2024年中考数学精选压轴题之反比例函数与几何综合

2024年中考数学精选压轴题之反比例函数与几何综合
一、选择题
1．（2022·大方模拟）如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2018八下·上蔡期中）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
3．（2024九上·岳阳期末）如图，Rt△AOB的直角顶点O与坐标原点重合，∠OAB=30°，若A点在反比例函数的图象上，则过B点的反比例函数的比例系数为（　　）
A． B． C．4 D．2
4．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九上·岳阳月考）如图，已知：在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线、相交于点，双曲线经过点，交的延长线于点，且，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为；②点的坐标是；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023·新疆维吾尔自治区模拟） 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·克孜勒苏柯尔克孜模拟） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数的图象与、轴分别交于点、，直线与双曲线分别交于点、、若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
9．（2022·临沂模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
10．（2023·镇海区模拟）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（　　）
A．2 B．3 C． D．
11．（2023·宁波模拟）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
12．（2023·萧县模拟）如图，在中，平分交于点C，平分交OA于点D，交于点E，反比例函数，经过点E，若，，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2024·剑阁模拟） 如图，在平面直角坐标系中，C，A 分别为x轴、y轴正半轴上的点，以 OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且将矩形 OABC翻折，使点 B与原点O 重合，折痕为 MN，点C 的对应点 C'落在第四象限，过 M点的反比例函数的图象恰好过MN的中点，则点 C'的坐标为　 　.
14．（2023·锦江模拟）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为　 　．
15．（2023·南山模拟）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 　 　 ．
16．（2021·内江模拟）如图，点A是函数 的图象上的点，点B、C的坐标分别为B(﹣ ，﹣ )、C( ， ).试利用性质：点“函数 的图象上任意一点A都满足 ”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F.已知当A在函数 的图象上运动时，OF的长度总等于　 　.
17．（2023·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 　 　．
18．（2024九下·从江开学考）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y=(x>0，k>0)的图象经过点C，E.若点A(3，0)，则k的值是　 　.
19．如图， 已知点A(2，3)，B(0，2)，点 A 在反比例函数 的图象上，作射线 AB，再将射线 AB绕点 A 按逆时针方向旋转 45°，交反比例函数的图象于点 C，则点 C 的坐标为　 　.
20．（2023·鞍山模拟）如图，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，与交于点，连接，，若，，则的值为　 　．
三、解答题
21．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数和的图象上.
（1）求 k1，k2的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数和的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
22．如图， OABC 的边 OA 在x 轴的正半轴上，∠AOC=60°，OC=12，∠OCB的平分线交OA 于点D，过点D作DE⊥CD，交 AB 于点E，反比例函数 的图象经过点C与点E.
（1）求k 的值及点D 的坐标.
（2）求证：AD=AE.
（3）求点 E的坐标.
23．（2023九上·邵阳月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点．
（1）求点及点的坐标；
（2）反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2016九上·南岗期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1= 的图象经过点B；反比例函数y2= 的图象经过点C（ ，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，如图所示：
由题意得四边形CMHE是矩形，
∵，，
∴，
∴OE=4，
∵，CM⊥OB，
∴，
∵四边形CMHE是矩形，
∴EH=CM=2，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而结合题意根据矩形的性质得到EH=CM=2，再运用勾股定理求出OH，从而得到点E的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求解。
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
过点的反比例函数的比例系数．
故答案为：B
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先结合题意证明，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而结合题意根据锐角三角形的定义即可得到，再结合反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象即可求解。
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意，设 B的坐标为（m，）
即
故选：C
【分析】根据题意设B的坐标，根据已知三角形的面积列出等量关系式，三角形的高即是B的横坐标，可求出三角形的底CE的表达式，根据平行线平分线段成比例定理，由已知AB=2BC的关系式可推导出B的纵坐标和底边CE的比例关系，k值可求。
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
∵，点A的坐标为（10，0），
∴OA×AC=OB×AC=×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=，
在Rt△OCF中，OC=10，CF=8，
∴OF=，
∴点C的坐标为（6，8），
∵点D是线段AC的中点，
∴点D的坐标为（8，4），
∵双曲线经过点D，
∴，
解得：k=32，
∴双曲线的解析式为：，
∴①不正确；
∵CF=8，
∴直线BC的解析式为y=8，
联立方程组，
解得：x=4，y=8，
∴点E的坐标为（4，8），
∴②不正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=，
∴③正确；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=，
∵，
∴OB=，
∴AC+OB=，
∴④正确，
综上，正确的结论是③④，共有2个，
故答案为：B.
【分析】先求出点C的坐标，再利用中点坐标公式求出点D的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式判断①是否正确；再联立方程方程组求出点E的坐标判断②是否正确；再利用正弦的定义求出sin∠COA=判断③是否正确；先利用勾股定理求出AC的长，再求出OB的长，最后利用线段的和差判断④是否正确即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作于，设与轴交于，
则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【分析】过点作于，设与轴交于，则，由等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH，由A、关于原点对称可得点为的中点，从而得出BH=2BE，即得BC=4BE，设，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出点A、C、D的坐标，根据建立方程，即可求出k值.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，轴，
设，则有，
由得：，，
，，，，
，，
在中：，
同理可求：；
，
，
整理得：，
即：，
，
．
故选：．
【分析】根据题意先求出，，再利用勾股定理求出QA，BQ，最后列方程求解即可。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点，则，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，解得：，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①符合题意；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数图象上，
∴点B的纵坐标为，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C是函数的图象的一点，
∴点C的横坐标为，
∴此时，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②不符合题意；
③若a=1时，点，则，
∴AD=BC=7，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
若a=2时，点，则，
∴AD=BC=4，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③不符合题意；
∵，，
∴AD=，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④符合题意；
∴正确的有①④．
故答案为：D
【分析】利用反比例函数图象上点坐标的特征，菱形、正方形的判定及四边形的周长公式和面积公式逐项判断即可。
10．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，
∴△BEC∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，易得∠AOC=30°，AO=2t，则，设直线BC的解析式为，将点B的坐标代入可求出m的值，从而得到直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式，求解可得点D的坐标；过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，推出△BEC∽△DFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，进而根据两点间的距离公式由CD的长建立方程求出t的值，最后再根据两点间的距离公式可算出AD的长.
11．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，
四边形ABCD是正方形，
， ，
易证 ≌ ≌ ，
， ，
， ，
点 ， 恰好都落在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
可得 ， ，
，
，
，
， ，
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，易证△AOB≌△BNC≌△DMA，得DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=b，从而可用含a、b的式子表示出点C、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点得b（a+b）=a（a+b），据此可得a=b，判断出△BEF是等腰直角三角形，进而可表示出点E、F的坐标，根据三角形的面积计算公式结合三角形BEF的面积建立关于字母a、k方程；再根据点D在反比例函数图象上可得关于字母a、k方程，联立求解可求出a、k的值，从而得出点E、F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式，联立两函数解析式求解可得点P的坐标，从而可求出PE的长，最后再根据三角形的面积计算公式即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，于点M，于点N．
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】过点E作于点F，于点M，于点N，先证出，可得，将数据代入求出，利用线段的和差求出ON的长，利用三角形的面积公式求出，再利用反比例函数k的几何意义可得。
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，交于点Q，如图所示：
∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，
∴，，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，即点Q是的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，
过点Q作于点H，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点M是反比例函数上的点，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，根据勾股定理可得，
，
则
解得（负值已舍去），
则，，，
连接，作于G，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，
∵点第四象限，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】如图，连接，交于点Q，根据矩形的性质和平行线的性质可证，进而可知Q是的中点，根据反比例函数比例系数k的几何意义可知，由是的中位线可得，进而可得，结合计算可求得，根据和的面积关系得到，设，在中运用勾股定理并结合可求出，连接，作于G，通过已知条件可证，根据和面积相等的关系可求得，在中运用勾股定理求得，最后确定点所在象限即可求解。
14．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由消去y得到x2-2ax+k=0，
∵直线y=-x+2a，（常数a＞0）和双曲线 的图象有且只有一个交点 ，
∴△=0，即4a2-4k=0，
∴k=a2，
解方程组得，
∴点B（a，a），
令y=0得-x+2a=0，
解得x=2a，
∴A（2a，0）；
过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，
∵A（2a，0），B（a，a），
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BJK=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
又∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴点M，
∴，
设直线OM的解析式为y=kx，则，
∴k=，
∴直线OM的解析式为，
∴J（a，a），
∴JH=PH=a，
∴，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠HOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，由直线与双曲线的图象只有一个交点得b2-4ac=0，据此建立方程求出k=a2，从而得x=a，y=a，则点B（a，a），点A（2a，0），用ASA证出△OHJ≌△BHP，得到OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，再利用ASA证出△BJM≌△APM，得BM=AM，∠BMJ=∠AMP，点M，用两点间的距离公式表示出BM，利用待定系数法求出直线OM的解析式为，则J（a，a），，证出△OHJ∽△OKP，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出KP，进而根据BK=BP-KP表示出BK，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义，由即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，
平分，平分，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
又，
，
负值舍去，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，结合函数图象求解即可。
16．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长BF、AC交于点G.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠AFG=90°，
在△ABF和△AGF中，
，
∴△ABF≌△AGF（ASA），
∴AB=AG，BF=GF.
∵B（- ，- ）、C（ ， ），
∴OB=OC，
∴OF= CG= |AB AC|=2 × = .
∴点F在以点O为圆心，以 为半径的圆上运动.
故答案为： .
【分析】延长BF、AC交于点G，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠GAF，证明△ABF≌△AGF，得到AB=AG，BF=GF，根据点B、C的坐标可得OB=OC，然后根据OF=CG= |AB AC|进行计算.
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图所示：
延长CA交x轴于点D.
∵CA//y轴，
∴CA⊥x轴.
∵AO=AB=2，
∴OD=DB，∠OAD=∠BAD.
∵将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠CAO=∠BAO=2∠OAD.
又∵∠CAO+∠OAD=180°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AOD=30°，
∴.
∴点C坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CA交x轴于点D，由CA//y轴，得CA⊥x轴.于是得∠OAD=∠BAD.再由翻折得到∠CAO=∠BAO=2∠OAD，从而得到∠OAD=60°，∠AOD=30°，所以可以根据OA=2，得到OD，AD的值，进而得到点C的坐标，k的值可求.
18．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】设点C的坐标为（m，），
四边形ABCD是正方形，
点E在反比例函数图象上，
m=1，
作CH⊥y轴，垂足为点H，如图，
CH=1，
四边形ABCD是正方形，
BA=BC，∠ABC=90°，
∠OAB=∠HCB，
∠AOB=∠BHC，
BH=OA=3，OB=CH=1，
点C的坐标为（1，4），
K=4，
【分析】设点C的坐标为（m，），由正方形的性质可得进而求出m=1，再根据中点坐标公式求得点C的横坐标为1，作CH⊥y轴，垂足为点H，利用AAS证明，得到BH=OA=3，OB=CH=1，进而得到点C的坐标，从而求解.
19．【答案】(-1，-6)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，以AE为边在AE左侧作正方形AEFG，交AB于点P，点A绕点B点D为AC与x轴的交点，
如图所示：
设AB所在的直线方程为，A(2，3)，B(0，2)，可得
，解得，
∴ 一次函数解析式为.
∵A(2，3)，
∴ AE=3，EF=3，E（2，0），F（-1，0），，则，.
将绕点A逆时针旋转得到，则，
∴ DP=DH，PG=EH.
设DE=x，则，FD=3-x，
在中，由勾股定理可得，解得x=1，
∴ OD=1，D（1，0），
设AC的函数解析式为，将D（1，0），A(2，3)代入可得
，解得，
AC所在函数解析式为.
∴，解得或，
∴C(-1，-6).
故答案为：(-1，-6).
【分析】根据待定系数法先求出AB所在直线的函数解析式，再根据三角形全等和勾股定理求得OD，同理用待定系数法求AC所在直线的函数解析式，最后与反比例函数联立求解即可.
20．【答案】4
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EA，过点E作EP⊥OA于P，过点F作FN⊥OC于点N，连接CA交OB于点M，过点D作DG⊥OA于点G，
.∵四边形OABC是矩形，
∴OM=MB，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象分别于OB，BC，AB交于D，E，F三点，
∴设，，
∴CE =m，BA =，，，
∴BE=BC-CE=n -m，
BF=BA-AF= ，
∴，
∵∠CBA= ∠EBF，
∴△ABC△FBE，
∴∠BAC = ∠BFE，
∴EF//CA，
∴，
∴，
设E(a，4b)，F(4a，b)，
∴B (4a，4b)，
∴M (2a， 2b)，
将E(a，4b)代入 （） 得：k =4ab，
∵DG//BA，
∴△ABO△GDO，
∵，
∴，
∴，
∴D(2a，2b)，
则D，M两点重合，
∵EF//CA，
∴，
解得：ab=1，
∴k=4ab =4，
故答案为：4.
【分析】利用矩形的性质先求出OM=MB，再利用相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可。
21．【答案】（1）解：过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，如图：
∵A（1，4）在反比例函数上，
将（1，4）代入得：，解得：；
则AG=1，OG=4；
∵∠AOB=∠AOG+∠BOH=∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，
∵OA=OB，∠AGO=∠BHO=90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH=AG=1，BH=OG=4，
∴B（4，-1），
∵B（4，-1）在反比例函数上，
将（4，-1）代入得：，解得：.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵△COD≌△AOB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，根据点A的坐标可得AG=1，OG=4，结合题意，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得△AGO≌△OHB，由全等三角形的对应边相等可得OH=AG=1，BH=OG=4，求得点B的坐标，根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得OA=OB=OC=OD，即可推得B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，根据关于对称轴对称的点的坐标特征即可求解.
22．【答案】（1）解：如图，过点C作CF⊥x轴，
∵∠AOC=60°，OC=12 ，
∴∠OCF=30°，
∴OF=OC=6，CF=OF=6，
∴C（6，6），
把点C（6，6）代入y=中，得k=6×6=36，
在 OABC中，BC∥OA，
∴∠BCD=∠ODC，
∵CD平分 ∠OCB ，
∴∠BCD=∠OCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC=12，
∴D（12，0）.
（2）证明：∵OD=OC，∠AOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∵ DE⊥CD，
∴∠EDA=30°
∵AB∥OC，
∴∠BAx=∠AOC=60°，
∴∠AED=60°-30°=30°
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD.
（3）解：设AD=AE=a，则E（12+a，a），
把点E坐标代入y=中，得（12+a）·a=36，
解得：a=4或-12（舍），
∴E(18，2 ).
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥x轴，利用直角三角形的性质求出OF、CF的长，即得点C坐标；由平行四边形的性质及角平分线的定义可得∠ODC=∠OCD，可得OD=OC=12，继而求出点D坐标；
（2）易得△OCD是等边三角形，利用平行四边形的性质及三角形外角的性质可得∠AED=∠ADE=30°，可得AE=AD.
（3）设AD=AE=a，则E（12+a，a），把点E坐标代入y=中可得关于a方程并解之即可.
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，即．
（2）解：在中，由勾股定理得：
，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得：
∴直线的函数解析式为，
∵，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
此时，
∴，
∴点F关于y轴的对称点为，
∵反比例函数经过点，
∴．
（3）点P的坐标为或或或．
【知识点】一元二次方程的根；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为，
将点的坐标代入得，
，解得：
∴直线的解析式为
∵点P在直线上，
∴设点，
∴
下面分三种情况讨论：
①当时，
解得：，
∴
∴点P的坐标为；
②当时，
解得：，
∴，此时点P不存在，
，
∴点P的坐标为；
③当时，
解得：，
∴点P的坐标为或；
综上，点P的坐标为或或或．
【分析】（1）先根据一元二次方程的根即可得到OB的长，进而运用锐角三角函数的定义结合题意即可得到，进而根据中点坐标的定义即可求解；
（2）先根据勾股定理即可求出OE，进而运用待定系数法即可求出直线BE的解析式，再结合题意即可得到OD的解析式，再根据关于坐标轴对称的点的坐标即可得到F'，进而根据反比例函数的图象即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线AB的解析式，设点，进而即可得到，进而结合题意分类讨论：①当时，③当时， 从而即可列出一元二次方程，进而即可求解。
24．【答案】（1）解：∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，
∴CB∥x轴．
∵将C（ ，m）代入函数y2= 得：n= = ，
∴点C（ ， ）．
∴点B的纵坐标为 ．
∵将y1= 代入得： = ，解得；x=2 ，
∴点B的坐标为（2 ， ）。
（2）解：如图所示：连接ME、MD、MF．
∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四边形CDME为矩形．
∵MD=ME，
∴四边形CDME为正方形．
∵在Rt△ACB中，AC= ，BC= ，
∴AB=2．
∵S△ACB= AC BC= （AC+BC+AB） r，
∴⊙M的半径= = ﹣1．
∴点M的坐标为（2 ﹣1，1）．
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由 y2= 的图象经过点C（ ，m)可得m=，再由 CB∥x轴 可知点B纵坐标为，代入 y1= 即可得B点坐标；
（2） 连接ME、MD、MF，由切线的性质及同圆半径相等可得 四边形CDME为正方形 ，再根据面积法即可 ⊙M的半径 ，据此可得点M的坐标。
1 / 12024年中考数学精选压轴题之反比例函数与几何综合
一、选择题
1．（2022·大方模拟）如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，如图所示：
由题意得四边形CMHE是矩形，
∵，，
∴，
∴OE=4，
∵，CM⊥OB，
∴，
∵四边形CMHE是矩形，
∴EH=CM=2，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而结合题意根据矩形的性质得到EH=CM=2，再运用勾股定理求出OH，从而得到点E的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求解。
2．（2018八下·上蔡期中）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
3．（2024九上·岳阳期末）如图，Rt△AOB的直角顶点O与坐标原点重合，∠OAB=30°，若A点在反比例函数的图象上，则过B点的反比例函数的比例系数为（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
过点的反比例函数的比例系数．
故答案为：B
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先结合题意证明，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而结合题意根据锐角三角形的定义即可得到，再结合反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象即可求解。
4．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意，设 B的坐标为（m，）
即
故选：C
【分析】根据题意设B的坐标，根据已知三角形的面积列出等量关系式，三角形的高即是B的横坐标，可求出三角形的底CE的表达式，根据平行线平分线段成比例定理，由已知AB=2BC的关系式可推导出B的纵坐标和底边CE的比例关系，k值可求。
5．（2023九上·岳阳月考）如图，已知：在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线、相交于点，双曲线经过点，交的延长线于点，且，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为；②点的坐标是；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：
∵，点A的坐标为（10，0），
∴OA×AC=OB×AC=×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=，
在Rt△OCF中，OC=10，CF=8，
∴OF=，
∴点C的坐标为（6，8），
∵点D是线段AC的中点，
∴点D的坐标为（8，4），
∵双曲线经过点D，
∴，
解得：k=32，
∴双曲线的解析式为：，
∴①不正确；
∵CF=8，
∴直线BC的解析式为y=8，
联立方程组，
解得：x=4，y=8，
∴点E的坐标为（4，8），
∴②不正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=，
∴③正确；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=，
∵，
∴OB=，
∴AC+OB=，
∴④正确，
综上，正确的结论是③④，共有2个，
故答案为：B.
【分析】先求出点C的坐标，再利用中点坐标公式求出点D的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式判断①是否正确；再联立方程方程组求出点E的坐标判断②是否正确；再利用正弦的定义求出sin∠COA=判断③是否正确；先利用勾股定理求出AC的长，再求出OB的长，最后利用线段的和差判断④是否正确即可.
6．（2023·新疆维吾尔自治区模拟） 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作于，设与轴交于，
则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【分析】过点作于，设与轴交于，则，由等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH，由A、关于原点对称可得点为的中点，从而得出BH=2BE，即得BC=4BE，设，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出点A、C、D的坐标，根据建立方程，即可求出k值.
7．（2023·克孜勒苏柯尔克孜模拟） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数的图象与、轴分别交于点、，直线与双曲线分别交于点、、若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，轴，
设，则有，
由得：，，
，，，，
，，
在中：，
同理可求：；
，
，
整理得：，
即：，
，
．
故选：．
【分析】根据题意先求出，，再利用勾股定理求出QA，BQ，最后列方程求解即可。
8．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
9．（2022·临沂模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点，则，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，解得：，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①符合题意；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数图象上，
∴点B的纵坐标为，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C是函数的图象的一点，
∴点C的横坐标为，
∴此时，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②不符合题意；
③若a=1时，点，则，
∴AD=BC=7，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
若a=2时，点，则，
∴AD=BC=4，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③不符合题意；
∵，，
∴AD=，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④符合题意；
∴正确的有①④．
故答案为：D
【分析】利用反比例函数图象上点坐标的特征，菱形、正方形的判定及四边形的周长公式和面积公式逐项判断即可。
10．（2023·镇海区模拟）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，
∴△BEC∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，易得∠AOC=30°，AO=2t，则，设直线BC的解析式为，将点B的坐标代入可求出m的值，从而得到直线BC的解析式，联立直线BC与反比例函数的解析式，求解可得点D的坐标；过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，推出△BEC∽△DFC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD，进而根据两点间的距离公式由CD的长建立方程求出t的值，最后再根据两点间的距离公式可算出AD的长.
11．（2023·宁波模拟）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，
四边形ABCD是正方形，
， ，
易证 ≌ ≌ ，
， ，
， ，
点 ， 恰好都落在反比例函数 的图象上，
，
，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
可得 ， ，
，
，
，
， ，
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 设OA=b，OB=a，易证△AOB≌△BNC≌△DMA，得DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=b，从而可用含a、b的式子表示出点C、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点得b（a+b）=a（a+b），据此可得a=b，判断出△BEF是等腰直角三角形，进而可表示出点E、F的坐标，根据三角形的面积计算公式结合三角形BEF的面积建立关于字母a、k方程；再根据点D在反比例函数图象上可得关于字母a、k方程，联立求解可求出a、k的值，从而得出点E、F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式，联立两函数解析式求解可得点P的坐标，从而可求出PE的长，最后再根据三角形的面积计算公式即可求出答案.
12．（2023·萧县模拟）如图，在中，平分交于点C，平分交OA于点D，交于点E，反比例函数，经过点E，若，，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点F，于点M，于点N．
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】过点E作于点F，于点M，于点N，先证出，可得，将数据代入求出，利用线段的和差求出ON的长，利用三角形的面积公式求出，再利用反比例函数k的几何意义可得。
二、填空题
13．（2024·剑阁模拟） 如图，在平面直角坐标系中，C，A 分别为x轴、y轴正半轴上的点，以 OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且将矩形 OABC翻折，使点 B与原点O 重合，折痕为 MN，点C 的对应点 C'落在第四象限，过 M点的反比例函数的图象恰好过MN的中点，则点 C'的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，交于点Q，如图所示：
∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，
∴，，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，即点Q是的中点，
∴点Q是反比例函数上的点，
过点Q作于点H，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点M是反比例函数上的点，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，根据勾股定理可得，
，
则
解得（负值已舍去），
则，，，
连接，作于G，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，
∵点第四象限，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】如图，连接，交于点Q，根据矩形的性质和平行线的性质可证，进而可知Q是的中点，根据反比例函数比例系数k的几何意义可知，由是的中位线可得，进而可得，结合计算可求得，根据和的面积关系得到，设，在中运用勾股定理并结合可求出，连接，作于G，通过已知条件可证，根据和面积相等的关系可求得，在中运用勾股定理求得，最后确定点所在象限即可求解。
14．（2023·锦江模拟）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由消去y得到x2-2ax+k=0，
∵直线y=-x+2a，（常数a＞0）和双曲线 的图象有且只有一个交点 ，
∴△=0，即4a2-4k=0，
∴k=a2，
解方程组得，
∴点B（a，a），
令y=0得-x+2a=0，
解得x=2a，
∴A（2a，0）；
过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，
∵A（2a，0），B（a，a），
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BJK=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
又∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴点M，
∴，
设直线OM的解析式为y=kx，则，
∴k=，
∴直线OM的解析式为，
∴J（a，a），
∴JH=PH=a，
∴，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠HOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，由直线与双曲线的图象只有一个交点得b2-4ac=0，据此建立方程求出k=a2，从而得x=a，y=a，则点B（a，a），点A（2a，0），用ASA证出△OHJ≌△BHP，得到OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，再利用ASA证出△BJM≌△APM，得BM=AM，∠BMJ=∠AMP，点M，用两点间的距离公式表示出BM，利用待定系数法求出直线OM的解析式为，则J（a，a），，证出△OHJ∽△OKP，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出KP，进而根据BK=BP-KP表示出BK，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义，由即可得出答案.
15．（2023·南山模拟）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 　 　 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，
平分，平分，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
又，
，
负值舍去，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，结合函数图象求解即可。
16．（2021·内江模拟）如图，点A是函数 的图象上的点，点B、C的坐标分别为B(﹣ ，﹣ )、C( ， ).试利用性质：点“函数 的图象上任意一点A都满足 ”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F.已知当A在函数 的图象上运动时，OF的长度总等于　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长BF、AC交于点G.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠AFG=90°，
在△ABF和△AGF中，
，
∴△ABF≌△AGF（ASA），
∴AB=AG，BF=GF.
∵B（- ，- ）、C（ ， ），
∴OB=OC，
∴OF= CG= |AB AC|=2 × = .
∴点F在以点O为圆心，以 为半径的圆上运动.
故答案为： .
【分析】延长BF、AC交于点G，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠GAF，证明△ABF≌△AGF，得到AB=AG，BF=GF，根据点B、C的坐标可得OB=OC，然后根据OF=CG= |AB AC|进行计算.
17．（2023·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图所示：
延长CA交x轴于点D.
∵CA//y轴，
∴CA⊥x轴.
∵AO=AB=2，
∴OD=DB，∠OAD=∠BAD.
∵将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠CAO=∠BAO=2∠OAD.
又∵∠CAO+∠OAD=180°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AOD=30°，
∴.
∴点C坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CA交x轴于点D，由CA//y轴，得CA⊥x轴.于是得∠OAD=∠BAD.再由翻折得到∠CAO=∠BAO=2∠OAD，从而得到∠OAD=60°，∠AOD=30°，所以可以根据OA=2，得到OD，AD的值，进而得到点C的坐标，k的值可求.
18．（2024九下·从江开学考）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y=(x>0，k>0)的图象经过点C，E.若点A(3，0)，则k的值是　 　.
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】设点C的坐标为（m，），
四边形ABCD是正方形，
点E在反比例函数图象上，
m=1，
作CH⊥y轴，垂足为点H，如图，
CH=1，
四边形ABCD是正方形，
BA=BC，∠ABC=90°，
∠OAB=∠HCB，
∠AOB=∠BHC，
BH=OA=3，OB=CH=1，
点C的坐标为（1，4），
K=4，
【分析】设点C的坐标为（m，），由正方形的性质可得进而求出m=1，再根据中点坐标公式求得点C的横坐标为1，作CH⊥y轴，垂足为点H，利用AAS证明，得到BH=OA=3，OB=CH=1，进而得到点C的坐标，从而求解.
19．如图， 已知点A(2，3)，B(0，2)，点 A 在反比例函数 的图象上，作射线 AB，再将射线 AB绕点 A 按逆时针方向旋转 45°，交反比例函数的图象于点 C，则点 C 的坐标为　 　.
【答案】(-1，-6)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，以AE为边在AE左侧作正方形AEFG，交AB于点P，点A绕点B点D为AC与x轴的交点，
如图所示：
设AB所在的直线方程为，A(2，3)，B(0，2)，可得
，解得，
∴ 一次函数解析式为.
∵A(2，3)，
∴ AE=3，EF=3，E（2，0），F（-1，0），，则，.
将绕点A逆时针旋转得到，则，
∴ DP=DH，PG=EH.
设DE=x，则，FD=3-x，
在中，由勾股定理可得，解得x=1，
∴ OD=1，D（1，0），
设AC的函数解析式为，将D（1，0），A(2，3)代入可得
，解得，
AC所在函数解析式为.
∴，解得或，
∴C(-1，-6).
故答案为：(-1，-6).
【分析】根据待定系数法先求出AB所在直线的函数解析式，再根据三角形全等和勾股定理求得OD，同理用待定系数法求AC所在直线的函数解析式，最后与反比例函数联立求解即可.
20．（2023·鞍山模拟）如图，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，与交于点，连接，，若，，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EA，过点E作EP⊥OA于P，过点F作FN⊥OC于点N，连接CA交OB于点M，过点D作DG⊥OA于点G，
.∵四边形OABC是矩形，
∴OM=MB，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象分别于OB，BC，AB交于D，E，F三点，
∴设，，
∴CE =m，BA =，，，
∴BE=BC-CE=n -m，
BF=BA-AF= ，
∴，
∵∠CBA= ∠EBF，
∴△ABC△FBE，
∴∠BAC = ∠BFE，
∴EF//CA，
∴，
∴，
设E(a，4b)，F(4a，b)，
∴B (4a，4b)，
∴M (2a， 2b)，
将E(a，4b)代入 （） 得：k =4ab，
∵DG//BA，
∴△ABO△GDO，
∵，
∴，
∴，
∴D(2a，2b)，
则D，M两点重合，
∵EF//CA，
∴，
解得：ab=1，
∴k=4ab =4，
故答案为：4.
【分析】利用矩形的性质先求出OM=MB，再利用相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可。
三、解答题
21．如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数和的图象上.
（1）求 k1，k2的值.
（2）若点 C，D分别在反比例函数和的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，如图：
∵A（1，4）在反比例函数上，
将（1，4）代入得：，解得：；
则AG=1，OG=4；
∵∠AOB=∠AOG+∠BOH=∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠AOG=∠OBH，
∵OA=OB，∠AGO=∠BHO=90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH=AG=1，BH=OG=4，
∴B（4，-1），
∵B（4，-1）在反比例函数上，
将（4，-1）代入得：，解得：.
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵△COD≌△AOB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，根据点A的坐标可得AG=1，OG=4，结合题意，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得△AGO≌△OHB，由全等三角形的对应边相等可得OH=AG=1，BH=OG=4，求得点B的坐标，根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得OA=OB=OC=OD，即可推得B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，根据关于对称轴对称的点的坐标特征即可求解.
22．如图， OABC 的边 OA 在x 轴的正半轴上，∠AOC=60°，OC=12，∠OCB的平分线交OA 于点D，过点D作DE⊥CD，交 AB 于点E，反比例函数 的图象经过点C与点E.
（1）求k 的值及点D 的坐标.
（2）求证：AD=AE.
（3）求点 E的坐标.
【答案】（1）解：如图，过点C作CF⊥x轴，
∵∠AOC=60°，OC=12 ，
∴∠OCF=30°，
∴OF=OC=6，CF=OF=6，
∴C（6，6），
把点C（6，6）代入y=中，得k=6×6=36，
在 OABC中，BC∥OA，
∴∠BCD=∠ODC，
∵CD平分 ∠OCB ，
∴∠BCD=∠OCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC=12，
∴D（12，0）.
（2）证明：∵OD=OC，∠AOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∵ DE⊥CD，
∴∠EDA=30°
∵AB∥OC，
∴∠BAx=∠AOC=60°，
∴∠AED=60°-30°=30°
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD.
（3）解：设AD=AE=a，则E（12+a，a），
把点E坐标代入y=中，得（12+a）·a=36，
解得：a=4或-12（舍），
∴E(18，2 ).
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥x轴，利用直角三角形的性质求出OF、CF的长，即得点C坐标；由平行四边形的性质及角平分线的定义可得∠ODC=∠OCD，可得OD=OC=12，继而求出点D坐标；
（2）易得△OCD是等边三角形，利用平行四边形的性质及三角形外角的性质可得∠AED=∠ADE=30°，可得AE=AD.
（3）设AD=AE=a，则E（12+a，a），把点E坐标代入y=中可得关于a方程并解之即可.
23．（2023九上·邵阳月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点．
（1）求点及点的坐标；
（2）反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，即．
（2）解：在中，由勾股定理得：
，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得：
∴直线的函数解析式为，
∵，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
此时，
∴，
∴点F关于y轴的对称点为，
∵反比例函数经过点，
∴．
（3）点P的坐标为或或或．
【知识点】一元二次方程的根；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为，
将点的坐标代入得，
，解得：
∴直线的解析式为
∵点P在直线上，
∴设点，
∴
下面分三种情况讨论：
①当时，
解得：，
∴
∴点P的坐标为；
②当时，
解得：，
∴，此时点P不存在，
，
∴点P的坐标为；
③当时，
解得：，
∴点P的坐标为或；
综上，点P的坐标为或或或．
【分析】（1）先根据一元二次方程的根即可得到OB的长，进而运用锐角三角函数的定义结合题意即可得到，进而根据中点坐标的定义即可求解；
（2）先根据勾股定理即可求出OE，进而运用待定系数法即可求出直线BE的解析式，再结合题意即可得到OD的解析式，再根据关于坐标轴对称的点的坐标即可得到F'，进而根据反比例函数的图象即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线AB的解析式，设点，进而即可得到，进而结合题意分类讨论：①当时，③当时， 从而即可列出一元二次方程，进而即可求解。
24．（2016九上·南岗期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1= 的图象经过点B；反比例函数y2= 的图象经过点C（ ，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．
【答案】（1）解：∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，
∴CB∥x轴．
∵将C（ ，m）代入函数y2= 得：n= = ，
∴点C（ ， ）．
∴点B的纵坐标为 ．
∵将y1= 代入得： = ，解得；x=2 ，
∴点B的坐标为（2 ， ）。
（2）解：如图所示：连接ME、MD、MF．
∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四边形CDME为矩形．
∵MD=ME，
∴四边形CDME为正方形．
∵在Rt△ACB中，AC= ，BC= ，
∴AB=2．
∵S△ACB= AC BC= （AC+BC+AB） r，
∴⊙M的半径= = ﹣1．
∴点M的坐标为（2 ﹣1，1）．
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由 y2= 的图象经过点C（ ，m)可得m=，再由 CB∥x轴 可知点B纵坐标为，代入 y1= 即可得B点坐标；
（2） 连接ME、MD、MF，由切线的性质及同圆半径相等可得 四边形CDME为正方形 ，再根据面积法即可 ⊙M的半径 ，据此可得点M的坐标。
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