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（苏科版）七年级下册数学《第十章 二元一次方程组》
10.1——10.3
二元一次方程&二元一次方程组&解二元一次方程组
★二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0)
【注意】二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
★二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来.
2、在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解.
★二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【注意】1、二元一次方程组需满足三个条件：① 2个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程的左右两边都是整式.
2、二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程.
★1、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
★2、只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解．
★3、方程组中的某个方程的解不一定是这个方程组的解，因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程组的解时，必须将这对未知数的值分别代入方程组的每一个方程中进行检验．
★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
题型突破·典例精析
【例题1】（2024春 鄞州区期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A．x+2y＝3 B．x2+y＝1 C． D．2x﹣1＝5
【分析】含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，根据定义判断即可．
【解答】解：A、符合定义，故符合题意；
B、最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
C、不是整式方程，不符合定义，故不符合题意；
D、只含有一个未知数，不符合定义，故不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
解题技巧提炼 判断二元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
【变式1-1】（2024春 瑞安市期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x2+1＝3 B．3a﹣b＝2c C． D．4x﹣y＝5
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x2+1＝3是一元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．方程3a﹣b＝2c是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．方程x＝0是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．方程4x﹣y＝5是二元一次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含
【变式1-2】（2024春 潍城区期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．2x﹣y＝0 B．xy+1＝0 C．x2+2x＝3 D．
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：A、2x﹣y＝0，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
B、xy+1＝0，含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、x2+2x＝3，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、，是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【变式1-3】（2023秋 巴中期末）若3x|k|+（k﹣1）y＝2是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据二元一次方程的定义得出|k|＝1且k﹣1≠0，再求出k即可．
【解答】解：∵方程3x|k|+（k﹣1）y＝2是关于x，y的二元一次方程，
∴|k|＝1且k﹣1≠0，
∴k＝±1且k≠1，
∴k＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出|k|＝1且k﹣1≠0是解此题的关键．
【变式1-4】（2023春 南岗区校级期中）方程x+5ya﹣2＝7是二元一次方程，则a的取值情况（ ）
A．a＝3 B．a＝1 C．a＝3或a＝1 D．a≠2
【分析】根据二元一次方程的定义可得a﹣2＝1，求解即可获得答案．
【解答】解：若方程x+5ya﹣2＝7是二元一次方程，
则有a﹣2＝1，
解得a＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的定义是解题关键．
【变式1-5】（2023春 南部县校级期中）在①x+3y＝z；②3x﹣5y＝2；③2xy﹣x﹣2y＝1；④x+1＝2；⑤x﹣3y＝0；⑥2xy＝6中是二元一次方程的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知数最高次数为1次，这样的整式方程为二元一次方程，判断即可．
【解答】解：①x+3y＝z，三元一次方程，不符合题意；
②3x﹣5y＝2，二元一次方程，符合题意；
③2xy﹣x﹣2y＝1，二元二次方程，不符合题意；
④x+1＝2，一元一次方程，不符合题意；
⑤x﹣3y＝0，二元一次方程，符合题意；
⑥2xy＝6，二元二次方程，不符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-6】（2023秋 靖边县期末）若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值
为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据二元一次方程的定义，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a、b的值代入a+b，计算即可得出结果．
【解答】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：，
当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1．
故选：D．
【点评】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．
【变式1-7】（2024春 桐乡市月考）已知（m﹣1）x+y|m|＝4是关于x、y二元一次方程，则m＝ ．
【分析】根据二元一次方程的定义得到关于m的式子，求解即可．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x+y|m|＝4是关于x，y的二元一次方程，
∴m﹣1≠0，且|m|＝1
∴m≠1，m＝±1，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握含有两个未知数，且未知项的次数是1的整式方程是二元一次方程是关键．
【变式1-8】（2023 江北区开学）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．
【解答】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
①，解得k＝﹣2；
②，无解，
所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k＝2，
所以k＝2时，方程为二元一次方程．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．
【变式1-9】（2023春 贵州期中）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）求x时，y的值．
【分析】二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，当所含未知数的系数有待定字母时，则必须保证两个未知数的系数都不为零，由此入手列不等式组即可求解．
【解答】解：（1）因为，已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程，
所以，
解这个不等式组得：m＝﹣2，n＝3
即：m＝﹣2，n＝3
（2）因为，当m＝﹣2，n＝3时，二元一次方程可化为：﹣4x+6y＝6
所以，当x时，有：
﹣46y＝6
y
即：求x时，y的值为
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是能够将定义所限制的条件“翻译”成对应的数学式子．
【例题2】（2023春 麻阳县校级期中）下列方程组中属于二元一次方程组的有（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．是三元一次方程组，不符合题意；
B．是二元一次方程组，符合题意；
C．y＝2不是整式方程，不符合题意；
D．xy＝1不是一次方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
解题技巧提炼 本题运用定义法解题，在识别二元一次方程组时，首先看是否有两个未知数，其次看含未知数的项的次数是否是1，另外还要注意方程是不是整式方程.
【变式2-1】（2023秋 北碚区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论．
【解答】解：A．方程组中的第二个方程不是整式方程，所以不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
C．方程组中的第二个方程中含未知数的项的次数是2，所以不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．方程组中的第二个方程中未知数的次数是2，所以不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键．
【变式2-2】（2023春 仁寿县校级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据二元一次方程组的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是分式方程组，故A错误，不符合题意；
B、第二个方程最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故B错误，不符合题意；
C、符合二元一次方程组的定义，故C正确，符合题意；
D、是三元一次方程组，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋 东明县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：A．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；
B．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
C．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．
D．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【变式2-4】（2023春 九龙坡区校级期中）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、有三个未知数，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
B、最高次数为2，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
C、是二元一次方程组，故该选项符合题意；
D、含有分式，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个一次方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
【变式2-5】（2023春 象山区校级期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：A．是二元一次方程组，不符合题意；
B．是二元一次方程组，不符合题意；
C．中xy＝2不是一次方程，不是二元一次方程组，符合题意；
D．是二元一次方程组，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【变式2-6】（2021春 平凉期末）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
则原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
【例题3】（2024春 忠县期中）已知关于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一组解为，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣4
【分析】将方程解代入方程，即可求出k的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出k的值．
【解答】解：将代入方程，则：
3×3﹣2k＝7，
解得：k＝1，
故选：A．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解，解题的关键是将方程解代入方程，即可求出k的值．
解题技巧提炼 1、二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2、二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 3、一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程（组）的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
【变式3-1】（2024春 海淀区校级期中）已知是二元一次方程3x﹣my＝18的一个解，那么m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】把代入二元一次方程3x﹣my＝18得关于m的方程，解方程求出m即可．
【解答】解：把代入二元一次方程3x﹣my＝18得：
6﹣3m＝18，
3m＝﹣12，
m＝﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式3-2】（2024春 越秀区校级期中）以下方程的解为的是（ ）
A．2x+3y＝7 B．3x﹣2y＝1
C．﹣4x+3y＝﹣10 D．x+2y＝5
【分析】把代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可．
【解答】解：A．把代入方程2x+3y＝7，得左边＝2×1+3×2＝8，右边＝7，左边≠右边，
所以不是方程2x+3y＝7的解，故本选项不符合题意；
B．把代入方程3x﹣2y＝1，得左边＝3×1﹣2×2＝﹣1，右边＝﹣1，左边≠右边，
所以不是方程3x﹣2y＝1的解，故本选项不符合题意；
C．把代入方程﹣4x+3y＝﹣10，得左边＝﹣4×1+3×2＝2，右边＝﹣10，左边≠右边，
所以不是方程﹣4x+3y＝﹣10的解，故本选项不符合题意；
D．把代入方程x+2y＝5，得左边＝1+2×2＝5，右边＝5，左边＝右边，
所以是方程x+2y＝5的解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键，注意：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
【变式3-3】（2024春 浙江期中）已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【分析】把代入方程2x﹣my＝10得出2﹣2m＝10，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，
∴2×1﹣2m＝10，
∴2﹣2m＝10，
∴﹣2m＝10﹣2，
∴﹣2m＝8，
∴m＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能得出关于m的方程2﹣2m＝10是解此题的关键．
【变式3-4】（2024春 江城区校级期中）已知是关于x，y的方程，x+ky＝3的一个解，则k的值
为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：∵是关于x、y的方程x+ky＝3的一个解，
∴把代入到原方程，得1+2k＝3，
解得k＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式3-5】（2022春 建华区校级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．
【解答】解：2x+3y＝20，
，
当y＝2时，x＝7；当y＝4时，x＝4；当y＝6时，x＝1，
则方程的正整数解有3对．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．
【变式3-6】（2023秋 薛城区期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为 ．
【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．
【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝﹣1+2025
＝2024；
故答案为：2024．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，解题关键是运用整体代入的思想方法．
【变式3-7】（2023秋 历下区期中）是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，求a与b的值．
【分析】根据二元一次方程的解的概念解答即可．
【解答】解：∵是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，
所以，
解得，
即a的值是7，b的值是8．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，要注意：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【变式3-8】（2023 南京模拟）已知和都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解．
（1）请用含n的代数式表示m；
（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．
【分析】（1）和都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解，将其代入方程即可求解；
（2）由（1）m﹣2n＝2b﹣2，结合m﹣2n＝b2+2b﹣7可得b2+2b﹣7＝2b﹣2，解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）将和代入方程得，
，
即4＝2n+m﹣2，即m＝6﹣2n，
∴n的代数式表示m为m＝6﹣2n．
（2）由（1）可得，，
则m﹣2n＝2b﹣2，
则m﹣2n＝b2+2b﹣7＝2b﹣2，
整理得b2＝5，解得，
∴b的值为．
【点评】本题考查了二元一次方程及一元二次方程，熟练掌握方程的解与方程的关系是解题的关系．
【例题4】（2023 永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
解题技巧提炼 由实际问题列二元一次方程组：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出表示问题的两个相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出二元一次方程组．
【变式4-1】（2024春 昌平区校级期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意，可列方程组为．
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
【变式4-2】（2023秋 玉林期末）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵小刚平均每小时比小敏多植1棵树，
∴x﹣y＝1；
∵小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树，
∴3x+2y＝18．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-3】（2024 青白江区模拟）中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每人出五元，还差九十元；每人出五十元，刚好够”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵每人出五元，还差九十元，
∴5x﹣y＝﹣90；
∵每人出五十元，刚好够，
∴50x﹣y＝0．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-4】（2024 金牛区模拟）某工厂去年的利润（总产值﹣总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%即可解决．
【解答】解：根据题意，可列方程组．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找等量关系列出方程组是解决问题的关键．
【变式4-5】（2024春 鄞州区期中）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据共有500张正方形纸板和800张长方形纸板，列方程组即可求解．
【解答】解：根据题意，得，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出合适的等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-6】（2024春 福州期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
根据题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【例题5】用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是（ ）
A．由①得x③
B．把③代入②得35y＝5
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
【分析】利用代入消元法求出方程组的解，即可作出判断．
【解答】解：方程组，
由①得：x③，
把③代入②得：35y＝5，
去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
解得：y，
再由③得：x，
则错误的一步为去分母．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
解题技巧提炼 用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是关键，它影响着解题的繁简成对，应尽量选取系数比较简单的方程.
【变式5-1】（2024春 苍南县期中）对于方程组，把②代入①得（ ）
A．2x﹣4x﹣1＝5 B．2x﹣4x+1＝5 C．2x﹣4x+2＝5 D．2x﹣4x﹣2＝5
【分析】把②代入①，进行计算即可得出结果．
【解答】解：．
把②代入①得：2x﹣2（2x﹣1）＝5．
2x﹣4x+2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查代入法解方程组，掌握代入法解方程组是解题的关键．
【变式5-2】（2024 喀喇沁旗模拟）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得y＝5﹣2x
C．由②得 D．由②得
【分析】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．
【解答】解：由①得y＝5﹣2x或，
故A、B正确，不符合题意；
由②得或，
故C不正确，符合题意；D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了解方程的方法，解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识．
【变式5-3】（2023春 禄劝县校级期中）用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得x B．由①得x
C．由②得x D．由②得y＝2x﹣5
【分析】利用代入消元法判断即可．
【解答】解：用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是由②得y＝2x﹣5．
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法由：代入消元法与加减消元法．
【变式5-4】（2024 武威二模）方程组用代入法消去y后所得的方程是（ ）
A．3x﹣4x﹣10＝8 B．3x﹣4x+5＝8
C．3x﹣4x﹣5＝8 D．3x﹣4x+10＝8
【分析】把方程组中第一个方程代入第二个方程消去y即可得到结果．
【解答】解：，
把①代入②得：3x﹣2（2x﹣5）＝8，
去括号得：3x﹣4x+10＝8，
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-5】（2024春 印江县月考）二元一次方程组，最适合用下列哪种消元法求解（ ）
A．代入消元法
B．加减消元法
C．代入消元法或加减消元法
D．无法确定
【分析】根据两个式子分别有﹣y，y，运用加减消元进行消y，能快速求出x的值，即可作答．
【解答】解：∵二元一次方程组两个式子分别有﹣y，y，
∴运用加减消元进行消y，能快速求出x的值
故选：B．
【点评】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键．
【变式5-6】用代入法解方程组时，最好是先把 变形为 ，再代入方程 ，求出 的值，然后再求出 的值，最后写方程组的解．
【分析】首先，把方程组中第二个方程变形为x＝8+3y，再代入第一个方程消去x求出y的值；然后求出x的值，写出方程组的解即可．
【解答】解：用代入法解方程组时，最好是先把x﹣3y＝8变形为x＝8+3y，再代入方程2x+4y＝7，求出y的值，然后再求出x的值，最后写出方程组的解．
故答案为：x﹣3y＝8；x＝8+3y；2x+4y＝7；y；x．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解本题的关键．
【变式5-7】用代入法解二元一次方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可；
（2）应用代入消元法，求出方程组的解即可；
（3）应用代入消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1），
①代入②，可得：x+（x﹣4）＝6，
解得x＝5，
把x＝5代入①，可得y＝5﹣4＝1，
∴原方程组的解是．
（2），
由②，可得：x＝2y﹣3③，
③代入①，可得：3（2y﹣3）﹣y＝﹣4，
解得y＝1，
把y＝1代入③，可得x＝2×1﹣3＝﹣1，
∴原方程组的解是．
（3），
由①，可得：x﹣3y＝7③，
由②，可得：2x﹣5y＝﹣6④，
由③，可得：x＝3y+7⑤，
⑤代入④，可得：2（3y+7）﹣5y＝﹣6，
解得y＝﹣20，
把y＝﹣20代入⑤，可得x＝3×（﹣20）+7＝﹣53，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
【变式5-8】用代入法解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（3）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（4）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
将②代入①得，x＝1，
将x＝1代入②，得y＝﹣1，
∴方程组的解为；
（2），
由②得，y＝4x﹣1③，
将③代入①得，x，
将x代入③得，y，
∴方程组的解为；
（3），
由②得，y＝5﹣3x③，
将③代入①得，x，
将x代入③，得y，
∴方程组的解为；
（4），
由①得，y＝3x﹣8③，
将③代入②得，x＝5，
将x＝5代入③得，y＝7，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【变式5-9】（2022春 安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为；
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组．
【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整体代入，从而求得x，进而解决此题．
【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．
把①代入，得．
∴x＝1．
把x＝1代入①，得3+2y＝2．
∴y．
∴方程组的解为．
【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
【例题6】（2023秋 惠来县期末）对于方程组，用加减法消去x得到的方程是（ ）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
【分析】根据加减消元法，将方程①﹣方程②即可．
【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的前提．
解题技巧提炼 用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况: (1)方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接利用加减法求解; (2)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值都不相等,但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系,则将其中一个方程乘这个倍数后再利用加我法求解; (3)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值既不相等,也不成倍数关系,可利用最小公倍数的知识,把两个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的绝对值相等,然后再利用加减法求解.
【变式6-1】（2024春 余杭区月考）已知方程组，则②﹣①得（ ）
A．2x＝4 B．2y＝4 C．4y＝4 D．3y＝10
【分析】由②﹣①得：x﹣x+y﹣（﹣3y）＝7﹣3，整理即可求出答案．
【解答】解：，
由②﹣①得：x﹣x+y﹣（﹣3y）＝7﹣3，
整理得：4y＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
【变式6-2】（2024春 鼓楼区校级期中）利用加减消元法解方程，下列做法正确的、是（ ）
A．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×3
B．要消去x，可以将①×5﹣②×（﹣3）
C．要消去y，可以将①×（﹣3）+②×2
D．要消去y，可以将①×6﹣②×4
【分析】根据加减消元法，逐项判断即可．
【解答】解：∵①×（﹣5）+②×3，可得﹣38y＝19，消去了x，
∴选项A符合题意；
∵①×5﹣②×（﹣3），可得30x+2y＝179，没有消去x，
∴选项B不符合题意；
∵①×（﹣3）+②×2，可得x﹣24y＝18，没有消去y，
∴选项C不符合题意；
∵①×6﹣②×4，可得﹣2x+48y＝﹣36，没有消去y，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
【变式6-3】（2024春 海口期中）用加减法解方程组，下列解法正确的是（ ）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y
C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
【分析】根据等式的可加性直接求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
①×3+②×2，消去x，故A选项不符合题意，
①×2+②×3，消去y，故B选项不符合题意，
①×（﹣3）﹣②×2，消去x，故C选项不符合题意，
①×2﹣②×（﹣3），消去y，故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键．
【变式6-4】（2023春 麻阳县校级期中）解方程组时，消去未知数y，最简单的是（ ）
A．①×2﹣②×4
B．①﹣②×2
C．①+②×2
D．由②得，y，再代入①
【分析】观察方程组中两方程中y的系数确定出加减消元法即可．
【解答】解：解方程组时，消去未知数y最简单的方法是①+②×2，
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-5】（2024春 新野县期中）解方程组的最佳方法是（ ）
A．代入法消去y，由①得y
B．代入法消去x，由②得x
C．加减法消去y，①+②得6x＝12
D．加减法消去x，①×2﹣②得﹣9y＝9
【分析】根据方程组中未知数y的系数的特点得出答案即可．
【解答】解：，
①+②，得6x＝12，即消去y，
所以解此方程组的最佳方法是①+②得6x＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解二元一次方程组是解此题的关键．
【变式6-6】用加减法解方程组具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴这个方程组的解是．其中，开始出现错误的步骤是（ ）
A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）
【分析】第（1）步两方程相减时出现错误．
【解答】解：用加减消元法解方程组：．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以这个方程组得解为，
最先出现错误的一步是（1），
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-7】（2024春 海淀区校级期中）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y，则m＝ ；n＝ ．
【分析】根据题意，利用加减消元法列的关于m，n的方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意可得，
整理得，
解得：，
故答案为：2；5．
【点评】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件列得关于m，n的方程组是解题的关键．
【变式6-8】（2024春 鼓楼区校级期中）解二元一次方程组：
（1）．
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
②﹣①得：3y＝3，
解得：y＝1，
将y＝1代入②得：x+1＝10，
解得：x＝9，
故原方程组的解为；
（2）原方程组整理得，
①+②得：9x＝27，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：12+3y＝24，
解得：y＝4，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
【变式6-9】用加减法解二元一次方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】各方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：4y＝16，
解得：y＝4，
把y＝4代入①得：x＝﹣3，
则方程组的解为；
（2），
②﹣①得：5b＝﹣15，
解得：b＝﹣3，
把b＝﹣3代入①得：a＝1，
则方程组的解为；
（3），
①×2﹣②得：9n＝63，
解得：n＝7，
把n＝7代入①得：3m+14＝8，
解得：m＝﹣2，
则方程组的解为；
（4）方程组整理得：，
①+②得：6x＝48，
解得：x＝8，
把x＝8代入①得：8﹣2y＝17，
解得：y＝﹣4.5，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【例题7】（2024春 杨浦区期中）
【分析】设a，b，于是得到原方程化为：，解方程组即可得到结论．
【解答】解：设a，b，
∴原方程化为：，
解得：，
∴1，2，
∴，
解得：，
经检验：是原方程组的解．
【点评】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
解题技巧提炼 换元法是通过引入新的变量(元)，将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解.
【变式7-1】用换元法解下列方程组：
（1）
（2）．
【分析】（1）令x+y＝m、x﹣y＝n得关于m、n的方程组，解得m、n的值，从而可得关于x、y的方程组，求解可得；
（2）令x﹣4y＝a、x+5y＝b得关于a、b的方程组，解该方程组可得a、b的值，从而可得关于x、y的方程组，求解可得．
【解答】解：（1）令x+y＝m，x﹣y＝n，
则原方程组可化为：，
解得：，
即，
解得：；
（2）令x﹣4y＝a，x+5y＝b，
则原方程组可化为：，
解得：，
即：，
解得：．
【点评】本题主要考查换元法解方程组的能力，熟练而准确地解方程组是基础，正确找到共同的整体加以换元是关键．
【变式7-2】（2023春 云阳县期中）阅读探索：解方程组
解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为，解得，即：，此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组；
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解．
【分析】（1）仿照“阅读探索“的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（2）仿照“阅读探索“的思路，利用换元法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）设1＝x，2＝y，
∴原方程组可变为：，
解这个方程组得：，
即：，
所以：；
（2）设，
可得：，
解得：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键．
【变式7-3】（2022秋 山亭区期末）解方程（组）：
（1）；
（2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为，解得∴，∴原方程组的解为．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【分析】设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程可化为，求出方程的解为，再得方程组，解出方程组即可．
【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，
原方程可化为，即，
②﹣①得，n＝﹣1，
把n＝﹣1代入②得，，
∴，
∴，
解得．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解方程组是解题的关键．
【变式7-4】（2024春 印江县月考）阅读材料，回答问题．
解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法．
（1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝ ，2a﹣b＝ ；
（2）用材料中的方法解二元一次方程组．
【分析】（1）设a+b＝x，2a﹣b＝y，原方程组可化为，根据的解为，即可求解；
（2）设x+y＝m，x﹣y＝n，原方程组可化为，解得，即，即可求解．
【解答】解：（1）设a+b＝x，2a﹣b＝y，
原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
故答案为：﹣1；10；
（2），
设x+y＝m，x﹣y＝n，
原方程组可化为，
解得，
即，
解得，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查了用换元法解二元一次方程组，掌握合理换元是解题的关键．
【例题8】（2023秋 蒲城县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是关于x，y的二元一次方程4x+ky＝13的解，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】先解关于x，y的二元一次方程组，求出x，y，再把所求x，y代入4x+ky＝13得关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：，
①+②得：x＝2.5，
把x＝2.5代入①得：y＝1.5，
∴，
把代入4x+ky＝13得：
10+1.5k＝13，
1.5k＝3，
k＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使各个方程左右两边相等的未知数的值．
解题技巧提炼 求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤： ①把字母参数看作已知数并解方程组； ②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程； ③解方程组求得字母参数.
【变式8-1】（2023秋 永修县校级期末）若方程组的解满足x+y＝2021，则k的值
为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】以k为已知数解方程组，将方程组的解代入方程x+y＝2021，即可求得k的值．
【解答】解：，
①+②得：5x+5y＝5k﹣5，即x+y＝k﹣1
∵x+y＝2021，
∴k﹣1＝2021，
∴k＝2022，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和二元一次方程组的解法．正确求得二元一次方程组的解是解题的关键．
【变式8-2】（2023秋 西安期末）若方程组与方程3ax﹣2ay＝12具有相同的解，则a的值
为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】先解方程组再代入后面方程即可．
【解答】解：解，
得，
因为方程组与方程3ax﹣2ay＝12具有相同的解，
将代入3ax﹣2ay＝12，
所以6a﹣2a＝12，
解得a＝3，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键．
【变式8-3】（2024春 新安县期中）关于x、y、k的方程组的解中x、y的和为12，则k的值为 ．
【分析】首先把x+y＝12代入两个方程得24+y＝k①，36+2y＝k+2②，然后①×2﹣②得：12＝k﹣2，解答即可得解．
【解答】解：∵x+y＝12，
∴由2x+3y＝k得：24+y＝k①，
由3x+5y＝k+2得：36+2y＝k+2②，
①×2﹣②得：12＝k﹣2，
解得：k＝14，
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是根据方程组的特点进行有针对性的计算．
【变式8-4】（2022秋 定远县期末）已知是方程组的解，求a2022+b2023的值．
【分析】将代入，得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值，则可得出答案．
【解答】解：把代入方程组得，
①+②得6a＝6，
∴a＝1，
把a＝1代入①得3﹣2b＝5，解得b＝﹣1，
∴a2022+b2023＝12022+（﹣1）2023＝1﹣1＝0．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解，得到关于a、b的方程组是解题的关键．
【变式8-5】（2024春 新华区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+3y＝1，求m的值．
【分析】把关于x，y的二元一次方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得4x+6y＝5﹣3m，再根据2x+3y＝1，求出m的值即可．
【解答】解：，
①+②得4x+6y＝5﹣3m，
即2（2x+3y）＝5﹣3m，
∵2x+3y＝1，
∴2×1＝5﹣3m，
解得m＝1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是注意观察所给的方程组的两个方程与2x+3y＝1之间的关系．
【变式8-6】（2023春 宜丰县校级期中）已知关于x，y的方程组的解为试求的值．
【分析】将代入，得，解二元一次方程组，进一步求解即可．
【解答】解：将代入，
得，
解得，
∴．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，算术平方根，熟练掌握二元一次方程组的解的含义是解题的关键．
【变式8-7】（2023秋 甘州区校级期末）已知方程组和方程组的解相同，
求（2a+b）2024的值．
【分析】由题意可得，解得x，y的值后分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得到关于a，b的方程组，解得a，b的值后代入（2a+b）2024中计算即可．
【解答】解：由题意可得，
解得：，
将分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得，
解得：，
则（2a+b）2024＝（2×1﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．
【点评】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件列得并求得它的解是解题的关键．
【变式8-8】（2023春 莱芜区期中）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求a2+b2﹣2ab的值．
【分析】根据方程有公共解，得到的解，即为方程组与的公共解，进行求解即可，将方程组的解方程组中，求出a，b的值，将代数式转化为（a﹣b）2，再代值计算即可．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有公共的解，
∴的解即为两个方程组的公共解，
解得：，
∴，
解得：，
∴a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝（1+1）2＝4．
【点评】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，以及代数式求值．熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键．
【变式8-9】（2023春 饶平县校级期末）已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
【分析】把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值，确定出方程组，求出解即可．
【解答】解：把代入②得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10；
把代入①得：5a﹣20＝15，即a＝7，
方程组为，
整理得：，
①﹣②得：5x＝16，
解得：x，
把x代入①得：y，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．中小学教育资源及组卷应用平台
（苏科版）七年级下册数学《第十章 二元一次方程组》10.1——10.3
二元一次方程&二元一次方程组&解二元一次方程组
★二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0)
【注意】二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
★二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来.
2、在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解.
★二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【注意】1、二元一次方程组需满足三个条件：① 2个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程的左右两边都是整式.
2、二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程.
★1、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
★2、只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解．
★3、方程组中的某个方程的解不一定是这个方程组的解，因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程组的解时，必须将这对未知数的值分别代入方程组的每一个方程中进行检验．
★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
题型突破·典例精析
【例题1】（2024春 鄞州区期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A．x+2y＝3 B．x2+y＝1 C． D．2x﹣1＝5
解题技巧提炼 判断二元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
【变式1-1】（2024春 瑞安市期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x2+1＝3 B．3a﹣b＝2c C． D．4x﹣y＝5
【变式1-2】（2024春 潍城区期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．2x﹣y＝0 B．xy+1＝0 C．x2+2x＝3 D．
【变式1-3】（2023秋 巴中期末）若3x|k|+（k﹣1）y＝2是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（ ）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
【变式1-4】（2023春 南岗区校级期中）方程x+5ya﹣2＝7是二元一次方程，则a的取值情况（ ）
A．a＝3 B．a＝1 C．a＝3或a＝1 D．a≠2
【变式1-5】（2023春 南部县校级期中）在①x+3y＝z；②3x﹣5y＝2；③2xy﹣x﹣2y＝1；④x+1＝2；⑤x﹣3y＝0；⑥2xy＝6中是二元一次方程的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式1-6】（2023秋 靖边县期末）若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值
为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式1-7】（2024春 桐乡市月考）已知（m﹣1）x+y|m|＝4是关于x、y二元一次方程，则m＝ ．
【变式1-8】（2023 江北区开学）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
【变式1-9】（2023春 贵州期中）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）求x时，y的值．
【例题2】（2023春 麻阳县校级期中）下列方程组中属于二元一次方程组的有（ ）
A． B．
C． D．
解题技巧提炼 本题运用定义法解题，在识别二元一次方程组时，首先看是否有两个未知数，其次看含未知数的项的次数是否是1，另外还要注意方程是不是整式方程.
【变式2-1】（2023秋 北碚区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023春 仁寿县校级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023秋 东明县期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】（2023春 九龙坡区校级期中）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-5】（2023春 象山区校级期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-6】（2021春 平凉期末）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【例题3】（2024春 忠县期中）已知关于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一组解为，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣4
解题技巧提炼 1、二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2、二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 3、一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程（组）的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
【变式3-1】（2024春 海淀区校级期中）已知是二元一次方程3x﹣my＝18的一个解，那么m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【变式3-2】（2024春 越秀区校级期中）以下方程的解为的是（ ）
A．2x+3y＝7 B．3x﹣2y＝1
C．﹣4x+3y＝﹣10 D．x+2y＝5
【变式3-3】（2024春 浙江期中）已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【变式3-4】（2024春 江城区校级期中）已知是关于x，y的方程，x+ky＝3的一个解，则k的值
为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【变式3-5】（2022春 建华区校级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-6】（2023秋 薛城区期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为 ．
【变式3-7】（2023秋 历下区期中）是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，求a与b的值．
【变式3-8】（2023 南京模拟）已知和都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解．
（1）请用含n的代数式表示m；
（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．
【例题4】（2023 永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
解题技巧提炼 由实际问题列二元一次方程组：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出表示问题的两个相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出二元一次方程组．
【变式4-1】（2024春 昌平区校级期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023秋 玉林期末）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2024 青白江区模拟）中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-4】（2024 金牛区模拟）某工厂去年的利润（总产值﹣总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-5】（2024春 鄞州区期中）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-6】（2024春 福州期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例题5】用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是（ ）
A．由①得x③
B．把③代入②得35y＝5
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
解题技巧提炼 用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是关键，它影响着解题的繁简成对，应尽量选取系数比较简单的方程.
【变式5-1】（2024春 苍南县期中）对于方程组，把②代入①得（ ）
A．2x﹣4x﹣1＝5 B．2x﹣4x+1＝5 C．2x﹣4x+2＝5 D．2x﹣4x﹣2＝5
【变式5-2】（2024 喀喇沁旗模拟）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得 B．由①得y＝5﹣2x
C．由②得 D．由②得
【变式5-3】（2023春 禄劝县校级期中）用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得x B．由①得x
C．由②得x D．由②得y＝2x﹣5
【变式5-4】（2024 武威二模）方程组用代入法消去y后所得的方程是（ ）
A．3x﹣4x﹣10＝8 B．3x﹣4x+5＝8
C．3x﹣4x﹣5＝8 D．3x﹣4x+10＝8
【变式5-5】（2024春 印江县月考）二元一次方程组，最适合用下列哪种消元法求解（ ）
A．代入消元法
B．加减消元法
C．代入消元法或加减消元法
D．无法确定
【变式5-6】用代入法解方程组时，最好是先把 变形为 ，再代入方程 ，求出 的值，然后再求出 的值，最后写方程组的解．
【变式5-7】用代入法解二元一次方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式5-8】用代入法解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
【变式5-9】（2022春 安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为；
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组．
【例题6】（2023秋 惠来县期末）对于方程组，用加减法消去x得到的方程是（ ）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
解题技巧提炼 用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况: (1)方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接利用加减法求解; (2)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值都不相等,但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系,则将其中一个方程乘这个倍数后再利用加我法求解; (3)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值既不相等,也不成倍数关系,可利用最小公倍数的知识,把两个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的绝对值相等,然后再利用加减法求解.
【变式6-1】（2024春 余杭区月考）已知方程组，则②﹣①得（ ）
A．2x＝4 B．2y＝4 C．4y＝4 D．3y＝10
【变式6-2】（2024春 鼓楼区校级期中）利用加减消元法解方程，下列做法正确的、是（ ）
A．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×3
B．要消去x，可以将①×5﹣②×（﹣3）
C．要消去y，可以将①×（﹣3）+②×2
D．要消去y，可以将①×6﹣②×4
【变式6-3】（2024春 海口期中）用加减法解方程组，下列解法正确的是（ ）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y
C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
【变式6-4】（2023春 麻阳县校级期中）解方程组时，消去未知数y，最简单的是（ ）
A．①×2﹣②×4
B．①﹣②×2
C．①+②×2
D．由②得，y，再代入①
【变式6-5】（2024春 新野县期中）解方程组的最佳方法是（ ）
A．代入法消去y，由①得y
B．代入法消去x，由②得x
C．加减法消去y，①+②得6x＝12
D．加减法消去x，①×2﹣②得﹣9y＝9
【变式6-6】用加减法解方程组具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴这个方程组的解是．其中，开始出现错误的步骤是（ ）
A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）
【变式6-7】（2024春 海淀区校级期中）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y，则m＝ ；n＝ ．
【变式6-8】（2024春 鼓楼区校级期中）解二元一次方程组：
（1）．
（2）．
【变式6-9】用加减法解二元一次方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【例题7】（2024春 杨浦区期中）
解题技巧提炼 换元法是通过引入新的变量(元)，将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解.
【变式7-1】用换元法解下列方程组：
（1）
（2）．
【变式7-2】（2023春 云阳县期中）阅读探索：解方程组
解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为，解得，即：，此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组；
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解．
【变式7-3】（2023秋 山亭区期末）解方程（组）：
（1）；
（2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为，解得∴，∴原方程组的解为．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【变式7-4】（2024春 印江县月考）阅读材料，回答问题．
解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法．
（1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝ ，2a﹣b＝ ；
（2）用材料中的方法解二元一次方程组．
【例题8】（2023秋 蒲城县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是关于x，y的二元一次方程4x+ky＝13的解，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
解题技巧提炼 求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤： ①把字母参数看作已知数并解方程组； ②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程； ③解方程组求得字母参数.
【变式8-1】（2023秋 永修县校级期末）若方程组的解满足x+y＝2021，则k的值
为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【变式8-2】（2023秋 西安期末）若方程组与方程3ax﹣2ay＝12具有相同的解，则a的值
为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【变式8-3】（2024春 新安县期中）关于x、y、k的方程组的解中x、y的和为12，则k的值为 ．
【变式8-4】（2022秋 定远县期末）已知是方程组的解，求a2022+b2023的值．
【变式8-5】（2024春 新华区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+3y＝1，求m的值．
【变式8-6】（2023春 宜丰县校级期中）已知关于x，y的方程组的解为试求的值．
【变式8-7】（2023秋 甘州区校级期末）已知方程组和方程组的解相同，
求（2a+b）2024的值．
【变式8-8】（2023春 莱芜区期中）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求a2+b2﹣2ab的值．
【变式8-9】（2023春 饶平县校级期末）已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
