关于y对应的点对称，求z的值．
(2)化简：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴等知识．
（1）根据对称性求解即可；
（2）先根据实数x，y，z在数轴上的对应点的位置来判断其符号及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：∵，，且x对应的点与z对应的点恰好关于y对应的点对称，
∴，
∴；
（2）解：由数轴知，
∴，，
∴
