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专题5.1 轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【题型5 “1定点2动点”-角度问题】
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【典例1】（2023秋 许昌期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023秋 祁阳市期末）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023秋 曲靖期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024春 市南区期中）如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置．
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【典例2】（2023秋 金安区校级期末）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2-1】（2023秋 新兴县期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．4 B．9.5 C．12.5 D．16
【变式2-2】（2023秋 广州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC面积为16，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 ．
【变式2-3】（2023秋 宿松县期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，面积是48cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【典例3】（2022春 河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
A．5 B．3 C． D．
【变式3-1】（2023春 东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【变式3-2】（2022春 埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【题型4“1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【典例4】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式4-1】（2023春 惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式4-2】（2022秋 应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【典例5】（2023春 和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
【变式5-1】（2023 明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式5-2】（2023春 市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【题型4 “1定点2动点”-角度问题】
【典例6】（2021秋 丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【变式6-1】（2022秋 仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【变式6-2】（2022春 驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1 轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【题型4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【题型5 “1定点2动点”-角度问题】
【题型1 “2定点1动点”作图问题】
【典例1】（2023秋 许昌期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【变式1-1】（2023秋 祁阳市期末）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．
故选：C．
【变式1-2】（2023秋 曲靖期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线m于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
【变式1-3】（2024春 市南区期中）如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置．
【答案】见解答．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【题型2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【典例2】（2023秋 金安区校级期末）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．
故选：D．
【变式2-1】（2023秋 新兴县期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．4 B．9.5 C．12.5 D．16
【答案】B
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×3×AD＝12，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×3＝8+1.5＝9.5．
故选：B．
【变式2-2】（2023秋 广州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC面积为16，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：如图，连接PA．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝4，
∵S△ABC＝ BC AD＝16，
∴AD＝4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB＝PA，
∴PB+PD＝PA+PD，
∵PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴PA+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+4＝8，
故答案为：8．
【变式2-3】（2023秋 宿松县期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，面积是48cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 16cm ．
【答案】16cm．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝×8×AD＝48，
∴AD＝12cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝16（cm），
故答案为：16cm．
【题型3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【典例3】（2022春 河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝5，
∵ BC AD＝ AC BH，
∴BH＝，
∴BE+EF的最小值为，
故选：C
【变式3-1】（2023春 东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM＝AM，
∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴DM+CM的最小值为6．
故选：C．
【变式3-2】（2022春 埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝ AB CE＝ AC BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【题型4“1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【典例4】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，
由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，
∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，
此时△PEF周长最小，
∵PO＝OP'，OP＝OP''，
∴OP'＝OP''，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∴△OP'P''是等边三角形，
∵OP＝1，
∴P'P''＝1，
故选：D．
【变式4-1】（2023春 惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝4．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4，
故选：B．
【变式4-2】（2022秋 应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点.
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，
还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，
而∠MON＝50°，
∴∠P1OP2＝100°，
∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故选：C．
【典例5】（2023春 和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
【变式5-1】（2023 明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝4，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝2，
故选：A．
【变式5-2】（2023春 市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB CM＝AC BC，
∴CM＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：B．
【题型4 “1定点2动点”-角度问题】
【典例6】（2021秋 丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【答案】C
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
【变式6-1】（2022秋 仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【答案】C
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
【变式6-2】（2022春 驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
【答案】B
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
