中小学教育资源及组卷应用平台
2024年中考二轮复习
专题2 几何最值问题
题型一 将军饮马模型
【知识梳理】
线段和最小值模型（三点共线）
两定一动模型 一定两动模型
PA+PB最小 （异侧） PA+PB最小 （同侧） △PCD周长最小 PD+CD最小
线段差最大值模型（三点共线）
两定一动模型 一定两动模型
|PA-PB|最大 （同侧） |PA-PB|最大 （异侧）
【例题讲解】
1．（2023·广东广州）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
解：如图，连接交于一点F，连接，
∵四边形是正方形，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴，此时最小，
∵正方形的边长为4，
∴，
∵点E在上，且，
∴，即的最小值为
故答案为：．
2．如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴，
当在同一条直线上时，有最大值，
∵在菱形中，，∴，，
∴是等边三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，
∵点为的中点，∴为的中点，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；
3．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ．
解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴；
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是 ．
解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．故答案为：．
2．（2023·辽宁盘锦）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
解：四边形是矩形，
，，
点M，N分别是的中点，
，，，，
，，
，
又 ，
四边形是平行四边形，
，
，
如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，
则，
当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，
的最小值，
故选C．
3．（2023·四川宜宾）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，
∵点，，
∴ ，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，
∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
题型二 隐圆模型
【知识梳理】
定点定长 定弦定角
四点共圆
最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径； 最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径。
【例题讲解】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.
2．（2024浙江金华·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
3．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为 ．
解：∵∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴A，C，D，B四点共圆，
如图，作⊙O经过A，C，D，B四点，
当AD（D′）为直径时，AD有最大值，
∵∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC＝6，
∴AO＝6×＝3，
∴AD′＝2AO＝6，即AD的最大值为6．
故答案为：6．
4．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，
连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，则DF＝，
∵EF是△AOC的中位线，
∴EF＝OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为．
5．（2023广东广州·模拟预测）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ．
解：如图，
取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，，，，，
， ，，
，，，四边形为等腰梯形，，
，，，，点在以点为圆心，2为半径的圆上，
，，，
，，，，
，，，，
当三点共线时，有最小值，面积的最小值为．
【变式训练】
1．（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，
∴BD＝2，
∴．
由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，
∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，
CE的最大值即C到BA中点的距离加上长．
∵，，BC＝2，
∴C到BA中点的距离即，
又∵，
∴CE的最大值即．
故答案为3．
2．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________．
解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4,4），
故答案为：（4,4）．
3．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________．
【答案】2
提示：作BD⊥AC于D
∵∠BAC＝60°，∴AD＝ AB＝ ，BD＝
DC＝AC－AD＝ ，BC＝＝7
∵∠BPC＝120°，∴点P在以BC为弦的一段圆弧上运动
设圆心为O，连接OA、OB、OC、OP
则∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP
∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120°
∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝ BC＝
设圆弧交AC于点E，连接BE、OE
则OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60°
∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE
∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE
设垂足为H，则BH＝ AB＝ ，AH＝
OH＝＝ ，AO＝AH＋OH＝，
∴AP≥AO－OP＝2，即AP长的最小值为2
4．如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
答案为
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）
当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．
5．如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 ．
解：连接BD并延长，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∴B，E，D，F四点共圆，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠DBF＝∠DEF＝45°，
∴∠DBF＝∠DBE＝45°，
∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上，
∵垂线段最短，
∴当AD⊥BD时，AD取最小值，
∴AD的最小值为AB＝，
故答案为：．
题型三 胡不归模型
【知识梳理】
【模型建立】
如图1，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1图1 图2 图3
【解题方法】
（1），记，即求BC+kAC的最小值.
（2）如图2，构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
（3）如图3，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【例题讲解】
1．（2023·湖南湘西）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
:解：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．
解：连接，过作，过作，
令，即，解得或1，，，
，，，．
，根据垂线段最短可知，的最小值为，
，，，
的最小值为．故答案为：．
【变式训练】
1．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
解：过作，
菱形，，
，，即为等边三角形，，
在中，，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
，，
，
在中，，
则的最小值为．
故答案为：．
2．如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
解：∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∴。
过点P作于点E，过点M作于点F，
在中，由（1）知：，∴，∴，
在矩形中，，∵，∴，
在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2．
3．（2023·辽宁锦州）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值为．
故答案为：．
4．如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．
解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
在线段下方作，过点作于点，连接，
∴，
∴，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
∴的最小值为
题型四 阿氏圆模型
【知识梳理】
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
【解题方法】
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
【例题讲解】
1．（2023·甘肃天水·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ．
解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD PC的值最大，最大值为DG＝＝5．
故答案为5
2．（2023·山东烟台）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【变式训练】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．
2．（2023江苏·二模）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
解：如图：连接、、
根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
如图所示连接
在与中
，，
故答案为：2．
3．如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．
解：由题意可得：
∴点在以为圆心，以为半径的圆上，
在线段上取一点，使得，则
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值
，
∴的最小值为：
题型五 瓜豆原理模型
【知识梳理】
条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
【例题讲解】
1．（2023·江苏）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．
解：如图所示，连接，
∵点关于的对称点为，
∴，
∵，
∴在半径为的上，
在优弧上任取一点，连接,
则，
∵，∴，
∴，∴是等边三角形，
当取得最大值时，面积最大，
∵在上运动，则最大值为，
则面积的最大值是．
故答案为：．
2．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
解：如图，以为边向上作等边三角形，连接，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离，
∵是边长为4的等边三角形，
∴点M到的距离为，
∴点D到的最大距离为，
∴的面积最大值是，
故选A．
【变式训练】
1．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
解：如图，作，使得，，则，，，
，，
，
，
，
，
即（定长），
点是定点，是定长，
点在半径为1的上，
，
的最大值为，
故答案为：．
2．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
解：如图，设点O为的中点，由题意可知，
点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），
点E的对称点为，连接,则，
∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值为8，
故选：A．
3．（2022·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB，
∵，
∴，
又∵∠APB=60°，
∴△APD是等边三角形，
∵B为PD的中点，
∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，
∴∠BAP=30°，
以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，
∴，
同理可得，
∵∠OAM=30°=∠PAB，
∴∠BAM=∠PAO，
又∵，
∴△AMB∽△AOP，
∴，
∵点P到点O的距离为2，即OP=2，
∴，
∴点B在以M为圆心，以为半径的圆上，
连接CM交圆M（半径为）于，
∴当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，
∵AC=2AO=8，
∴AO=4，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴BC的最小值为，
故答案为：．
题型六 费马点模型
【知识梳理】
将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。
【例题讲解】
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】
【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．
考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果．
2．（2023·湖北随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，
过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
【变式训练】
1．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
2．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ．
解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024年中考二轮复习
专题2 几何最值问题
题型一 将军饮马模型
【知识梳理】
线段和最小值模型（三点共线）
两定一动模型 一定两动模型
PA+PB最小 （异侧） PA+PB最小 （同侧） △PCD周长最小 PD+CD最小
线段差最大值模型（三点共线）
两定一动模型 一定两动模型
|PA-PB|最大 （同侧） |PA-PB|最大 （异侧）
【例题讲解】
1．（2023·广东广州）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
2．如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
3．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是 ．
2．（2023·辽宁盘锦）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2023·四川宜宾）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
题型二 隐圆模型
【知识梳理】
定点定长 定弦定角
四点共圆
最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径； 最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径。
【例题讲解】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
2．（2024浙江金华·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为 ．
4．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
5．（2023广东广州·模拟预测）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ．
【变式训练】
1．（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
2．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________．
3．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________．
4．如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
5．如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 ．
题型三 胡不归模型
【知识梳理】
【模型建立】
如图1，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1图1 图2 图3
【解题方法】
（1），记，即求BC+kAC的最小值.
（2）如图2，构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
（3）如图3，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【例题讲解】
1．（2023·湖南湘西）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．
【变式训练】
1．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
2．如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
3．（2023·辽宁锦州）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
4．如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．
题型四 阿氏圆模型
【知识梳理】
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
【解题方法】
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
【例题讲解】
1．（2023·甘肃天水·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ．
2．（2023·山东烟台）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【变式训练】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
2．（2023江苏·二模）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
3．如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．
题型五 瓜豆原理模型
【知识梳理】
条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
【例题讲解】
1．（2023·江苏）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．
2．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【变式训练】
1．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
2．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
3．（2022·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
题型六 费马点模型
【知识梳理】
将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。
【例题讲解】
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
2．（2023·湖北随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【变式训练】
1．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
2．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ．
